信号与系统-06能量谱和功率谱

§6.1引言信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。本章主要内容利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；信号的正交函数分解；相关函数；能量谱和功率谱；相关、正交概念的应用：匹配滤波器，码分复用技术。§6.2

信号矢量空间的基本概念线性空间范数内积柯西－施瓦茨不等式一．线性空间定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。例:二．范数

常用范数这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的信号，sup表示其幅度值。(3)常用的范数可见，一阶范数表示信号作用的强度。一阶范数物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。二阶范数三．内积直角坐标平面内两矢量相对位置关系利用范数符号，将矢量长度分别写作于是上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的“校准”情况。即多维三维推广信号空间对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为内的两连续信号的内积四．柯西－施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式§6.3信号的正交函数分解矢量的正交分解

正交函数正交函数集复变函数的正交特性将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。简化系统分析与运算，总响应=单元响应之和。信号分解的目的误差矢量系数两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？方式不是惟一的：一．矢量的正交分解正交分解空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。

平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。一个三维空间矢量，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：

二．正交函数误差系数三．正交函数集任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：原函数近似函数r=0,1,2,...n基底函数分解原则是误差函数方均值最小理解正交函数集规定：

所有函数应两两正交。

不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。

是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。此公式是个通式，适合于任何正交函数集。两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是c12=0，即：

总结两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满足正交。四.复变函数的正交特性则此复变函数集为正交函数集。§6.4完备正交函数集、

帕塞瓦尔定理完备正交函数集帕塞瓦尔定理定义1：

定义2：

一．完备正交函数集二．帕塞瓦尔定理物理意义：

一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。信号的能量基底信号的能量各信号分量的能量数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。§6.5相关能量信号与功率信号相关系数与相关函数相关与卷积的比较相关定理6.6在一个周期内，R消耗的能量平均功率可表示为设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R上的电压瞬时功率为一．能量信号和功率信号定义讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：

(有限值)

(有限值) 满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R=1，则在整个时间域内，实信号f(t)的平均功率能量一般规律一般周期信号为功率信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。如u(t)是功率信号；而tu(t)为非功率非能量信号;δ(t)是无定义的非功率非能量信号。数学本质:相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。物理本质:相关与信号能量特征有着密切联系。

1．相关系数由两个信号的内积所决定：二．相关系数与相关函数由柯西－施瓦尔茨不等式，得所以2．相关函数f1(t)与f2(t)是能量有限信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数f1(t)与f2(t)是功率有限信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数分如下几种情况讨论：(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号①f1(t)与f2(t)为实函数:相关函数定义:可以证明：τ的偶函数相关函数：同时具有性质：(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号②f1(t)与f2(t)为复函数:

相关函数：

自相关函数：

(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号①f1(t)与f2(t)为实函数:相关函数：自相关函数：(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号②

f1(t)与f2(t)为复函数:两者的关系即与为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。反褶与之卷积即得与的相关函数

三．相关与卷积的比较

与卷积表达式：与相关函数表达式：说明相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。①

②

③

四．相关定理若已知则若则自相关函数为说明1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之积。2.自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。§6.6能量谱和功率谱6.7能量谱与功率谱1.能量谱由相关定理知所以又能量有限信号的自相关函数是有下列关系若为实数,上式可写成……帕塞瓦尔方程定义……能量谱密度（能谱）所以有所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。是功率有限信号则的平均功率为：定义f(t)的功率密度函数(功率谱）2．功率谱利用相关定理有：并取两端乘以可以得到：即功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。§6.7信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析能量谱和功率谱分析信号经线性系统的自相关函数6.8前面，从中研究了现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。三者的关系一．能量谱和功率谱分析X时域频域物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与的乘积。同样，对功率信号有物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与的乘积。所以

显然二．信号经线性系统的自相关函数由得因为所以其中为系统冲激响应的自相关函数。§6.8匹配滤波器6.9一．定义匹配滤波器：指滤波器的性能与信号的特性取得某种一致，使滤波器输出端的信号瞬时功率与噪声平均功率的比值最大。即当信号与噪声同时进入滤波器时，它使信号成分在某一瞬间出现尖峰值，而噪声成分受到抑制。二．匹配滤波器的约束关系依据：滤波器使信号平方与噪声功率之比达到最大值。匹配滤波器的约束关系其冲激响应为s(t)为输入信号①

如图(b)(c)(d)(e)分别示出

说明②

③

由于得所以§6.9码分复用、码分多址(CDMA)通信6.11一．定义码分：利用一组正交码序列来区分各路信号。码分复用：利用自相关函数抑制互相关函数的特性来选取正交信号码组中的所需信号，因此也称为正交复用。二．码分复用的理论依据三．码分复用的原理解调解调输出g1(t)说明码分复用的同步解调过程从本质上讲是利用了相关运算，求相关函数的运算包含相乘和积分，而低通相当于实现积分功能，完全不同于频分复用或时分复用。四．码分复用的优点码分复用具有抗干扰性能好；复用系统容量灵活；保密性好；接收设备易于简化等。目前在无线移动通信系统中具有很好的应用前景。五．码分复用的应用