第八章理论力学

第八章刚体的平面运动一、刚体的简单运动：1、刚体的平行移动；2、刚体的定轴转动．二、刚体的复杂运动：除了简单运动的刚体运动都属于刚体的复杂运动；其中包括平面运动．三、本章研究的主要问题：1、平面运动刚体的整体运动；2、平面运动刚体上各点的运动．§8-1刚体平面运动的概述和运动分解一、平面运动：刚体的运动位于同一个平面内、且既不是平动也不是定轴转动的一般运动称为平面运动．动画库\定块机构.SWF

二、平面运动刚体的整体运动：1、在定坐标系中研究平面运动刚体的整体运动：

在平面定坐标系中，平面运动刚体的整体空间位置可以由刚体上任一点的坐标、（此时刚体只能作绕该点的定轴转动）及刚体上另一点与点的连线（因为刚体上任意两点间的距离不会发生变化）相对点的转角即可加以确定．1）平面运动刚体的运动方程：该点称为平面运动刚体的基点，则刚体的平面运动可以由基点的运动和相对基点的运动确定．故：2）速度（略）：3）加速度（略）

：2、引入动坐标系后研究平面运动刚体的整体运动：

1）在定坐标系的基础之上，引入动坐标系：（1）在平面运动刚体上选择一点（通常最好是运动已知的点）作为基点；（2）以基点为坐标系的原点建立动坐标系；（3）动坐标系的运动状态选择为平动状态；故：动坐标系是一个建立在基点上的平动坐标系；则其运动完全等同于基点的运动．

2）平面运动刚体整体运动的分解：绝对运动：刚体相对于定坐标系的平面运动；牵连运动：动系相对于定系所作的完全等同于基点的平动运动．相对运动：刚体相对动系的运动（即刚体相对基点的定轴转动）．

∵

绝对运动的运动方程为：

牵连运动的运动方程为：完全等同于基点的运动．

相对运动的运动方程为：相对于基点的转动．∴

平面运动可以分解为平动和定轴转动．3）选择不同基点对平面运动分解结果产生的影响：在平面运动分解过程中（1）若选择A点为基点：则此时平面运动可分解为随A点的平动和相对A点的转动．=+（2）若选择B点为基点则此时平面运动分解为随B点的平动和相对B点的转动．=+由此可见：，；则得结论：刚体平面运动的整体运动进行分解时，其中随基点的平动运动会随基点的选择不同而发生变化；而相对基点的转动运动不会随基点的选择不同而发生变化；同时，刚体的整体运动描述（即其运动方程）会随基点的选择不同而不同．§8-2求平面图形内各点速度的基点法1、平面图形内各点的速度：即平面运动刚体上各点的速度．2、基点法：在平面运动刚体整体运动引入建立在基点上的平动坐标系进行分析的基础上，对平面运动刚体上各点的运动进行分析的方法．3、求平面图形内各点速度的基点法：1）定坐标系：．2）动坐标系：选择刚体上运动已知的点为基点建立平动坐标系．平面运动刚体的整体运动可分解为随着基点的平动运动和相对基点的转动运动；设基点的速度为，设刚体的角速度为．3）选刚体上的任一点为动点．4）分析动点的速度：绝对速度：相对定系运动的速度相对速度：相对动系运动的速度；由于动点是刚体上的一点，而在动系中刚体的整体运动是相对基点的转动，其角速度为，所以动点的相对速度与刚体的整体运动量有一定的关系：

（大小：，方向：，指向：与转向一致）牵连速度：动系上与动点重合的牵连点的绝对速度;而动系为平动运动，其整体运动等同于基点的运动，因此动点的牵连速度就等于基点的速度:则由点的速度合成定理得：即：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。这种以建立在基点上的平动坐标系为基础、对平面运动刚体的速度进行分析的方法称为基点法．注意：（1）尽管平面运动整体运动的平动部分总是与基点的选择有关，但刚体上任一点的运动却与基点的选择无关；这是因为无论整体运动的平动部分由哪个基点决定，刚体上各点的运动都可通过与基点的距离进行调整．（3）若将基点法用于两种特殊情况，则可得求解平面运动的另外两种方法：速度投影定理和速度瞬心法．（2）由于基点法既可求解平面运动刚体的整体运动又可求解刚体上各点的运动，因此它是求解平面运动的基本方法．此表达式中共包括六个因素，未知量可能是动点（即刚体上任一点）的速度大小和速度方向，以及刚体整体的转动角速度；若已知四个因素，则可求解另外两个因素．4、求平面运动刚体上各点速度的速度投影定理：若将基点法的速度合成关系向动点和基点的连线进行投影，则得基点法的特殊形式---速度投影定理：即该两点的绝对速度在其连线上的投影应保持相等；此关系说明了刚体上任意两点间的距离是不会发生变化的．例8-1已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x

轴的负向运动，如图所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB

的角速度。1、运动分析：

AB杆在平面内运动，但既不是平动也不是定轴转动，因此是一般的运动---即平面运动．解：2、速度分析：以基点法研究平面运动刚体的运动：选择其上运动已知的点A为基点，则：

已知：如图所示平面机构中，AB=BD=DE=

l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为

ω=5rad/s。动画库\双摇杆机构.SWF求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。例8-21、运动分析：

AB、DE杆为定轴转动刚体，BD杆为平面运动刚体．解：2、速度分析：从主动件入手逐步分析各杆的速度，其中对平面运动刚体采用基点法进行研究．若选择BD杆上与主动件AB的连接点B为基点，则：

