冀教版九年级数学下册第29章直线与圆的位置关系

第二十九章直线与圆的位置关系29.1点与圆的位置关系实例1:足球运动员踢出的地滚球在球场上滚动，在其穿越中间圆形区域的过程中，足球与这个圆有怎样的位置关系呢？实例2：代号为“苏力”的台风经过了小岛A。在每一时刻，台风所侵袭的区域总是以其中心为圆心的一个圆。小岛A在遭受台风袭击前后，小岛与台风的侵袭区域有什么不同的位置关系呢？A思考：点与圆有几种不同的位置关系？点与圆的三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。

语言描述图形表示圆心到点的距离d与半径r的关系点在圆内点在圆上点在圆外点在圆外：r<d点在圆内：r>d；点在圆上：r=d；1、填空（1）点和圆的位置关系有_

_种，点在圆___，点在圆

__，点在圆_

_；三内上外d>5d=5d<5练习（2）圆的半径是5，点A到圆心O的为d，当_____时A在圆内，当__

_时A在圆上，当__

__时A在圆外。3、已知⊙O的直径为16

cm，在下列条件下，判断点P与⊙O的关系；(1)OP=6

cm(2)OP=8

cm(3)OP=10

cm(4)OP=16

cm(5)OP=18

cmr=8

cmOA=3

cm

OA=4

cmOA=5

cmOA=8

cmOA=9

cm若点A为OP的中点，点A与⊙O的关系呢？例:如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5

cm，BC=4

cm，以A为圆心，以3

cm为半径画圆，（3）AB的中点D与⊙A的位置关系。（1）点C与⊙A的位置关系。（2）点B与⊙A的位置关系。ACBD543点C在⊙A上点B在⊙A外点D在⊙A内

如图，某海域点A处周围3km的圆形区域为多暗礁的危险区，但水生物资源丰富，渔船要从B处前进到A处进行捕鱼作业，B、A之间的距离是10km。如果渔船始终保持10km/h的航速，那么，在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？练习:3C解：由题可得AC=km，BC=7km7÷10=0.7h所以，渔船出发时间小于0.7h是安全的，0.7h进入危险区域。71.如图,AB是⊙O的直径，C是圆上一点，过C作CD⊥AB于D，如果延长CD一倍到E，那么E点的位置是（）A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不一定在圆上BE中考联接：2、在直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与圆O的位置关系是：_____

_____.点P在圆O内4P(4,2)xyO2OP=OP<r若P的坐标为(4,3)呢?3．△ABC中，∠C=90°,∠B=60°,AC=3,以C为圆心，r为半径作⊙C，如果点B在圆内，而点A在圆外，那么r的取值范围是____

____。CBA360°4、一个点到圆的最距离为11

cm，最小距离为5

cm，则圆的半径为(

)A．16cm或6cmB．3cm或8cm

C．3cm

D．8cmBOP511分情况讨论：P在圆外，P在圆内，P在圆上OP511OP此情况不存在5、在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D.（1）顶角A等于多少度时,点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？生活中应用：东北AB45°400C

位于A地的某市接到气象部门的沙尘暴预报,沙尘暴中心在A市正东400

km的B处正向西北方向移动,如图所示,已知沙尘暴中心300

km的范围内将会受到影响,你认为A市会受到沙尘暴的影响吗?为什么?D解:过点A作AC⊥BD于点C东北ABD45°400C∵在Rt△ABC中,AB=400,∠ABC=45°∴AC=200≈283∵283<300∴A市会受到沙尘暴影响.（1）点在圆内（2）点在圆上（3）点在圆外d>r。d<r。d=r。总结1、点和圆的位置关系2、分类讨论思想的运用3、点和圆的位置关系应用(台风问题)第二十九章直线与圆的位置关系29.2直线与圆的位置关系点与圆的位置关系有几种？(1)点在圆内(2)点在圆上(3)点在圆外d<rd=rd>rd·d·用数量关系如何来判断？回顾·d思考：如果把点换成一条直线，直线和圆又有哪几种位置关系？引入观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?a(地平线)

观察与思考

在这个自然现象中，反映出直线与圆的位置关系可以分为哪几类？你分类的依据是什么？操作与思考

没有公共点相离唯一一个公共点相切切点切线有两个公共点相交割线·O·O·O·O运用相交相切相离上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？探索直线和圆相交d<r直线和圆相切d=r直线和圆相离d>rrd∟rd∟rd数形结合：位置关系数量关系

直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分）总结：判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由

________________的个数来判断；（2）根据性质，由

_________________的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定。两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r1、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。根据下列条件判断直线l与⊙O的位置关系。抢答，我能行（2）d=1,r=；

（3）d=2,r=2；（1）d=4,r=3；∵d＜r，∴直线l与⊙O相交∵d＝r，∴直线l与⊙O相切∵d＞r，∴直线l与⊙O相离2、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d：3)若d=8cm,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.

