第2章无源网络的分析与设计放映

现代电路理论与设计第２章

无源网络的分析与设计2.1用直接法综合无源网络电路理论与设计2.1用直接法综合无源网络2.1.1LC网络的输入阻抗1LC网络的输入阻抗及其零极点分布常用的六种LC网络的输入阻抗及其零极点分布如图所示。电路理论与设计2.1用直接法综合无源网络LC网络LCCLLCC2L2L1C1C2L2输入阻抗零、极点的位置(a)(b)(c)(d)(e)(f)LC网络输入阻抗Z(s)零点和极点的特点：LC网络输入阻抗的零点和极点都在虚轴上、是简单的;零点和极点是交替出现的,不会有两个零点或两个极点在虚轴上相邻的情况；原点处既可能出现零点，也可能出现极点；LC网络输入阻抗的区别在于零点和极点的数目以及在虚轴上的位置；一对共轭复频率±jωo共同形成(s2+ωo2)项。因此，如果Z(s)有一个极点在原点处，则Z(s)的表达式的形式为：极零极零极电路理论与设计2.1用直接法综合无源网络如果Z(s)有一个零点在原点处，则Z(s)的表达式的形式为：

也就是说，如果最高的截止频率是一对极点，则分母多项式的次数比分子多项式的次数高。如果最高的截止频率是一对零点，则分母多项式的次数比分子多项式的次数低。当s很大或很小时，Z(s)是如下两种情况中的一个：也就是说，在频率接近零或无穷大时，输入阻抗相当于一个电感或电容。

零极零极零电路理论与设计2.1用直接法综合无源网络1-123Z(ω)ω例2.2已知一个网络的输入电抗变化曲线如图2-1-2所示。求其阻抗表达式Z(s).解：(1)从电抗曲线可知，Z(s)的极点为s=0和s=±j3(

ω=3,则ｓ＝ｊω＝±j3)

，零点为s=±j2和s=∞。由此可写出Z(s)的表达式：电路理论与设计2.1用直接法综合无源网络(2)求H:令s=jω,沿虚轴计算Z(s):从电抗曲线可知,当ω=1时，Z(ω)=-1.于是可求得：H=8/3(3)所求的阻抗函数为：电路理论与设计2.1用直接法综合无源网络C1C2比较和可得如下关系：求得各元件值为：可用如下电路实现：电路理论与设计2.1用直接法综合无源网络1RC网络的输入阻抗及其零极点位置八种常用的RC网络的输入阻抗及其零极点位置如图所示.电路理论与设计2.1用直接法综合无源网络2.1.2RC网络的输入阻抗RC网络CC2R2R1C1C2R2输入阻抗零、极点的位置(a)(b)(c)(d)(e)(f)R无零点、无极点CRCRC2R2R1(g)(h)C1C2R2C1R1电路理论与设计2.1用直接法综合无源网络RC网络输入阻抗Z(s)的特点：零点一定在负实轴轴上，是简单的。极点在负实轴轴上或原点处，是简单的。零点和极点是交替出现的；靠近原点处的第一个临界频率是极点。电路理论与设计2.1用直接法综合无源网络2.2用部分分式法综合无源网络电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络利用部分分式法综合实现的网络称为福斯特网络。其中，只包含电感和电容元件的福斯特网络称为LC福斯特网络。只包含电阻和电容元件的福斯特网络称为RC福斯特网络。这些网络都是通过网络的端口特性进行设计的。网络的端口特性可以用阻抗表示，也可以用导纳表示。根据阻抗表示式实现的福斯特网络称为福斯特1型网络，根据导纳表示式实现的福斯特网络称为福斯特2型网络。H1/k01/k11/k21/knK1ω2p1K2ω2p2K3ω2p3ZＬC福斯特1型网络H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2Kn/ω2pnYＬC福斯特2型网络电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络2.2.1ＬC福斯特1型网络

(1)ＬC福斯特1型网络的结构为了实现福斯特1型网络，考虑LC网络阻抗最常用的表达式：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

将Z(s)的表达式展开为部分分式，并将复共轭项组合，得：K的求法如下：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

