第六章数值分析-插值法

数学与统计学院数值方法武汉大学数学与统计学院基础数学系刘丁酉

liudingyou487@163.com主页§6 插值法§6.1拉格朗日(Lagrange)插值§6.2

均差与牛顿(Newton)插值多项式§6.3

Hermite插值§6.4

分段低次插值方法§6.5

三次样条插值函数数学与统计学院

设已知某个函数关系y=f(x)在某些离散点上的函数值或函数y=f(x)以表格形式给出

：插值问题：

根据这些已知数据来构造函数y=f(x)的一种简单的近似表达式P(x)以便于计算点的函数值，或计算函数的一阶、二阶导数值。（6.1）数学与统计学院式(6.2)为插值条件.

插值法就是用一个简单的函数y=P(x)来近似地表示y=f(x),使得(i=0,1,2,…,n)(6.2)

则称P(x)为插值函数，

称f(x)为被插值函数,称为插值节点,数学与统计学院选P(x)为n次多项式Pn(x)作为f(x)的近似.且使得（6.2*）

满足关系（6.2*）的函数Pn(x)为f(x)的n次插值多项式.这样地问题称为多项式插值问题.设x0<x1<…<xn，记a=x0,b=xn，则[a,b]为插值区间。数学与统计学院§6.1 拉格朗日(Lagrange)插值6.1.1

Lagrange插值多项式6.1.2插值多项式的余项数学与统计学院1．线性插值

x0x1(x0,y0)(x1

,y1)P1(x)f(x)可见

P1(x)是过(x0,y0

)和(x1,y1

)两点的直线。6.1.1

Lagrange插值多项式数学与统计学院x0x1x2p2(x)

f(x)f(x)2．抛物插值因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。

数学与统计学院

为了找到n次多项式插值问题的简便算法,我们把问题简化,考虑一个简单的n次多项式插值问题.设函数y=f(x)如下表:xkx0x1…xi-1xixi+1…xnyk00…010…03．n次Lagrange插值多项式数学与统计学院求n次多项式li(x)i=0,1,…,n根据插值条件li(x)是n次多项式,且由于除xk以外所有的结点都是lk(x)的根，所以可设数学与统计学院又由li(xi)=1，得：

数学与统计学院形如(6.4)的函数…，称为以

…，为节点的拉格朗日插值函数.它们都是n次多项式,且都满足公式(6.3)。数学与统计学院下面我们考虑一般的多项式插值问题.设y=f(x)由下表给出:xkx0x1…xnyky0y1…yn求n次多项式,满足yi=Ln(xi).数学与统计学院令首先由于基函数li(x)都是n次多项式,所以Ln(x)是n次多项式;再由于Ln(x)满足yi=Ln(xi),根据唯一性定理知,Ln(x)与用解方程组的方法得到的n次多项式Pn(x)是相同的.称Ln(x)为拉格朗日（Lagrange)插值多项式.当n=1时,为线性插值当n=2时,为二次多项式插值(抛物线插值)数学与统计学院证明

设所要构造的插值多项式为：由插值条件

得到如下线性代数方程组：定理6.1:

Lagrange插值多项式Ln(x)存在且唯一.数学与统计学院此方程组的系数行列式为

此为一个范得蒙行列式！当

时，

D

0，因此，Ln(x)由a0,a1,…,an唯一确定。数学与统计学院6.1.2插值多项式的余项定义6.1

在插值区间[a,b]上Rn(x)=f(x)-Pn(x)称Rn(x)为插值多项式的余项或差值误差.记n+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)则有下面插值余项的估计定理.其中:(a,b),且依赖于x,而x[a,b].定理6.2设f(x)在[a,b]上有n+1阶导数,则数学与统计学院证明：当xxi时，作辅助函数显然(t)在[a,b]上n+1阶可导,且数学与统计学院(x)=(xi)=0i=0,1,2,…n.即(x)有n+2个零点.根据Roll定理,在每两个零点之间至少有一个’(t)的零点.即’(t)至少有n+1个零点.类似地反复利用Roll定理,得:’’(t)至少有n个零点….(n+1)(t)至少有1个零点.即至少存在一点使由于因此进而数学与统计学院注意:

由于是未知的,f(x)是未知的或是复杂的,所以,公式(6.5)不能直接使用.但是若有则有数学与统计学院例1:已知y=f(x)=ln(1+x)的值如下(1)求Lagrange插值多项式L2(x).(2)求L2(2.5).(3)求插值余项R2(x)并估计R2(x).解:(1)由公式得xi123yi数学与统计学院(2)因为L2(2.5)=1.2625，所以f(2.5)L2(2.5)=1.2625(3)因为而数学与统计学院从而进而数学与统计学院§6.2均差与牛顿(Newton)插值多项式6.2.1均差及其性质6.2.2牛顿(Newton)插值公式6.2.3差分及其性质6.2.4等距节点的Newton插值公式数学与统计学院Lagrange插值虽然易算，但若要增加或减少一个节点时，全部基函数

li(x)都需重新算过。定义1：设有函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的x0,x1,…,xn

（即在ij时，xixj）的值f(xi)

,

称为f(x)在点xi,xi处的一阶均差（差商），并记作f[xi,xj]，

f[xi,xj]的几何意义为过(xi,f(xi))和(xj,f(xj)）两点的割线的斜率.6.2.1均差及其性质数学与统计学院又称为f(x)在点xi,xj,xk处的二阶差商,

称

为f(x)在点x0,x1,…,xn处的n阶差商。特别地规定：f(x)在点xi,处的零阶差商为f[xi]=f(xi)。数学与统计学院f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

xn+1f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]差商可列表计算：

xi

yi

一阶差商

二阶差商

n阶差商

……由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。x0x1x2xn-1xn数学与统计学院6.2.2牛顿插值公式12…………n1(x

x0),2……(x

x0)…(x

xn1)n1Nn(x)Rn(x)ai=

f[x0,…,xi]数学与统计学院牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，只要再增加一项就行了，即有递推式:

由插值的唯一性可知

Nn(x)Ln(x)，故其余项也相同，即差商与导数的关系公式

这便证明了差商的性质3数学与统计学院注意:牛顿插值多项式是多项式族的线性组合.即此多项式族为另一组基.其系数是差商表从左上到右下对角线上各阶差商值.例2天气温度函数y=f(x)的一组观测数据如下时间xi(时)10111213气温yi20222826求气温函数的近似函数N3(x),并求N3(12.5)数学与统计学院