2)若d=6.5cm,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.

1)若d=4.5cm,则直线与圆

,直线与圆有____个公共点.相交相切相离2103)若AB和⊙O相交,则

.3、已知⊙O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的范围:1)若AB和⊙O相离,则

;2)若AB和⊙O相切,则

;d>5cmd=5cmd<5cm0cm≤例题在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm(3)r=3cm。BCAD453即圆心C到AB的距离d=2.4cm。解：过C作CD⊥AB，垂足为D。在Rt△ABC中，AB===5（cm）根据三角形面积公式有CD·AB=AC·BC∴CD===2.4（cm）。ABCAD453d=2.4（2）当r=2.4cm时，∵d=r，∴⊙C与AB相切。（3）当r=3cm时，∵d＜r，∴⊙C与AB相交。（1）当r=2cm时，∵d＞r，∴⊙C与AB相离。1、当r满足______________时,⊙C与直线AB相离。2、当r满足_________时，⊙C与直线AB相切。3、当r满足____________时，⊙C与直线AB相交。BCAD45d=2.4cm30cm<r＜2.4cmr=2.4cmr＞2.4cm

拓展在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。想一想?4.当r满足________________________时,⊙C与线段AB只有一个公共点.r=2.4cm

或3cm<r≤4cmBCAD453d=2.4cm1、如图，已知∠AOB=30°，M为OB上一点，且OM=5cm，以M为圆心、以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？⑴r=2cm；⑵r=4cm；⑶r=2.5cm。OABM解：过点M作MC⊥OA于C，∵∠AOB=30°，OM=5cm，∴MC=2.5cm

C课堂练习.⑴∵d=MC=2.5，r=2即d＞r∴⊙O与OA相离；⑵∵d=MC=2.5，r=4即d＜r∴⊙O与OA相交；⑶∵d=MC=2.5，r=2.5即d=r∴⊙O与OA相切.2、设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为（）A.d≤4B.d＜4C.d≥4D.d＝43、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.相切或相交2CD4.如图,点A是一个半径为2千米的圆形公园的中心,在公园附近有B、C两个村庄,AC的距离为5千米，现要在B、C两村庄之间修一条笔直公路将两村连通.经测得∠ACB＝30°,问此公路是否会穿过公园？请通过计算进行说明.CABD知识梳理一、直线和圆的位置关系有三种相离二、直线和圆位置关系的性质与判定（r与d的数量大小关系）(性质）直线l和⊙

O相离d>r直线l和⊙O相切d=r

(判定）(性质）(判定）相切相交③直线l和⊙O相交d<r(性质）(判定）第二十九章直线与圆的位置关系29.3切线的性质和判定复习1.直线和圆有哪些位置关系？2.我们学习过哪些切线的判断方法？共同探究1：如图所示,直线l为☉O的一条切线,切点为T,OT为半径.在直线l上任取一点P,连接OP.观察OT和OP的数量关系,猜想OT与切线l具有怎样的位置关系.思考1:假设猜想不成立,即假设

,则过点O作OP⊥l,垂足为P.则OP

OT(填“>”“<”或“=”),即圆心O到直线l的距离

圆的半径.则直线l与圆的位置关系为

.这与直线与☉O相切矛盾.

如图示,假设OT与l不垂直.过点O作OP⊥l,垂足为P.

∵OP是垂线段,所以OP<OT(垂线段最短),即圆心O到直线l的距离小于圆的半径.

∴由此得到直线l与☉O相交.

∴

这和直线l与☉O相切矛盾,∴OT⊥l.1.如何用语言叙述上述结论?2.如何用几何语言表示你得出的结论?思考2：

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.几何语言:如图所示,∵直线l切☉O于T,∴OT⊥l.辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。

解:连结OA，OB∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA

，OB⊥PB.又∵∠APB=40°，∴∠AOB=140°.又∵弧AB=弧AB，∴∠AOB=2∠ACB.∴∠ACB=70°

PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点，若∠APB=40°，求∠ACB的度数.〖例1〗

如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则（1）圆心O到直线l的距离是多少？

这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径．Alo（2）直线l和⊙O有什么位置关系?由d=r

直线l是⊙O的切线．共同探究2：OrlA切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。∵OA是⊙O半径，OA⊥l于A∴l是⊙O的切线。几何符号表达：

判断1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的直线是圆的切线（

）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA

利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:

(1)直线经过半径的外端;

(2)直线与这半径垂直。判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?有以下三种方法:1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。

3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。想一想〖例2〗已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。证明：连结OC(如图)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。∴AB⊥OC。∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线。〖例3〗已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。小结例2与例3的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。

