奥赛典型例题分析(振动和波)

奥赛典型例题分析(振动和波)11.如图1所示的振动系统，轻弹簧的劲度系数为k，滑轮的质量为M，细线与滑轮之间无摩擦，两个小物块的质量分别为m1和m2，m1>m2，试求滑轮的振动周期.

Mm1m2k图12例1解:m1m2k图1••Mm图2aa先看图2的情况，设轻绳的拉力大小为T，则由上一两个方程可解得天花板所受的拉力为这表明原来系统对天花板的作用与图3物体M′对天花板的作用等效，只要M′取值为3图3m1m2k图1图4k因此，只要在上式中令就可用图4等效于图1,此时有所以，系统的振动圆频率为系统的振动周期为42.如图2所示，物体的质量为m，用弹簧悬挂吊于水平轻杆上，杆的一端与光滑铰链相连，另一端用弹簧悬挂，已知k1、k2、m及尺寸a、b，试求物体m的振动周期.

图2Oabk1k2m5设当m处于平衡位置时，弹簧1、2的伸长量分别为∆l10和∆l20,则例2解:图1Oabk1k2moxxθ对m有对杆有建立ox轴，如图所示，当杆转过一个微小的角θ时，对m有对杆有由以上方程可得6由(5)、(6)式可得由(5)、(7)式消去θ可得由这方程可知m的振动圆频率为故m的微振动周期为73.如图3所示，质量为m的小球C由细绳AC和BC共同悬挂，已知AC＝l，BC＝2l，∠ACO＝∠BCO＝30º,试求小球C在垂直纸面方向上的微振动周期.图3CABml2lO30°30°8

方法1：以A为等效悬挂点图1CABml2lO例3解：30°30°ggcos30°于是小球C在垂直屏幕面方向上的微小摆动的周期为O'方法2：以AB线与CO线的交点O'为等效悬挂点则等效摆长l'为CO'，根据几何关系可求得那么小球m的微振动周期为把重力加速度沿AC方向和AB方向分解，可得在AC方向的分量值为gcos30°.94.半径为R的轻圆环上固定两个质量相同的小重物，在环上与两个小重物距离相等的O处钻一小孔，将这小孔穿过墙壁上的光滑小钉而把圆环挂起来，使圆环可以在竖直平面上作微振动，两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离2α表示，如图4所示，试求圆环微振动的周期.αO图4R●●αR10例4解：图1αOR●●αR