由上式可知：第一项:Z1=Hs,可以用一个电感量为H亨的电感实现：第二项:Z2=k0/s,可以用一个电容量为1/k0法拉的电容实现：第三项：

H1/k0电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络其中，

导纳Y3由两个导纳组成，第一个是导纳为1/k1法拉的电容，第二个是导纳为k1/ω2p1亨利的电感。电容和电感并联构成阻抗Z3。式（2-2-2）的其它各项也可以由电容和电感并联构成。式（2-2-2）的完全实现电路如图2-2-1所示。1/k1K1/ω2p1Y3电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2K3/ω2p3Z图2-2-1福斯特1型网络的实现电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络（2）福斯特1型网络的特点凡是归一化系数为正、在虚轴上具有相互交替的简单零点和极点的有理函数所表示的输入阻抗都可以用图2-2-1所示的福斯特1型网络实现；第一个电感使Z(∞)=∞,即Z(s)在s=∞时为无穷大。如果没有它，Z(∞)=0。这是因为在这种情况下，两个输入端之间由多个电容连通；

c.第一个电容使Z(0)=∞,即Z(s)在s=0时为无穷大。如果没有它，Z(0)=0。这是因为在这种情况下，两个输入端之间有多个电感连通；电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络d.Z(s)的每一个极点对应一个元件；e.电容和电感的数目要么相等，要么差值为1；f.该网络实现了Z(s)的全部各种极点：第一个串联电感实现了无穷大处的极点；第一个串联电容实现了原点处的极点；第一个并联LC电路实现了±jωp1处的极点；第n个并联LC电路实现了±jωpn处的极点；g.从福斯特1型网络不能看出零点的分布情况。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2K3/ω2p3Z实现无穷大处的极点z(∞)=∞实现原点处的极点z(∞)=∞实现±jωpi处的共轭复数点极点z(∞)=∞LC福斯特1型网络及其各元件的功能电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络(3)LC福斯特1型网络元件数目的确定a.福斯特1型网络元件数目由网络阻抗函数Z(s)的极点总数目(包括无穷大处极点的数目)确定。

b.串联电感和串联电容的确定（a）如果元件的数目(极点的数目)为奇数，就需要一个串联电感或串联电容。具体可以根据Z(0)的值是零还是无穷大来确定网络的第一个串联元件是电感还是电容。如果Z(0)=0,则网络的第一个串联元件是电感。如果Z(0)=∞,则网络第一个串联元件是电容。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络也可以根据Z(∞)值确定网络的第一个串联元件是电感还是电容。如果Z(∞)=0,则网络的第一个串联元件是电容。如果Z(∞)=∞,则网络的第一个串联元件是电感。(b)如果元件的数目为偶数，则网络的串联电感和串联电容要么都需要，要么都不需要。如果Z(0)=∞或Z(∞)=∞,则网络的串联电感和串联电容都需要。如果Z(0)=0或Z(∞)=0,则网络的串联电感和串联电容都不需要。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络c.确定LC并联网络的个数

LC并联网络的个数根据阻抗函数共轭极点的对数来确定。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络（4）福斯特1型网络元件数值的确定网络元件的数值由Z(s)的表达式确定。下面举例说明。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络例2.5(a)已知网络的阻抗函数

假设H=1,求对应的LC福斯特1型网络；

(b)假设H=10,求对应的LC福斯特1型网络；

(c)如果Z(s)的表达式中的s用10s代替，求对应的LC福斯特1型网络。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

解：(a)(1)求电路结构

Z(s)的极点为±j1,±j3,零点为0，±j2，∞。极点和零点都为简单极点且在虚轴上交替出现，归一化因子为正，因此Z(s)为可实现的LC网络的输入阻抗。

Z(s)有4个极点，因此网络可以用4个元件实现；因为Z(0)=0,因此没有串联电容；因为网络元件数目为偶数,因此没有串联电感；因此网络由2个LC并联电路实现，如图2-2-2。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络C1C2L1L2Z图2-2-2电路实现电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

为了求网络中的元件值，将Z(s)展开为部分分式，并合并为复共轭的形式：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

CL由此可得：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络C1C2L1L2Z电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络LC网络LCCLLCC2L2L1C1C2L2输入阻抗零、极点的位置(a)(b)(c)(d)(e)(f)元件值的求法:

方法:根据图2-2-2给出的各元件的值求.

