华师版八年级数学下册期末综合复习试题含答案

华师版八年级数学下册期末综合复习试题含答案第16章三、解答题(共66分)19．(16分)计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＋(3.14－π)0＋eq\r(16)－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2))；解：原式＝2＋1＋4－2＝5.(2)eq\f(1,x－3)＋eq\f(6,9－x2)－eq\f(x－1,6＋2x)；解：原式＝eq\f(2（x＋3）,2（x＋3）（x－3）)－eq\f(12,2（x＋3）（x－3）)－eq\f(（x－1）（x－3）,2（x＋3）（x－3）)＝eq\f(－x2＋6x－9,2（x＋3）（x－3）)＝－eq\f(（x－3）2,2（x＋3）（x－3）)＝－eq\f(x－3,2（x＋3）).(3)eq\f(x－2,x－1)×eq\f(x2－1,x2－4x＋4)－eq\f(1,x－2)；解：原式＝eq\f(x－2,x－1)·eq\f(（x＋1）（x－1）,（x－2）2)－eq\f(1,x－2)＝eq\f(x＋1,x－2)－eq\f(1,x－2)＝eq\f(x,x－2).(4)eq\f(2x－6,x－2)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,x－2)－x－2)).解：原式＝eq\f(2（x－3）,x－2)÷eq\f(5－（x＋2）（x－2）,x－2)＝eq\f(2（x－3）,x－2)·eq\f(x－2,－（x＋3）（x－3）)＝－eq\f(2,x＋3).20．(7分)(南通中考)先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(4m＋4,m)))÷eq\f(m＋2,m2)，其中m＝eq\r(2)－2.解：原式＝eq\f(m2＋4m＋4,m)÷eq\f(m＋2,m2)＝eq\f(（m＋2）2,m)·eq\f(m2,m＋2)＝m2＋2m，当m＝eq\r(2)－2时，原式＝m(m＋2)＝(eq\r(2)－2)(eq\r(2)－2＋2)＝2－2eq\r(2).21.(8分)解下列方程：(1)eq\f(x－1,x＋3)＋eq\f(3,x－2)＝1；解：去分母得(x－1)(x－2)＋3(x＋3)＝(x＋3)(x－2)，解得x＝17，经检验x＝17是分式方程的解．(2)eq\f(x,x－1)－1＝eq\f(7,（x－1）（x＋2）).解：去分母得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝7，解得x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．22．(8分)已知y＝eq\f(x2＋6x＋9,x2－9)÷eq\f(x＋3,x2－3x)－x＋3，试说明：x取任何有意义的值，y值均不变．解：y＝eq\f(x2＋6x＋9,x2－9)÷eq\f(x＋3,x2－3x)－x＋3＝eq\f(（x＋3）2,（x＋3）（x－3）)×eq\f(x（x－3）,x＋3)－x＋3＝x－x＋3＝3.又∵x2－9≠0，x2－3x≠0，x＋3≠0，∴x≠0且x≠±3，故当x≠0且x≠±3时，y值均不变．23.(8分)观察下列等式：eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4).将以上三个等式的两边分别相加，得eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(1)直接写出计算结果：eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(n,n＋1)．(2)仿照eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)的形式，猜想并写出：eq\f(1,n（n＋3）)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋3)))．(3)解方程：eq\f(1,x（x＋3）)＋eq\f(1,（x＋3）（x＋6）)＋eq\f(1,（x＋6）（x＋9）)＝eq\f(3,2x＋18).解：仿照(2)中的结论，原方程可变形为eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,x＋3)＋\f(1,x＋3)－\f(1,x＋6)＋\f(1,x＋6)－\f(1,x＋9)))＝eq\f(3,2x＋18)，eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,x＋9)))＝eq\f(3,2x＋18)，解得x＝2.经检验，x＝2是原分式方程的解．24．(8分)(邵阳中考)某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．(1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；(2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？解：(1)设A型机器人每小时搬运xkg材料，则B型机器人每小时搬运(x－30)kg材料，根据题意，列方程eq\f(1000,x)＝eq\f(800,x－30).解得x＝150.检验，当x＝150时，x(x－30)≠0，所以x＝150是分式方程的解，且符合题意．因此x－30＝120.答：A，B两种型号的机器人每小时分别搬运150kg，120kg材料．(2)设购进A型机器人a台，则购进B型机器人(20－a)台，根据题意，列不等式150a＋120(20－a)≥2800.解得a≥eq\f(40,3).因为a是正整数，所以a≥14.答：至少购进A型机器人14台．25.(11分)阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”．将分式eq\f(1－3x,x2－1)表示成部分分式．解：eq\f(1－3x,x2－1)＝eq\f(M,x＋1)＋eq\f(N,x－1)，将等式右边通分，得eq\f(M（x－1）＋N（x＋1）,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(（M＋N）x＋N－M,x2－1).