用能量法求周期●●设每个重物的质量为m，它作微振动时的最大角振幅为,如图所示，那么它通过平衡位置时的最大速度为其中故于是摆的最大动能为设摆的质心C能上升的最大高度为hCm，则据机械能守恒定律有C11C●●图1αOR●●αR在平衡位置时，质心C据悬挂点O的距离为因最大偏角为，故质心上升的最大高度为于是由可得解得因为所以圆环微振动周期为125.如图5所示，在水平光滑桌面的中心有一个光滑小孔O，一条劲度系数为k的细弹性绳穿过小孔O，绳的一端系于小孔O正下方地面的A处，另一端系一质量为m的小物块，弹性绳的自然长度等于OA，现将小物块沿桌面拉至B点处，OB＝L，并给小物块一个与OB垂直的初速度v0沿桌面射出，试求：(1)小物块绕O点转过90°到达C点所需要的时间;(2)小物块到达C点时的速度及CO的长度.●OBAv0图513例5解：●OBAv0图1xy图2(1)据胡克定律，质点在其运动轨迹上任一位置处所受弹力的大小为F＝kr,其中r为质点所在位置与原点O的距离,也是弹性绳的伸长量.由图2得可见，质点在x方向和y方向都作简谐振动.平衡位置都在原点，振动圆频率都是周期都是14质点从起始位置B绕O点运动到C点，对于x方向的简谐振动来说，质点是从最大位移的位置运动到平衡位置的，恰好经历了1/4T,所以xy图2(2)在x方向上，质点作简谐振动，利用如图3所示的参考圆，可确定其振幅和初相:图4于是其在x方向的简谐振动方程为速度为15可求得利用公式及初始条件因质点经t=T/4时间到达C点，故在C点处，有于是166.三根长为l＝2.00m的质量均匀的直杆构成一个等边三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图6所示，现观测到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试证明松鼠的运动应是一种什么样的运动.ABCl图6ll(96年13届预赛题)17例6解：ABCl图1ll建立如图所示ox轴.因为题设玩具松鼠在导轨上运动时，框架都静止不动.那么以框架作为研究对象，对C轴力矩平衡，因此当玩具松鼠运动到图中位置时，它除了受到玩具松鼠给以的向下的、大小为mg的压力外，必然受到玩具松鼠给以的大小为F的向左的力作用.于是有得那么，玩具松鼠也必然受到一个向右的大小等于F的力F'的作用.18由此可见，玩具松鼠的运动必然是简谐振动.其振动周期为因玩具松鼠到达AB导轨两端时应反向它的，所以其振幅不能大于1/2l,即由以上论证可知，玩具松鼠在导轨AB上的运动是以AB中点为平衡位置，振幅不大于1米，周期约为2.64s的简谐振动.197.A是某种材料制成的小球，B是某种材料制成的均匀刚性薄球壳，假设A与B的碰撞是完全弹性的，B与桌面的碰撞是完全非弹性的.已知球壳质量为m，内半径为r，放置在水平无弹性的桌面上，小球A的质量也为m，通过一自然长度为r的柔软弹性绳悬挂在球壳内壁的最高处，且有kr=9mg/2，k为弹性绳的弹性系数.起初将小球A拉到球壳的最低点，如图7所示，然后轻轻释放，试详细地、定量地讨论小球A以后的运动.(92年第9届预赛题)AB图7●20例7解：AB图1●小球A的平衡位置O'与球心O的距离为∆l，且有以O'为原点建立如图所示的x轴.设任一时刻，小球A偏离平衡位置，其坐标为x，那么它所受的回复力为令，则小球的运动方程为因为t=0时，21所以小球的振幅为初相为故小球运动方程为运动速度为加速度为当时，即小球A回到球心O处，由(1)式可得AB图1●22所以由(2)得此时小球的速度为由(3)得此时小球的加速度为此后，小球向上运动，绳子不再拉紧小球，小球A作竖直上抛运动.小球上升的最大高度不能超过r，故当小球A上升高度为r时，其速度大小为v，有23这表明小球A将与球壳相碰，由于两者质量相等，且碰撞为弹性碰撞，所以，A与B交换速度，B竖直上抛，而小球A则自由下落.B能上升的最大高度为所用时间为此后，B自由下落.