电容的值为

电感的值为CL电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络(b)如果阻抗的归一化因子H乘以10，即H由1变为10，就说明网络的阻抗扩大为原来的10倍。则每个元件的阻抗应扩大10倍。于是，L1和L2变为10L1和10L2;C1和C2变为C1/10和C2/10。C1C2L1L2Z电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络(c)如果Z(s)的表达式中的s用10s代替，就说明电路的工作频率增加为原来的10倍。则每个电感的感抗和每个电容的导纳增大为原来的10倍。于是,L1和L2变为10L1和10L2;C1和C2变为10C1和10C2。C1C2L1L2Z电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络2.2.2福斯特2型网络的实现(1)福斯特2型网络的结构为了实现福斯特2型网络，考虑LC网络导纳的最常用表达式：

将Y(s)的表达式展开为部分分式，并将复共轭项组合，得(注意:与Z(S)的形式相同,但性质是导纳.)电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络式（2-2-5)中，系数K的求法如下（注意:与Z(S)的形式相同,但运算对象是导纳）：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

从式（2-2-5）可知，Y(s)为导纳之和，所以该网络可以由并联元件实现：第一项Hs,可以用一个电容量为H法拉的电容实现；第二项k0/s,可以用一个电感量为1/k0亨的电感实现；第三项是：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络其中，

阻抗Z3由两部分组成，第一个是1/k1亨利的电感，第二个是k1/ω2p1法拉的电容。电容和电感串联构成阻抗Z3。式（2-2-5）的其它各项也可以由电容和电感串联构成。式（2-2-5）的完全实现电路如图2-2-3所示。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2Kn/ω2pnY图2-2-3福斯特2型网络的结构电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络（2）福斯特2型网络的特点由以上推导和图2-2-3可以看出，福斯特2型网络具有以下特点.(为了统一,还是讨论Z(S))a.凡是归一化系数为正、在虚轴上具有相互交替的简单零点和极点的有理函数所表示的输入阻抗都可用图2-2-3所示的福斯特2型LC网络实现；b.第一个电容实现Z(∞)=0。如果没有它，其它的电感在s=∞时会使网络开路，从而使Z(∞)=∞；c.第一个电感实现Z(0)=0。如果没有它，其它的电容在s=0时会使网络开路，从而使Z(0)=∞；电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络d.该网络实现了Z(s)的全部各种零点：第一个并联电容实现了无穷大处的零点；第一个并联电感实现了原点处的零点；第一个串联LC电路实现了±jωp1处的零点；第n个串联LC电路实现了±jωpn处的零点；e.从福斯特2型网络不能看出Z(s)的极点的分布情况。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络图2-2-3福斯特2型网络的结构H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2Kn/ω2pnY实现无穷大处的零点Z(∞)=0实现原点处的零点Z(0)=0实现±jωpn处的共轭零点Z(ωpn)=0电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2K3/ω2p3Z实现无穷大处的极点z(∞)=∞实现原点处的极点z(∞)=∞实现±jωpi处的共轭复数点极点z(∞)=∞H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2Kn/ω2pnY实现无穷大处的零点Z(∞)=0实现原点处的零点Z(0)=0实现±jωpn处的共轭零点Z(ωpn)=0（3）福斯特2型网络元件数目的确定Z(s)的每一个极点对应一个元件。因此，由网络阻抗函数Z(s)的极点总数目(包括无穷大处极点的数目)确定。

(这是根据福斯特2型网络元件数目的确定方法推得的)电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络b.并联电感和并联电容的确定电容和电感的数目要么相等，要么差值为1；如果元件的数目为奇数，就需要一个并联电感或并联电容。具体可以根据Z(∞)和Z(0)的值来确定。如果Z(∞)=0,则网络的第一个元件是并联电容；如果Z(0)=0,则网络的第一个元件是并联电感。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