根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(M＋N＝－3，,N－M＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(M＝－2，,N＝－1.))所以eq\f(1－3x,x2－1)＝eq\f(－2,x＋1)＋eq\f(－1,x－1).请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：将分式eq\f(5x－4,（x－1）（2x－1）)表示成部分分式．解：eq\f(5x－4,（x－1）（2x－1）)＝eq\f(M,x－1)＋eq\f(N,2x－1)，将等式右边通分，得eq\f(M（2x－1）＋N（x－1）,（x－1）（2x－1）)＝eq\f(（2M＋N）x－M－N,（x－1）（2x－1）).根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2M＋N＝5，,－M－N＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(M＝1，,N＝3.))所以eq\f(5x－4,（x－1）（2x－1）)＝eq\f(1,x－1)＋eq\f(3,2x－1).第17章三、解答题(共66分)19．(8分)一个长方形的长是x，宽是10，周长是y，面积是s.(1)写出y随x变化而变化的关系式；(2)写出s随x变化而变化的关系式；(3)当s＝200时，x等于多少？y等于多少？解：(1)y和x之间的函数表达式为y＝2(10＋x)＝2x＋20(x＞0)；(2)s与x之间函数表达式为s＝10x(x＞0)；(3)当s＝200时，即200＝10x，∴x＝20，∴y＝2(20＋10)＝60.20．(8分)已知一次函数y＝(m＋3)x＋m－4，y随x的增大而增大，(1)求m的取值范围；(2)如果这个一次函数又是正比例函数，求m的值；(3)如果这个一次函数的图象与y轴正半轴有交点，求m的值．解：(1)根据题意得m＋3＞0，解得m＞－3；(2)根据题意得m＋3≠0且m－4＝0，解得m＝4；(3)根据题意得m－4＞0，解得m＞4.21．(8分)从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路．小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间．假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比平路上的速度每小时多5km.设小明出发xh后，到达离甲地ykm的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．(1)小明骑车在平路上的速度为15km/h；他途中休息了0.1h；(2)求线段AB，BC所表示的y与x之间的函数关系式；(3)如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？解：(2)yAB＝10x＋1.5(0.3≤x≤0.5)，yBC＝－20x＋16.5(0.5≤x≤0.6).(3)设小明第一次经过该地点的时间为th，则第二次经过该地点的时间为(t＋0.15)h，由题意，得10t＋1.5＝－20(t＋0.15)＋16.5，解得t＝0.4，∴y＝10×0.4＋1.5＝5.5.故该地点离甲地5.5km.22．(8分)如图，已知函数y＝－eq\f(1,2)x＋b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2.在x轴上有一点P(a，0)(其中a>2)，过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝－eq\f(1,2)x＋b和y＝x的图象于点C，D.(1)求点A的坐标；(2)若OB＝CD，求a的值．解：(1)由题意，得M(2，2).将M(2，2)代入y＝－eq\f(1,2)x＋b，得b＝3，∴y＝－eq\f(1,2)x＋3.当y＝0时，x＝6，∴A(6，0).(2)∵B(0，3)，∴OB＝CD＝3，∴C(a，－eq\f(1,2)a＋3)，D(a，a)，∴CD＝a－(－eq\f(1,2)a＋3)＝3，解得a＝4.23．(10分)如图，Rt△ABO的顶点A是反比例函数y＝eq\f(k,x)与一次函数y＝－x－(k＋1)的图象在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，且S△ABO＝eq\f(3,2).(1)直接写出这两个函数的关系式；(2)求△AOC的面积；(3)根据图象直接写出：当x为何值时，反比例函数的值小于一次函数的值．解：(1)设点A(x，y)，则xy＝k，∵S△AOB＝eq\f(3,2)，∴eq\f(1,2)(－x)×y＝eq\f(3,2)，∴k＝－3，∴反比例函数表达式为y＝eq\f(－3,x)，一次函数表达式为y＝－x＋2.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(－3,x)，,y＝－x＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝3，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝－1.))∴A(－1，3)，C(3，－1)，∵一次函数y＝－x＋2与y轴的交点坐标为(0，2)，∴S△AOC＝eq\f(1,2)×2×(3＋1)＝4.(3)由图象可得：当x＜－1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例图象的上方，即反比例函数的值小于一次函数的值．24．(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C.(1)求点C的坐标；(2)求直线CD的表达式；(3)若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx＋b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．