塑性理论 第七章 应力应变关系

第七章应力应变关系

塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系，其数学表达式称为本构方程或物理方程。7.1弹性变形时的应力应变关系7.2塑性变形时应力应变关系特点7.3增量理论7.4全量理论7.5应力应变顺序对应规律主要内容：7.1弹性变形时的应力应变关系虎克定律广义虎克定律E：弹性模量：泊松比剪切模量比列及差比形式：结论：在弹性变形中包括改变体积的变形和改变形状的变形。前者与球应力分量成正比，后者与偏差应力分量成正比，写成张量形式：广义虎克定律改写为：弹性变形时的应力应变关系的特点：应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程无关），应力与应变之间存在统一的单值关系弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化，泊松比小于0.57.2塑性变形时应力应变关系特点体积不变，泊松比v=0.5应力、应变为非线性关系全量应变与应力主轴不一定重合

塑性变化不可逆——无单值一一对应关系——与加载路径有关

对于应变硬化材料，卸载后的屈服应力比初始屈服应力高ABCDε,γσ,τOεCεDσSτSa)JIADBCEOτσ初始屈服轨迹后继屈服轨迹不同加载路线的应力与应变b)a)应力—应变曲线b)屈服轨迹JIADBCEOτσ初始屈服轨迹后继屈服轨迹b)JIADBCEOτσ初始屈服轨迹后继屈服轨迹b)7.3增量理论又称为流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论。全量应变：前面我们讨论过的应变，都是反映微元体在某一变形过程或变形过程的某个阶段终了时的应变大小，所以可叫做“全量应变”。应变增量：就是变形过程中某一短阶段中的应变。以物体在变形过程中某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变就是应变增量，记为：1、Levy-Mises理论材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量材料符合Mises屈服准则每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合塑性变形时体积不变0yε应变增量与应力偏增量成正比：为瞬时的非负系数，加载时为变值，卸载时为0Levy-Mises方程差比形式：∴

∵

∵

∴

∴

∴

2、Prandtl-Reuss理论-塑性增量方程

总应变增量由弹、塑性两部分组成：增量理论特点：Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论的差别在于前者考虑弹性变形而后者不考虑都指出了塑性应变增量与应变偏量之间的关系整个变形由各个瞬时变形累加而得，能表达加载过程的历史对变形的影响，能反映出复杂的加载情况卸载时仍按虎克定律求解SO面平行于S沿着屈服表面的法线方向1234Oxy复杂加载途径例题：已知两端封闭的薄壁圆筒，内径为，壁厚为，承受内压，从而产生塑性变形，如果材料是各向同性的，并忽略筒壁上的径向应力（），试求切向、轴向和径向应变增量的比值。所以：由增量理论：所以：

解：由于：7.4全量理论简单加载，各应力分量按同一比例增加

应力分量比例增加，中途不能卸载，因此加载从原点出发；应力主轴与应变主轴重合变形体不可压缩在上述条件下，小塑性变形的情况下，汉基提出：为瞬时的正值比例常数，在整个加载过程中可能是变量。

因为：所以：对于塑性变形相当大的塑性加工问题时，可以忽略弹性应变，坐标轴取主轴时：注：虽然全量理论只适用于微小变形和简单加载条件，但由于全量理论表示的是应力与全应变一一对应的关系，这在数学处理上比较方便，因此许多人用这个理论解某些问题。近年来的研究表明，全量理论的应用范围大大超过了原来的一些限制。然而该理论仍缺乏普遍性，一般认为，研究大塑性变形的一般问题，采用增量理论为宜。例题：两端封闭的薄壁筒，直径为400mm，壁厚为4mm，承受内压100个大气压，从而产生塑性变形，如果材料的应力-应变曲线为，试求壁厚的减少量。解：由于：所以：由应力-应变曲线：由全量理论：所以：7.5应力应变顺序对应规律塑性变形时，当主应力顺序不变，且应变主轴方向不变时，则主应变的顺序与主应力顺序相对应，即这种规律称为应力应变顺序对应关系顺序对应关系和中间关系统称为应力应变对应规律其实质是将增量理论的定量描述变为一种定性判断中间关系根据Levy-Mises方程由于初始应变为零的变形过程，可视为几个阶段组成，在时间间隔t1中，应变增量为在时间间隔t2中在时间间隔tn中由于主轴