如果元件的数目为偶数，则网络的并联电感和并联电容要么都需要，要么都不需要。如果Z(∞)=0则网络的并联电感和并联电容都需要。如果Z(0)=∞,则网络的并联电感和并联电容都不需要。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

c.LC串联网络的个数的确定

LC串联网络的个数=总的元件数目-并联电容和并联电感的数目3）福斯特2型网络元件数值的确定网络元件的数值由Z(s)的表达式确定电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络例2-2-2用福斯特2型网络实现如下输入阻抗函数解:a）阻抗函数Z(s)有4个极点±j1,±j3

，三个有限零点0,±j2,一个无限远处的零点.零点和极点互相交替.所以,可以用LC福斯特网络实现该阻抗函数。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络解：b）.确定网络元件的数目及电路由于Z(s)有4个极点±j1,±j3

，所以网络总共有4个元件。由于Z(0)=0，所以需要一个并联电感。由于元件数目为偶数，所以需要一个并联电容。由此可以确定电路的结构如图2-2-4所示：L1C1L2C21/k0H1/k1K1/ω2p1电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络用1型网络实现用2型网络实现C1C2L1C1L2C21/k0H1/k1L1L2Z1/k1K1/ω2p1K2/ω2p21/k2用不同网络实现相同的转移函数电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络b.确定元件值由Y(s)的部分分式可知：其中，H=1电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络其中电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络根据Y(s)的表达式和图2-2-3中的元件的关系可以求得各元件的值为：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络也可以根据Y(s)的展开式求元件值：与原电路比较可知有如下关系：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络2.2.3RC福斯特1型网络的实现(1)RC福斯特1型网络的结构RC福斯特1型网络的结构C3C2C1R1R2R电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络K4/α4H1/k01/k21/k41/knK2/α2Y福斯特2型RC网络的结构C3C2C1R1R2R福斯特1型RC网络的结构

设α1

=0，即分子多项式和分母多项式的次数相等，则上式可表示为：

为了实现福斯特1型RC网络，考虑RC网络阻抗最常用的表达式：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络LC网络电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络K的求法如下

实现电路如图所示：1/k31/k51/knZH1/k1K3/α3K5/α5Kn/αnCCRR1/k31/k51/knZH1/k1K3/α3K5/α5Kn/αn图2-2-5福斯特1型RC网络的实现实现原点处的极点Z(0)=∞防止s=∞时网络被电容短路负实轴上位于(-1/RiCi)处的极点z(α)=∞电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络（2）福斯特1型RC网络的特点

由以上推导和图2-2-1看出，福斯特1型网络具有以下特点a.如果一个阻抗函数的归一化系数为正、零点和极点是简单的、相互交替的、并且位于非正实轴上的，而且在原点处或最靠近原点处是一个极点的话，都可以用图2-2-1所示的福斯特1型网络实现；b.Z(s)的低频特性Z(0)决定第一个电容是否出现:

如果Z(0)=∞,则图2-2-5中的第一个串联电容必须出现，以使s=0时网络开路。如果Z(0)≠∞，则图2-2-5中的第一个电容不能出现,以使网络在s=0时有一个电阻通路。c.Z(s)的高频特性Z(∞)决定第一个电阻是否出现:

如果Z(∞)≠0,则图2-2-5中的第一个串联电阻必须出现，以防止s=∞时网络被电容短路。如果Z(∞)=0,则图2-2-5中的第一个电阻必须不出现，以使网络的输入端有一个电容通路使网络在s=∞时短路。

低频特性，Z(0)，Z(s)|s=0

这三种表述等效高频特性，Z(∞)，Z(s)|s=∞

这三种表述等效电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络d.电阻与电容数目的决定:

由s很大和很小的时候,Z(s)的特性决定：当s很大和很小的时候,如果Z(s)的特性都是一个电阻，则在实现电路中的电阻元件的数目比电容的数目大1。当s很大和很小的时候,如果Z(s)的特性都是一个电容，则在实现电路中的电容元件的数目比电阻的数目大1。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

当s很大和很小的时候,如果Z(s)的特性不一样,则电阻的数目与电容的数目相等.即:

当s很大的时候，如果Z(s)的特性是一个电阻，而当s很小的时候，Z(s)的特性是一个电容，或者相反，则在实现电路中的电阻元件的数目与电容的数目相等。电容的数目等于阻抗函数极点的数目.在任何情况下,有一个极点，就有一个电容。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络e.该网络实现了Z(s)的各种极点：第一个电容实现了原点处的极点；每一个RC并联网络实现了负实轴上位于(-1/RiCi)处的极点；电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络例2.7

用福斯特1型RC网络实现下列阻抗函数：解：(1)求电路结构因为Z(s)的零点和极点是交替出现在非正实轴上，所以该函数是可以用RC网络实现的。-1-2-3-4零极点分布电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络因为Z(s)有3个极点，因此电路必须包括3个电容。包含3个电容的电路可能有：1/k31/k5ZH1/k1K3/α3K5/α51/k31/k51/knZK3/α3K5/α5Kn/αn电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

当s很大和很小的时候，Z(s)的特性都是电容性的，即所以，所实现的电路电容元件的数目比电阻的数目大1。故电路必须包含2个电阻3个电容。用福斯特1型RC网络实现Z(s)的电路如图2-2-6。C2C1R1C3R2电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络（2）求元件值为求元件值，将Z(s)的表达式展开为：

求系数：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络于是有：

将上式与图2-2-5相比可以得到：1/k31/k5Z1/k1K3/α3K5/α5电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络(1)ＲC福斯特2型网络可实现的条件：

如果一个阻抗函数的零点和极点是简单的、位于非正实轴上的，并且它在原点处或最靠近原点处是一个极点的话，可以用RC福斯特网络（1型或2型）实现。也就是说,具有下列形式的阻抗函数可以用RC福斯特网络实现:2.2.4福斯特2型RC网络的实现电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络(2)ＲC福斯特2型网络的结构

a.为了方便，先求Y(s)/s。

b.由Y(s)/s求得Y(s)。

c.将Y(s)进行因式分解。求出各因式的系数K。

d.根据Y(s)的表达式求出相应的电路结构。(因为通常给出的是阻抗函数Z(s),而Z(s)的表达式的分母的阶次一般都大于分子的阶次。直接展开Y(s)会得到负的K值，因而为了方便，先求Y(s)/s，而不是直接对Y(s)进行因式分解。)电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络K值按下式求得：

求得ki值以后，将式（2-2-8）乘以s，得Y（s）的展开式电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络Kn/αnK4/α4H1/k01/k21/k41/knK2/α2Y图2-2-7福斯特2型RC网络的实现电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络例2.8用福斯特2型RC网络实现下列阻抗函数（与例2-2-3的相同）：

解：因为Z(s)的零点和极点是交替出现在非正实轴上，所以该函数是可以用RC网络实现的。-1-2-3-4零极点分布电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络

因为Z(s)有3个极点，因此所实现的电路必须包括3个电容。

当s很大和很小的时候，Z(s)的特性都是一个电容，即

所以，所实现的电路必须包括2个电阻(电容的数目比电阻多1)。电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络用福斯特2型RC网络实现Z(s)的电路如图2-2-8所示。C6图2-2-8福斯特2型RC网络的实现C4R2R4C5H1/k2K2/a2K4/a41/k4电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络（2）求元件值为了求元件值，将Y(s)/s的表达式展开：电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络求得Y(s)的表达式为各系数的求法如下:电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络将上式与图2-2-8相比可以得到：

C1R2R4C2H1/k2K2/a2K4/a41/k4C4电路理论与设计2.2用部分分式法综合无源网络例2.9

某一振荡器含有3次谐波失真.设计一个滤波器,要求：能抑制3次谐波失真而不衰减基波分量.VOZRVi振荡器电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计解:该滤波器可以用一个阻抗Z来实现.

设基波频率为ω.

为了能抑制3次谐波信号,阻抗Z必须在处具有零点.