解：(1)直线y＝2x＋4与x轴，y轴分别交于点A，B，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝－2，∴B(0，4)，A(－2，0),将直线AB向右平移6个单位长度，点B平移后的对应点为点C为(6，4)；(2)∵A(－2，0)，∴D(4，0)，把C(6，4)，D(4，0)代入y＝kx＋b中得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6k＋b＝4，,4k＋b＝0，))解得k＝2，b＝－8，∴直线CD的表达式为y＝2x－8.(3)∵点B(0，4)关于原点的对称点为点E(0，－4)，∴设过点E的直线y＝kx－4，把D(4，0)代入y＝kx－4中得4k－4＝0，∴k＝1，把A(－2，0)代入y＝kx－4中，∴k＝－2，∴k≥1或k≤－2.25.(14分)(襄阳中考)襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：有机蔬菜种类进价(元/kg)售价(元/kg)甲m16乙n18(1)该超市购进甲种蔬菜10kg和乙种蔬菜5kg需要170元；购进甲种蔬菜6kg和乙种蔬菜10kg需要200元．求m，n的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg，且不大于70kg.实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y(元)与购进甲种蔬菜的数量x(kg)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润额y(元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值．解：(1)由题意可得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10m＋5n＝170，,6m＋10n＝200，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝14，))m的值是10，n的值是14；(2)当20≤x≤60时，y＝(16－10)x＋(18－14)(100－x)＝2x＋400，当60＜x≤70时，y＝(16－10)×60＋(16×0.5－10)×(x－60)＋(18－14)(100－x)＝－6x＋880，由上可得，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋400（20≤x≤60），,－6x＋880（60＜x≤70）.))(3)当20≤x≤60时，y＝2x＋400，则当x＝60时，y取得最大值，此时y＝520，当60＜x≤70时，y＝－6x＋880，则y＜－6×60＋880＝520，由上可得，当x＝60时，y取得最大值，此时y＝520，∵在(2)的条件下，超市在获得的利润额y(元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于20%，∴eq\f(520－2a×60－40a,60×10＋40×14)≥20%，解得，a≤1.8，即a的最大值是1.8.第18章三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，且BE＝AD，点F在AD上，AF＝AB.求证：CF＝EF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∴∠D＝∠EAF，∵BE＝AD，AF＝AB，∴AE＝DF，CD＝AF，∴△DCF≌△AFE，∴CF＝EF.20．(8分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E，F分别在边AB，AC上，且BE＝AF，FG∥AB交线段AD于点G，连结BG，EF.求证：四边形BGFE是平行四边形．证明：∵FG∥AB，∴∠BAD＝∠AGF.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠GAF，∴∠AGF＝∠GAF，∴AF＝GF.∵BE＝AF，∴FG＝BE.又∵FG∥BE，∴四边形BGFE是平行四边形．.21．(8分)如图是某城市部分街道，AF∥BC，EC⊥BC，EF＝CF，BA∥DE，BD∥AE，甲，乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B⇒A⇒E⇒F；乙乘2路车，路线是B⇒D⇒C⇒F，假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，问：谁先到达F站，请说明理由．解：两人同时到达F站．理由：∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AB＝DE，∵AF∥BC，EC⊥BC，EF＝CF，∴AF是EC的垂直平分线，∴DE＝CD＝AB，∴BA＋AE＋EF＝BD＋CD＋CF，∵两车速度相同，途中耽误的时间相同，∴甲、乙两人同时到达．22．(8分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点E，交CB于点F，过点E作EH∥AB，交BC于点H.求证：CE＝BH.证明：过E作EG∥BC交BD于点G，∴∠DCB＝∠DEG，∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∴∠ACD＋∠DCB＝90°，∠DEG＋∠DGE＝90°，∴∠ACD＝∠DGE，∵EG∥BC，EH∥AB，∴四边形BGEH是平行四边形，则BH＝EG，∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠GAE，在△CEA和△GEA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACE＝∠AGE，,∠CAE＝∠GAE，,AE＝AE，))∴△CEA≌△GEA，∴CE＝GE，∴CE＝BH.23．(10分)如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．