而当B上升到最大高度时，小球A的下落高度为由于这表明此时绳子仍未拉紧.24令，其中由这三式可解得：这表明经历时间t，绳子将被拉直，此时小球A回到球壳的球心O点，球壳B则经历一升一降，又回到原来位置，并与桌面作完全非弹性碰撞而静止.此时小球A的速度为此后在绳子作用下又作简谐振动.其振动方程为由初始条件：可求得25故于是由于所以小球A向下运动时不可能与球壳相碰，这是预料中的事，因球壳B与桌面的碰撞是完全非弹性碰撞，能量有所损失.故球壳B将一直静止下去.小球A的振动周期仍为26由图2所示的参考圆可知，小球A从O点下落再回到O点需时间为图2接着，小球A又做竖直上抛运动，上抛的初速度大小为其上抛的最大高度为到最高点时速度为零，故小球A只是与球壳轻轻接触而不发生碰撞，然后又落回，球壳B则保持静止.小球A从上抛到回到O点需时间为27此后，球壳B一直保持静止，而小球A则作简谐振动→竖直上抛运动→简谐振动→竖直上抛运动→简谐振动…这样的周期性运动，其运动周期为小球A与球壳B的运动情况可以用下图来表示.●●●●●●重复A●B288.如图8所示，一只狼沿半径为R的圆形岛边缘按逆时针方向匀速跑动，当狼经过岛边缘某点时，一只猎犬以相同速率v从岛中心O出发追赶狼，设在追赶过程中狼、猎犬、中心O三者始终在同一直线上，问猎犬应沿何种曲线追赶？它在何处可以追上狼？O·图829例8解：方法一（解析法）：建立极坐标系，如图1所示.设t=0时，犬和狼分别位于图中的O点和A点，经历一段时间，在时刻t，狼到达C点，犬到达距圆心O为r的D点.依题意，O、D、C三点在同一直线上.狼绕岛做圆周运动的角速度是恒量，为图1设犬在D点处的径向速度和横向速度分别为和.为保证任何时候犬和狼都在同一直线上，则必须有即由于即因此有即有或因v、ω都是恒量，30图1这表明在以ω转动的参考系来看，在r方向上，犬做简谐振动.设其方程为当时，,，速度沿r轴正方向，而且最大，为所以且，于是在静止参考系的固定坐标系o-xy中，在t时刻犬的坐标为31图1由以上两个方程消去t得犬的轨迹方程这是一个圆心在（0，R/2），半径为R/2的半圆.这半圆与狼的轨迹圆的交点B就是犬可能追上狼的地方.犬沿这半圆从O点到达B点需时间为狼沿圆从A点到达B点需时间为因，这说明B点就是犬追上狼的地方.32方法二：猜想和证明法开始时，犬在O点，狼在A点，犬的速度应该全是径向速度，而无需横向速度,速度方向应与轨迹相切，所以，犬的轨迹圆的圆心应在y轴上.当犬在B点追上狼时，它们的速度方向应相同都与y轴垂直，犬的速度应该全是横向速度.此时犬的速度方向也应与其轨迹圆相切，故轨迹圆的圆心也应在y轴上，由此可知犬的轨迹圆应是以OB为直径的圆.下面再证明这个圆满足题目所给的条件.设狼位于A点时犬从O点出发追狼.当犬未追上狼时，总可以把它的速度按径向和横向分解.径向速度vr使犬与狼的距离缩短，而横向速度vθ则使犬和狼以及O点保持在同一直线上.因为狼的轨迹是圆，因此可猜想犬的轨迹也是圆，并且在B点追上狼.33设犬到达D点时狼到达C点，连接犬的轨迹圆的圆心O'和D点，因圆心角是对应的弦切角的两倍，所以，∠DO'O=2θ.则有犬在t时间内通过的路程为延长OD与圆O相交于C'点，则又因狼的速率与犬的速率都是v，所以它们在相同的时间内通过相同的路程，所以，应有则表明C'与C点重合，实际上是同一个点.也就表明任何时候，O点和犬、狼都在同一直线上.满足了题目所给的条件.半圆O'确实是犬的轨迹.349.到了晚上，地面辐射降温使空气层中产生温度梯度，温度随高度递增，这导致声速v随高度y变化，假定变化规律为v=v0(1+a2y2)，其中v0是地面（y＝0）处的声速，a为比例常数，今远方地面上某声源发出一束声波，发射方向与竖直方向成角，假定在波的传播范围内ay<<1，试求该声波在空间传播的轨迹，并求地面上听得最清楚的地点与声源的距离.

35例9解：本题要求的是声波波线的轨迹，该波线与地面的交点就是地面上听得最清楚的地点.图1第i层第i+1层第1层如图1所示，声源在坐标原点，x轴沿地面，沿y轴将空气分割成平行于x轴的n(n→∞)个薄层.每个薄层的厚度为∆y(∆y→0)，声波从o点开始进入第一层，入射角为θ0,在各层空气中的声速依次为