已知：如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，

以角速度ω=2rad/s

转动，连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮

E沿水平面纯滚动，

CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。求：此瞬时点E的速度。例8-31、运动分析：

OA、CD杆为定轴转动刚体，AB、DE及圆轮为平面运动刚体．解：2、速度分析：从主动件入手逐步分析各杆的速度，其中对平面运动刚体采用速度投影定理进行研究．则：

即且对于DE杆§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法1、瞬心：平面运动刚体上或其扩展部分，绝对速度为零的点称为平面运动刚体的瞬心．2、定理：一般情况下,在每一瞬时,平面运动刚体上或其扩展部分都唯一地存在一个绝对速度为零的点，该点称为平面运动刚体在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（或瞬心）．证明：若已知平面运动刚体上基点的速度和刚体的角速度；则由基点法可知，其上任一点的速度为：

其中随的变化呈线性变化规律，而刚体及其扩展部分上的所有点是连续分布的，因此由图可见，当点在的垂线上时，总有一点，其，即：于是点的绝对速度应为：则：任一瞬时刚体上总有一个点的绝对速度等于零，即有一个瞬心．证毕．3、求平面运动刚体内各点速度的瞬心法：将基点法中的基点选在瞬心上，则由得：其中，则：即：平面运动刚体内任意点的速度大小等于该点随刚体相对瞬心做瞬时转动时的回转半径与刚体的角速度的乘积，方向与垂直，指向与转向一致----求平面运动刚体上一点速度的瞬心法．因此，平面运动可以看成为由一系列连续绕速度瞬心作瞬时转动的运动形成的一种运动。4、瞬心位置的确定方法：1）当平面运动刚体沿一固定面做只滚不滑运动时，平面运动刚体的瞬心为其与固定面的接触点．2）当已知刚体上两点的绝对速度的方向，且∥，则平面运动刚体的瞬心在两个速度垂线的交点上．3）当已知刚体上两点的绝对速度的大小和方向，且∥，则平面运动刚体的瞬心必在连线与速度矢和的端点连线的交点上，且：4）当已知刚体上两点的绝对速度的方向，且∥，则平面运动刚体的瞬心在两点速度垂线的交点上，即无穷远处；因此此时刚体做瞬时平动，且有：5、平面运动刚体速度分析的三种方法---速度基点法、速度投影定理和速度瞬心法的比较：1）基点法：优越性：可以求解平面运动刚体的整体运动角速度、也可以求解平面运动刚体上各个点的速度，因此是平面运动刚体速度分析比较全面的一种方法．不足之处：关系较复杂；2）速度投影定理优越性：关系比较简单．不足之处：只能求一个未知量，不是分析平面运动刚体速度的一种全面的方法．3）速度瞬心法优越性：全面、关系比较简单．不足之处：需建立在瞬心能够找到的基础上．因此：三种方法中，相对而言，速度瞬心法是最理想的方法，但当速度瞬心找不到时，仍需使用最基本的方法---基点法．已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，如图所示，AB=l。求：用瞬心法求端的速度以及尺的角速度．例8-4解：1、运动分析：

AB为平面运动刚体;2、速度分析：使用速度瞬心法：由平面运动刚体瞬心位置的确定方法可知，速度瞬心为点C；因为已知，因此可以确定刚体的角速度转向应如图所示，且的方向亦应如图所示；则由瞬心法得知：已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm，由曲柄OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示．曲柄长

，

角速度为

．连杆组由杆，和

组成，杆BG和GD各长500mm．求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度．例8-5解:

1、运动分析：

AB、OE、GD为定轴转动刚体；BG、GE

为平面运动刚体；2、速度分析：由主动件开始逐步向从动件过渡进行运动分析，且得各平面运动刚体的速度瞬心位置、各杆的角速度转向及相应各点的速度方向如图所示；并且由主动件已知的运动量可求得从动件及相应各点的运动量：§8-4用基点法求平面图形内各点的加速度由于加速度不易使用加速度投影定理及加速度瞬心法进行分析，因此加速度一般是采用加速度基点法进行分析：1、求平面运动刚体内各点加速度的基点法：1）定坐标系：．2）动坐标系：选择刚体上运动已知的点为基点建立平动坐标系．平面运动刚体的整体运动可分解为随着基点的平动运动和相对基点的转动运动；设基点的加速度为，设刚体的角速度为、角加速度为．3）选刚体上的任一点为动点．4）分析动点的加速度：绝对加速度：相对定系运动的加速度．相对加速度：相对动系运动的加速度；由于动点是刚体上的一点，而在动系中刚体的整体运动是相对基点的转动，其角速度为、角加速度为，所以动点的相对加速度与刚体的整体运动量、有一定的关系：

牵连加速度：动系上与动点重合的牵连点的绝对加速度;而动系为平动运动，其整体运动等同于基点的运动，因此动点的牵连加速度就等于基点的加速度:则由牵连运动为平移时点的加速度合成定理：得：此表达式可能出现的未知量有动点（即刚体上任一点）的加速度大小和方向，以及刚体整体的转动角加速度；由于加速度涉及到的分量比较多，因此加速度求解一般采用解析法．√√√√因此，求平面运动刚体内各点加速度的基点法为：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，曲柄O1O=l，以匀角速度绕转动。大齿轮固定，行星轮半径为，在大轮上只滚不滑。设A和

是行星轮缘上的两点，求：点A和