(1)证明：∵∠ADE＝∠BAD，∴AB∥DE，∵AE⊥AC，BD⊥AC，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．(2)解：∵DA平分∠BDE，∴∠EDA＝∠BDA，∵AB∥ED，∴∠BAD＝∠EDA，∴∠BAD＝∠BDA，∴BD＝AB＝5，设BF＝x，则DF＝5－x，∴AD2－DF2＝AB2－BF2，∴62－(5－x)2＝52－x2，∴x＝eq\f(7,5)，∴AF＝eq\r(AB2－BF2)＝eq\f(24,5)，∴AC＝2AF＝eq\f(48,5).24．(12分)如图①，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.(1)求证：OE＝OF；(2)如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2eq\r(2)，∠DOF＝∠α，①当∠α为多少度时，EF⊥AC?②连结AF，求△ADF的周长．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB∥CD.∴∠EBO＝∠FDO.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF.∴OE＝OF.(2)解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝eq\f(1,2)BD＝1，OA＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，又AD＝1，∴AD2＋OD2＝OA2.∴∠ADO＝90°，∠AOD＝45°.∴∠α＝90°－45°＝45.∴当α为45°时EF⊥AC②∵EF垂直平分AC，∴AF＝FC，又AB＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)＝CD，∴△ADF的周长为AD＋DF＋FA＝AD＋CD＝1＋eq\r(5).

25.(12分)分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形△ABE，△CDG，△ADF.(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连结GF，EF.请判断GF与EF的关系；(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．解：(1)GF＝EF.理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝BA.∵△CDG和△BAE分别是以CD和BA为斜边的等腰直角三角形，∴DG＝AE＝eq\f(\r(2),2)CD＝eq\f(\r(2),2)AB.在△GDF中，∠GDF＝∠GDC＋∠FDA＋∠CDA＝90°＋∠CDA，在△EAF中，∠EAF＝360°－∠BAD－∠BAE－∠DAF＝360°－(180°－∠CDA)－90°＝90°＋∠CDA，∴∠GDF＝∠EAF.在△GDF和△EAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DG＝AE，,∠GDF＝∠EAF，,DF＝FA，))∴△GDF≌△EAF，∴GF＝EF.(2)成立．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝BA.∵△CDG和△BAE分别是以CD和BA为斜边的等腰直角三角形，∴由勾股定理求得DG＝AE＝eq\f(\r(2),2)CD＝eq\f(\r(2),2)AB.在△GDF中，∠GDF＝∠GDC＋∠FDA－∠CDA＝90°－∠CDA，在△EAF中，∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝180°－∠CDA－90°＝90°－∠CDA，∴∠GDF＝∠EAF.在△GDF和△EAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DG＝AE，,∠GDF＝∠EAF，,DF＝FA，))∴△GDF≌△EAF，∴GF＝EF.第19章三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H.求证：四边形EGFH为菱形．证明：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，且E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝DE＝BF＝CF.又∵AD∥BC，∴四边形AECF，BEDF是平行四边形．∴GF∥EH，EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形．连结EF，∵AE＝BF，AE∥BF.且∠EAB＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴GE＝GF.∴四边形EGFH是菱形．20．(8分)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，在△AFB与△CEB中，∵AB＝BC，CE＝AF，∠A＝∠C，∴△ABF≌△CBE，∴∠ABF＝∠CBE.21．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是36，求DP的长．解：过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠DPB＝∠ABC＝∠E＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∴∠CDE＋∠CDP＝90°.∵∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADP＝∠CDE，,∠APD＝∠E，,AD＝CD，))∴△ADP≌△CDE(A.A.S.)，∴DE＝DP，∴矩形DPBE是正方形，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝36，∴DP＝eq\r(36)＝6.