为了不衰减基波分量,阻抗Z必须在处具有极点。因此,阻抗函数应为：

××-jω-j3ω+j3ω+jω电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计原点处附加的零点不影响对3次谐波信号的抑制,也不影响基波信号的通过（如果输入中含有直流分量，则不能附加该零点）。该函数可以用福斯特1型电路实现，也可以用福斯特2型电路实现。××

上述阻抗函数不能用无源元件来实现。因为它的零点和极点不是交替的。为了能用无源元件来实现，修改使原函数在原点处具有零点：××-jω-j3ω+j3ω+jω电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计福斯特1型实现电路：将原函数Z(s)分解为部分分式RVi电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计福斯特2型实现电路：将导纳函数Y(s)分解为部分分式RVi电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计1.WhyareweinterestedinLCladdernetworks?(1)Imaginary-axistransfer-functionzerosmaybeimplementedbytheproperchoiceofLCimpedancesintheseriesandshuntarmsoftheladder.(2)WithRCladdernetworks,negativereal-axispolesandzeroscanbeimplemented.(3)ResistivelyterminatedLCladdernetworksmaybeusedtorealizetransferfunctionswithlefthalf-planepoles.Low-pass,high-pass,band-pass,andband-stopfiltersareexamplesofsuchrealizations.电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计2.4.1梯形网络及其主要性质2.Themainfeatureofladdernetworks(1)Aladdernetworkiscomposedofelementsconnectedalternatelyinseriesandinparallel.(2)Iftheinputisavoltagesource,thefirstelementisalmostalwaysaserieselement(inthiscase,anyshuntelementwouldaffectonlytheinputimpedancebutnotthetransferfunction).Iftheinputisacurrentsource,thefirstelementisalmostalwaysashuntelement.

电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计

(3)Mostladdernetworksaredesignedwithacommoninputandoutputterminal.(4)Anotherimportantfeatureofladdernetworksistheeasewiththezerosofthetransferfunctionarerecognizedorimplemented.Azerooftransferfunctionoccursforthosevaluesofsthatmakeaseriesimpedanceinfiniteorashuntimpedancezero.（前面学过的阻抗和现在的转移函数的关系）电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计１.Transfer-functionzero-producingsectionsFig.2-4-1Serieselementsanditstransferfunctionzero(s)atinfinityS=∞atoriginS=0电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计2.4.2梯形网络传输零点的实现2.Transfer-functionzero-producingsectionsFig.2-4-2

Shuntelementsanditstransferfunctionzero(s)atinfinityS=∞atoriginS=0电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计Theinput-impedancefunctionofLCnetworkhaspolesandzerosthatarepurelyimaginary.IftheLCnetworksareusedintheseriesorintheshuntarmsofaladder,causetransfer-functionzerosthatareontheimaginaryaxisonly.LC网络的零极点都是虚的,因此将LC串联网络用在梯形网络的并臂上或将LC并联网络用在梯形网络的串臂上，就可以实现梯形网络转移函数在虚轴上的零点.电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计(1)虚轴上零点的实现：(2)无穷远处零点的实现将电感L用在梯形网络的串臂上或将电容C用在梯形网络的并臂上可以实现梯形网络转移函数在无穷远处的零点.ViVo实现s=∞处的零点实现s=0处的零点实现处的零点实现处的零点实现s=0处的零点实现s=∞处的零点L1L2C1L3L4C2C3C4R电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计(3)原点处零点的实现将电感L用在梯形网络的并臂上或将电容C用在梯形网络的串臂可以实现梯形网络转移函数在原点处的零点.ViVo实现s=∞处的零点实现s=0处的零点实现处的零点实现处的零点实现s=0处的零点实现s=∞处的零点L1L2C1L3L4C2C3C4R电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计

图2-4-8双端接电阻的LC梯形网络LC网络ViVoRLRs+-2.4.3端接电阻的LC梯形网络１.端接电阻的LC梯形网络的性质在网络的源端和负载端都有端接电阻的网络称为双端接载的LC梯形网络。如图所示。电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计

如果LC网络连接成梯形网络，则电压转移函数的形式为：

其中Ｋ为零或正整数。转移函数的零点:位于虚轴上、原点处或无穷远处。原点处可能有多重零点,它们是由串联电容或并联电感实现的;

当时,虚轴上也可能有多重零点.

转移函数的极点:所有极点都有负实部,因此,在原点处或无穷原处没有极点.

