离散型随机变量

第二章第二节离散型随机变量设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,…。

为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率。(一)离散型随机变量：

这样，就的得到了随机变量X取值的概率规律。从盒中任取3个球，求取到白球的概率？设取到的白球数

X为一个随机变量，则随机变量X的可能取值为0,1,2。于是，取每个值的概率为：例1：且，其中pk满足：k=1,2,…；（1）pk≥0，

定义1：设xk

(k=1,2,……)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称P(X=xk)=pk，k=1,2,……为离散型随机变量X的概率分布或分布律，有的书上也称概率函数。通常用这两条性质判断一个函数是否服从概率分布一、离散型随机变量的概率分布（2）二、概率分布的表示方法（1）列表法：（2）公式法：（3）表格法：X~P(X=xk)=pk，k=1,2,……Xx1x2

∙∙∙∙∙∙xk∙∙∙∙∙∙pkp1p2

∙∙∙∙∙∙pk∙∙∙∙∙∙三、举例例2.

某篮球运动员投中篮圈的概率为0.9，求其两次独立投篮投中次数X

的概率分布。解：X可取0，1，2等值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1常常表示为：这就是X的概率分布。X012pk0.010.180.81例3.

如图所示，电子线路中装有两个并联的继电器。假设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。已知每个继电器接通的概率为0.8，记X

为线路中接通的继电器的个数。求:(1)X

的概率分布；(2)线路接通的概率。解:(1)首先，随机变量X可能取0,1,2三个值。

记Ai

={第i个继电器接通}，i=0,1,2。两个继电器是否接通是相互独立的，于是

A1和A2相互独立，且P(A1)=P(A2)=0.8。

因{X=0}表示两个继电器都没接通，所以

P{X=0}=P(Ā1Ā2)=P(Ā1)P(Ā2)=0.20.2=0.04。P{X=1}=P(A1Ā2∪Ā1A2)=P(A1Ā2)+P(Ā1A2)

=P(A1)P(Ā2)+P(Ā1)P(A2)

=0.80.2+0.20.8=0.32类似地P{X=2}=P(A1A2)=P(A1)P(A2)

=0.80.8=0.64于是，X

的概率分布为(2)因为此电路并联，所以只要一个继电器接通，整个线路将接通。于是所求的概率为P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96。X012pk0.040.320.64(二)常见的离散型随机变量的概率分布(I)两点分布

若随机变量X

只可能取0或1两个值，其概率分布为

P{X=1}=p，P{X=0}=1-p，其中0p1，则称X

服从参数为p的两点分布或(0-1)分布，记为XB(1,p)。

200件产品中，有196件是正品，4件是次品，今从中随机地抽取一件，若规定例4.X=1,取到合格品0,取到不合格品则P{X=1}=196/200=0.98,

P{X=0}=4/200=0.02。故X服从参数为0.98的两点分布，即

X∼B(1,0.98).例6.

设生男孩的概率为p，生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数。伯努利试验和二项分布(II)求X的概率分布。X的概率分布为：男女X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p。X=0X=1X=2X=3X=4例7.

将一枚均匀的骰子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数，X的概率分布为：不难求得，

掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”

一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A和Ā，或者形象地把这两个互逆的结果叫做“成功”与“失败”。

新生儿：“是男孩”，“是女孩”

抽产品：“是正品”，“是次品”再设我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指每次试验中的试验条件相同)例如，

这样的n次独立重复试验称作n次伯努利试验，简称伯努利试验或伯努利概型。

其中，每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p。

用X表示n次伯努利试验中事件A（成功）出现的次数，则称

X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)。注:伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；实际上，二项分布描述的是n次伯努利试验中出现“成功”次数（X）的概率分布。（2）每次试验只考虑两个互逆结果A和Ā，

且P(A)=p，P(Ā)=1-p；（3）各次试验相互独立。例8.某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2.随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率.解:设X为20只灯泡中次品的个数,则X~B(20,0.2)，于是

下面我们研究二项分布

B(n,p)和两点分布

B(1,p)之间的一个重要关系。

说明设试验E

只有两个结果:A和Ā，记p=P(A),则P(Ā)=1-p,且0<p<1。我们把试验E

在相同的条件下，相互独立地进行n

次，记X

为n

次独立试验中结果A出现的次数。把描述第i

次实验的随机变量记作Xi

，则Xi∼B(1,p),且X1,X2,,Xn也是相互独立的，则有X=X1+X2+∙∙∙∙∙∙+Xn。

一、泊松分布的定义

设随机变量X

所有的可能取值为0,1,2,∙∙∙,且概率分布为：其中>0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记作X~P()。(III)泊松分布其中，例9.

某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X

服从参数为=3的泊松分布。求:(1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率。

(2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率。.解:泊松分布为P{X=3}=p(3;3)=(33/3!)e-3≈0.2240(2)

P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.7169解:例10.

某一城市每天发生火灾的次数X

服从参数=0.8的泊松分布。求:该城市一天内发生3次以上火灾的概率。P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.0474

泊松分布的图形特点：X~P()历史上，泊松分布是作为二项分布的近似给出的，于1837年由法国数学家泊松引入。二、二项分布与泊松分布命题

对于二项分布B(n,p)，当n

充分大，而p又很小时，则对任意固定的非负整数k，有近似式其中，=np。

由泊松定理，n次伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件。如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等。解:例11.

某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02。求:一天内没有出租车出现故障的概率。

将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E。因为每辆车是否出现故障与其它车无关，于是观察400辆出租车是否出现故障就是做400次伯努利试验。设X

表示一天内出现故障的车数，则:X∼B(400,0.02)。令=np=400×0.02=