数分二十二章习题

二、内容复习三、例题习题课一、基本要求第二十二章曲面积分２理解Gauss公式和Stokes公式的证明思路，会分３了解如何计算由隐式方程或参数方程表示的曲曲面积分，了解两类曲面积分的关系.１正确理解第一、二型曲面积分的概念、性质，一、基本要求掌握用显式方程表示的曲面的第一、二型曲面积分计算公式.别运用它们计算第二型曲面积分和第二型曲线积分.上任取一点若存在极限

定义在

S

上的函数.对曲面

S

作分割

T,它把S分成n个小曲面块记小曲面块

的面积,分割

T的细度在

定义设

S

是空间中可求面积的曲面,为1、第一型曲面积分的定义二、内容复习曲面块的质量由第一型曲面积分表示为:特别地,当时,曲面积分就是曲面

块的面积.

且与分割的取法

无关,则称此极限为上的第一型曲面积分,记作的投影区域的面积,它们的符号由的方向来确定:

分别表示在三个坐标面上定义设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数.对S作分割T,它把S分为分割T的细度为2、第二型曲面积分定义若在曲面所指定一侧上的第二型曲面积分,记作的选取无关,则称此极限I为向量函数中的三个极限都存在,且与分割

T和点

的据此定义,某流体以速度从曲面的

负侧流向正侧的总流量即为又如,若空间中的磁场强度为则按指定方向穿过曲面的磁通量(磁力线总数)为3、第一型、第二型曲面积分的性质若以-S表示曲面S的另一侧,则有第一型曲面积分的性质完全类以与第一型曲线积分．第二型曲面积分的性质完全类以与第二型曲线积分．４、第一型曲面积分的计算公式第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.定理

22.1设有光滑曲面为

S

上的连续函数,则注:为

S

上的连续函数,则为

S

上的连续函数,则对于由参量形式表示的光滑曲面在上第一型曲面积分的计算公式则为其中５、第二型曲面积分的计算公式

定理22.2设是定义在光滑曲面上的连续函数，以S的上侧为正侧(这时S的法线方向与z轴正向成锐角)，则有基本方法：化为二重积分前侧为正,后侧为负类似地,当在光滑曲面上连续时,有右侧为正,左侧为负当在光滑曲面上连续时,有步骤：1.写出曲面方程：3.把曲面方程：代入中得4.求二重积分.计算“一投,二代,三定号”2.把S投影在面上得投影区域为；定理22.3设S为光滑曲面,正侧法向量为

６、两类曲面积分的联系在上连续，则函数,以的上侧为正侧,则在光滑曲面上的连续定理22.4设是定义７、高斯公式定理22.3

设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲

面

S围成.若函数

P,Q,R

在上连续,且有一阶连

续偏导数,则其中

S取外侧.上式称为高斯公式.定理22.4设光滑曲面

S的边界

L是按段光滑的连续曲线.若函数

P,Q,R在

S(连同

L)上连续,且有一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:８、斯托克斯公式其中

S的侧与

L的方向按右手法则确定.９、空间曲线积分与路径无关的条件不经过

V以外的点而连续收缩于属于

V的一点.例区域

V称为单连通的,如果

V内任一封闭曲线皆可如球面是单连通曲面,非单连通区域称为复连通区域.如车胎状的环形区域不是非单连通区域,复连通区域.定理22.5设为空间单连通区域.若函数P,

个条件是等价的:Q,R在

上连续,且有一阶连续偏导数,则以下四与路线无关;(i)对于

内任一按段光滑的封闭曲线

L有(ii)对于

内任一按段光滑的封闭曲线

L,曲线积分个条件是等价的:在

内处处成立.(iii)

内某一函数

u的全微分,即三、例题例1计算积分其中是曲面介与两平面之间的部分.解曲面方程:于是(利用对称性)应用极坐标变换（令）R0xz

yH例2计算积分其中是圆柱体的外侧.解1其中取左侧；取后侧；先求R0xz

yH取右侧，或取后侧；取下侧；取上侧；依题义分为：R0xz

yH平