电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计

式(2-4-5)可实现的条件:

（1）零点：位于原点、虚轴上或无穷大处。（2）极点:位于s平面的左半平面,即原点或无穷大处不会有极点。即：如果一个转移函数没有原点或无穷大处的极点，那么，它就可以用一个端接电阻的LC网络实现。

与ＬＣ网络不同，端接电阻的LC梯形网络零点极点无须交替。电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计２.梯形网络转移函数分母多项式的分解设梯形网络转移函数分母多项式为P(s),如果它的零点位于S左半平面（RLC网络的分母就具有这种形式），根据P(s)中S的幂次的奇偶,可将P(s)分解为偶部Ev(s)和奇部Od(s),即分解以后的偶部和奇部具有以下性质:偶部和奇部的零点是简单的、位于虚轴上。且偶部和奇部的零点(如果P是一个转移函数的分母,则这些零点就是转移函数的极点)是相互交替的;电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计(2)偶部和奇部的比或与LC网络输入阻抗函数的性质完全相同。所以,由具有左半平面零点的多项式的偶部和奇部组成的或可以用LC网络输入阻抗实现.

由一个LC网络输入阻抗函数的分子和分母多项式相加形成的多项式是一个具有左半平面零点的多项式.电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计Example2-4-3GiventhepolynomialShowthattheratiofromtheevenandoddpartsofthispolynomialisrealizableastheinputimpedanceofanLCnetwork.SolutionThepolynomial,infactoredform,isNotethatallthezerosofP(s)inthelefthalf-plane.Therefore,theratioformedfromitsevenandoddpartsisLC-realizable.Toshowthis,poseP(s)intoitsevenandoddpartsandfactortheresultingpolynomials:电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计ThezerosofEv(s)areat:ThezerosofOd(s)areat:电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计Thezerosofbothpartsaresimpleandpurelyimaginary.Furthermore,theycanbearrangedinalternatingorder.Therefore,therationalfunctionformedbytheratiooftheeven-tooddpartoritsinverseisrealizableastheinputimpedanceofaLCnetwork;forexample,电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计2.4.4源边端接电阻的LC梯形网络

因为一个电阻可以将一个LC网络的极点移动到左半平面，该电阻可以放在网络中比较方便的位置。一种可能就是置于输入端，该电阻可以包含电源的内阻。为了不失一般性，令该源电阻为１Ω（以后我们可以将网络中每个元件的阻抗乘以源电阻ＲＳ的实际值。这种归一化方式并不影响电压比）。

电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计图2-4-9源边端接电阻的网络

2LC+ViVo1+-12Z1LC1RS实现图2-4-9所示网络的源边端接电阻的网络的设计步骤。电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计(1).将V0/Vi的分母多项式分解为偶部和奇部：(2).根据转移函数分子Ｎ中s最高次幂的奇、偶，分别利用下面的公式设计LC网络:电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计(3).将前面所设计的LC网络接成如图2-4-9所示的形式,就是所要设计的源边端接电阻的LC网络.LC+ViVo1+-12Z1LC1RS电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计如果源电阻是50,求H的值.例2.13

设计一个网络,以实现下列传递函数:电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计解:（1）网络的可实现性讨论极点:网络的极点为-1,,均位于s左半平面。零点:原点处有一个零点，无穷大处有2个零点。

(因为分母比分子高2次,所以有2个零点位于无穷大处).

该函数没有原点或无穷大处的极点，满足式（2-4-5）的可实现条件。可以用一个端接电阻的LC梯形网络实现。电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计(2)网络函数的分解为了得到这样的网络，首先确定给定函数的N、Ev和Od=故得：N=HS，Ev=2S2+1，Od=S3+2S电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计（3）构建LC网络因为N为奇，和用式（2-4-11a）构建LC网络的输入阻抗：将Z1LC展开为分式，得到福斯特Ⅰ型网络

其中L1=1/2，C1=4/3，L2=3/2电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计Vo1-L1=1/2C1=4/3Vs++L2=3/2

（4）构建端接载的LC网络画出Z的网络并安排输出端以使两个零点位于无穷大处，一个零点位于原点处。实现电路如图2-4-10a。其中无穷大处的二阶零点由L1和C1实现，原点处的零点由L2实现。图2-4-10a电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计L1=1/2Vo1-C1=4/3Vi++L2=3/2下图所示电路也符合Z1LC表达式的关系,但输出端的安排不能实现两个位于无穷大处的零点．电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计为了求H,可求出S很大时图2-4-10所示电路的传递函数,并将它和题目给出的传递函数进行比较得到。当S很大时图2-4-10所示电路的传递函数为:(S很大时:

与L1相比,RS可以忽略;

与C1相比,L2可以忽略.所以变成L1和C1的分压).Vo1-L1=1/2C1=4/3Vs++L2=3/2电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计比较两个转移函数,

当S很大时题目给出的传递函数为:从而求得H=3/2。电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计

如果源电阻不是1Ω而是50Ω，则需要将图2-4-10a中各阻抗乘以50，就可以得到所需的电路.也就是将各电阻和电感值乘以50而将各电容值除以50而得到。其实现电路如图2-4-10b所示。图2-4-10a、b可以实现相同的传递函数。Vo50-L1=25C1=2/75Vi++L2=75图2-4-10(b)Vo1-L1=1/2C1=4/3Vs++L2=3/2图2-4-10(a)电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计

下面用福斯特Ⅱ型电路实现上述传递函数将Y1LC展开为部分分式：

其中：La=2，Lb=2/3，Ca=3/4

画出当原电阻R为1Ω和50Ω时的福斯特Ⅱ型实现电路如图2-4-11a、b所示。电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计Vo1-La=2Ca=3/4Vi++Lb=2/3Vo50-La=100Ca=3/200Vi++Lb=100/3电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计无限远处的零点由Lb，C2实现。原点处的零点由La实现当S很大时可求出H值：

所以，H=2电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计Z2LCViTLCVoRL1+-22负载端端接电阻

将网络极点移动到左半平面的另一种办法是在LC网络的输出端接入一个电阻，该电阻可能就是网络的负载。设该电阻为1Ω。实现电路的形式为图5—12a所示。

（a）（b）图2-4-12负载端端接电阻LCViVoRL1+-Z2LC1122电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计

令TLC(s)代表端口2开路时从端口1到端口2的电压传输函数，则Vi传到端口2的实际电压为ViTLC。

ZLC为LC网络的输出阻抗。则从端口2看进去的戴维南等效电路为图2-4-12b所示。则

（2-4-14）传递函数为电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计

（2-4-15），

（N为偶数）（2-4-16a），

（N为奇数）（2-4-16b）。

因为TLC代表一个LC梯形网络的电压比，由式（2-4-6）可知它是S的偶次函数。为了获得TLC和Z2LC，将式（2-4-14）分解为电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计比较方程（2-4-14）和（2-4-16）得

（2-4-17a）

（2-4-17b）于是，根据所给定的电压传递函数中的N、奇部Od、偶部Ev，就可以利用式(2-4-17a、b)构造出TLC和Z2LC。Z2LC是一个梯形网络，其中的各支路可以实现Vo/Vi的所有零点。

电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计小结：负载端接电阻的LC网络的设计公式：电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计例2.14设源阻抗为0Ω，负载为50Ω，设计一个网络以实现下列传递函数并求H的值.：电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计解：所给的传递函数与例2-4-3中的相同。与例2-4-3一样，我们首先将Vo/Vi分解，可获得N、Ev和Od。

于是得：N=HS，Ev=2S2+1，Od=S3+2S电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计

因为N为奇数，利用式（2-4-17a）构建LC网络的输出阻抗Z2LC

将Z2LC展开为部分分式，以实现福斯特Ⅰ型电路：于是得：C1=2，C2=2/3，L1=3/4。电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计

画出Z2LC网络并安排输入端口以使无穷大处具有2个零点，原点处有1个零点。端接负载电阻为1Ω时的实现电路为图2-4-13a所示。无穷大处的零点由L1和C2实现，原点处的零点由C1实现。RL1L1=3/4C2=2/3+ViC1=2Z2LC电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计当S很大时得：

求得H=2。为了得到端接50负载时的实现电路。可将图2-4-13a中各阻抗值乘以50，得到图2-4-13b所示电路。电路理论与设计2.4端接电阻的LC梯形网络的设计Vo-+Vi+RL50L1=75/2C