22.(8分)如图，已知四边形ABFC为菱形，点D，A，E在直线l上，∠BDA＝∠BAC＝∠CEA.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)若∠FBA＝60°，连结DF，EF，判断△DEF的形状，并说明理由．(1)证明：∵四边形ABFC为菱形，∴AB＝AC.∵∠BDA＝∠BAC＝∠CEA，∴∠2＋∠1＝180°－∠BDA，∠3＋∠1＝180°－∠BAC，∴∠2＝∠3.∴△ABD≌△CAE(A.A.S.)；(2)解：△DEF是等边三角形．理由：连结AF，∵四边形ABFC为菱形，∠FBA＝60°，∴△ABF与△ACF均为等边三角形，∴BF＝AF，∠FBA＝∠FAC＝∠BFA＝60°.∵∠2＝∠3，∴∠FBA＋∠2＝∠FAC＋∠3，即∠FBD＝∠FAE，∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE.∴△FBD≌△FAE(S.A.S.)，∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE.∵∠BFA＝∠BFD＋∠DFA＝60°，∴∠AFE＋∠DFA＝60°，即∠DFE＝60°.∴△DEF是等边三角形．23．(10分)如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连结BE，∠F＝45°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB＝14，DE＝8，求△ABE的周长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAF＝∠F.∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°.∴∠DAB＝90°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°.∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6.在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°.∴AD＝DE＝8.∴BC＝8.在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝eq\r(BC2＋CE2)＝10，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝8eq\r(2)，∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝24＋8eq\r(2).

24.(12分)如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM＝DN.点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F.试猜想线段DF与线段AC的关系，并证明你的猜想．猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF＝eq\f(1,2)AC.证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G，作GH⊥BC，垂足为H，连结AG，CG.则∠EMG＝∠N，∠BMG＝∠BAD，∵∠MEG＝∠NED，ME＝NE，∴△MEG≌△NED(A.S.A.)，∴MG＝DN.∵BM＝DN，∴MG＝BM.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∵∠GMB＝∠B＝∠GHB＝90°，∴四边形MBHG是矩形．∵MG＝MB，∴四边形MBHG是正方形，∴MG＝GH＝BH＝MB，∠AMG＝∠CHG＝90°，∴AM＝CH，∴△AMG≌△CHG(S.A.S.).∴GA＝GC.∵DA＝DC，∴DG是线段AC的垂直平分线．∵∠ADC＝90°，DA＝DC，∴∠DAF＝∠ADF＝45°，∴DF＝AF，同理：DF＝FC，∴DF＝eq\f(1,2)AC.∴线段DF垂直平分线段AC，且DF＝eq\f(1,2)AC.