OBACOABCED(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。证明：连结OP。∵AB=AC,∴∠B=∠C。∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C。∴OP∥AC。∵PE⊥AC，∴PE⊥OP。∴PE为⊙0的切线。如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。练习OABCEP课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l

与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2.常用的添辅助线方法：l是圆的切线l是圆的切线辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）3.圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。第二十九章直线与圆的位置关系29.4切线长定理*如图：P为⊙O上的一点，请画出这个圆过点P的切线P●O●复习回顾A已知⊙O和⊙O外一点P，探究一：⑴过点P画⊙O的切线。●P●O探究一：⑵PA,PB为什么是⊙O的切线？⑶PA,PB具有怎样的数量关系？⑷∠APO与∠BPO具有怎样的数量关系？经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。∵PA、PB分别切⊙O于点A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBAOPB定理应用切线长定理PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC整体感知轴对称图形（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB⑴如图PA、PB切圆于A、B两点，，连结PO，则

度。25PBOA定理应用（2）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，则ΔPDE的周长为（）AA.16cmD.8cmC.12cmB.14cmDCBEAP一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ABC探究二三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形的内切圆的圆心（即三角形三条角平分线的交点）ACBO三角形的内心的性质：1、三角形的内心与顶点的连线平分三个内角。2、三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形外接圆三角形内切圆．oABC．oABC外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。阅读对比外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的距离。三角形的内心到三角形三边的距离相等。ADCBOFE例题：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长。解：设AE=xcm,则AF=xcmCD=CE=AC﹣AE=13﹣xx13﹣xx13﹣x9﹣x9﹣x91413BD=BF=AB﹣AF=9﹣x∵BD+CD=BC∴（13﹣x）+（9﹣x）=14解得x=4因此

AE=4cm

BD=5cm

CE=9cmADCBOFE例题：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长。解：设AE=xcm,则AF=xcmCD=y，则CE=yBD=z，则BF=y

xyxyzz91413由题意得(1)+(2)+(3)得x+y+z=18(4)(4)-(1)得z=5因此AE=4cmBD=5cmCE=9cm

(4)-(2)得x=4(4)-(3)得y=9练一练如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。OACB解：∵点O是△ABC的内心∴∠OBC=∠ABC=30°∠OCB=∠ACB=40°∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-30°-40°=110°探究∠BOC与∠A有何数量关系？解：∵点O是△ABC的内心∴∠OBC=∠ABC∠OCB=∠ACB∴∠BOC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-(∠ABC+

∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A。PBAO在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。（3）连接圆心和圆外一点（2）连接两切点（1）分别连接圆心和切点1.切线长定理

2.如何作三角形的内切圆？

3.三角形的内心的性质

4.区分三角形的内切圆和外接圆，三角形的内心和外心。课堂小结第二十九章直线与圆的位置关系29.5正多边形与圆各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。三条边相等三个角相等（60°）。四条边相等四个角相等（90°）正三角形正方形一.正多边形的定义问题1，什么样的图形是正多边形？各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.练习:1.矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.正多边形的性质及对称性3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。4.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。1.正多边形的各边相等2.正多边形的各角相等正n边形与圆的关系1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.2.怎样由圆得到多边形呢？ABCD思考1:把一个圆4等分,并依次连接这些点,得到正多边形吗??弧相等弦相等（多边形的边相等）圆周角相等（多边形的角相等）多边形是正多边形思考2:把一个圆5等分,并依次连接这些点,

得到正多边形吗??证明：∵AB=BC=CD=DE=EAABCDE⌒⌒⌒⌒⌒∴AB=BC=CD=DE=EA∵BCE=CDA=3AB⌒∴∠A=∠B同理∠B=∠C=∠D=∠E∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.定义：把圆分成n（n≥3）等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.EFCD.O中心角半径R边心距r正多边形的中心:

一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:

外接圆的半径正多边形的中心角:

正多边形的每一条边所对的圆心角.正多边形的边心距：

中心到正多边形的一边的距离.二.正多边形有关的概念AB新课讲解中心EDCBAO半径中心角边心距正多边形中的有关概念：F既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心每个正多边形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．正多边形与三角形作每个正多边形的边心距，又有什么规律？边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角三角形，这些直角三角形也是全等的．EFCD..O中心角ABG边心距把△AOB分成2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.Ra新课讲解EDCBAOF中心角与内角互补正n边形的一个内角的度数是____________;中心角是_______;正多边形的中心角与外角的大小关系是________.相等抢答题：1.O是正与的圆心。△ABC的中心，它是△ABC的2.OB叫正△ABC的，它是正△ABC的的半径。3.OD叫作正△ABC的它是正△ABC的的半径。ABC

.OD半径外接圆边心距内切圆外接圆内切圆4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的。5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的。ABCD.OE中心边心距6.⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的