25.(12分)如图①，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M.已知点A(－3，4).(1)求AO的长；(2)求直线AC的表达式和点M的坐标；(3)如图②，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A－B－C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S.①求S与t的函数关系式；②求S的最大值．解：(1)∵A(－3，4)，∴AH＝3，OH＝4，由勾股定理得AO＝eq\r(AH2＋OH2)＝5.(2)∵四边形OABC是菱形，∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，5－3＝2，∴B(2，4)，C(5，0).设直线AC的表达式是y＝kx＋b，把A(－3，4)，C(5，0)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝－3k＋b，,0＝5k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝\f(5,2)，))∴直线AC的表达式为y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)，当x＝0时，y＝2.5，∴M(0，2.5).(3)①过M作MN⊥BC于点N.∵四边形OABC是菱形，∴∠BCA＝∠OCA.∵MO⊥CO，MN⊥BC，∴OM＝MN.当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH＝4－2.5＝eq\f(3,2)，S＝eq\f(1,2)×BP×MH＝eq\f(1,2)×(5－2t)×eq\f(3,2)＝－eq\f(3,2)t＋eq\f(15,4)；当t＝2.5时，P与B重合，△PMB不存在；当2.5＜t≤5时，P在BC上，S＝eq\f(1,2)×PB×MN＝eq\f(1,2)×(2t－5)×eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)t－eq\f(25,4).综上所述，S与t的函数关系式是S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)t＋\f(15,4)（0≤t＜2.5），,\f(5,2)t－\f(25,4)（2.5＜t≤5）.))②当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是eq\f(1,2)×5×eq\f(3,2)＝eq\f(15,4)；同理在BC上时，P与C重合时，S最大是eq\f(1,2)×5×eq\f(5,2)＝eq\f(25,4)，综上所述，S的最大值是eq\f(25,4).第20章三、解答题(共66分)19．(8分)为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取5株麦苗，测得苗高(单位：cm)如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.(1)分别计算两种小麦的平均苗高；(2)哪种小麦的长势比较整齐？为什么？解：(1)x－甲＝eq\f(1,5)(6＋8＋9＋9＋8)＝8，x－乙＝eq\f(1,5)(10＋7＋7＋7＋9)＝8.(2)seq\o\al(\s\up14(2),\s\do5(甲))＝eq\f(1,5)[(6－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2]＝1.2，seq\o\al(\s\up14(2),\s\do5(乙))＝eq\f(1,5)[(10－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2]＝1.6，∵seq\o\al(\s\up14(2),\s\do5(甲))＜seq\o\al(\s\up14(2),\s\do5(乙))，∴甲种小麦的长势比较整齐．20．(8分)某校为选拔一名选手参加“美丽江门，我为侨乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按下图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评(因排版原因统计图不完整)，下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况：服装普通话主题演讲技巧李明85708085张华90757580结合以上信息，回答下列问题：(1)求服装项目在选手考评中的权数；(2)根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽江门，我为侨乡做代言”主题演讲比赛，并说明理由．解：(1)服装在考评中的权数为10%.(2)选择李明参加比赛，理由：李明的总成绩为：85×10%＋70×20%＋80×30%＋85×40%＝80.5分，张华的成绩为：90×10%＋75×20%＋75×30%＋80×40%＝78.5分，因为80.5＞78.5，所以李明成绩较好，选择李明参加比赛．21．(8分)在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得12名选手所用的时间(单位：分)得到如下样本数据：140146143175125164134155152168162148(1)计算该组数据的中位数和平均数；(2)如果一名选手的成绩是147分，请你依据该组数据的中位数，推断他的成绩如何？解：(1)将该组数据按从小到大的顺序排列，得到最中间两个数据是148，152，所以中位数为150分，平均数为eq\f(1,12)(140＋146＋143＋…＋148)＝151(分).(2)由(1)知该组数据的中位数为150分，可以估计这次马拉松比赛有一半选手的成绩快于150分，这名选手的成绩为147分，快于中位数150分，可以推断他的成绩比一半以上选手的成绩好．22．(12分)某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀．下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位：个)：1号2号3号4号5号总成绩甲班1009811089103500乙班891009511997500经统计发现两班总成绩相等，只好将数据中的其他信息作为参考．根据要求回答下列问题：(1)计算两班的优秀率；(2)求两班比赛数据的中位数；(3)求两班比赛数据的方差；(4)根据以上三条信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述理由．解：(1)甲班踢100个以上(含100个)的人数是3，则优秀率是60%；乙班踢100个以上(含100个)的人数是2，则优秀率是40%.(2)甲班比赛数据的中位数是100，乙班比赛数据的中位数是97.(3)因为两班的总分均为500，所以平均数都为100.seq\o\al(\s\up14(2),\s\do5(甲))＝eq\f(1,5)