材料物理12晶体的宏观对称性课件

绕旋转轴转动=角，记作Cn2n第一章

晶态结构1.2.1.宏观对称元素第二节

晶体的宏观对称性C4若图形中可以找到一直线L，绕此直线将图形旋转某一角度，可使图形复原，则此直线称为旋转轴。C3C41.旋转轴(AproperAxisofRotation)Cn

=En其中n只能取1，2，3，4，6这五个值。为什么?C3C3C3C42023/2/61对称性定律：晶体中只可能出现1，2，3，4，6次旋转轴，这称为对称性定律。C11.2.1.宏观对称元素(continue)C2C32023/2/62对称性定律(continue)C4C6C52023/2/632.反映面(镜面)(APlaneofReflection)反映面的阶次为2，用表示。正四面体有9个反映面。hvvd2=Eddddd2023/2/653.对称中心(CenterofInversion)与对称中心相应的动作是中心反演(或倒反)，记作I。I2=EI=hC24.反轴(ImproperAxis)与反轴相应的动作是旋转反射操作，记作Sn。这是一个由旋转和镜面反射组成的复合操作。Sn=hCn=Cnh2023/2/664.反轴(continue)根据反轴的定义，可以得到若n为偶数，则(h)n=E，所以(Sn)n=E。若n为奇数，则(h)n=h，所以(Sn)n=h。S2=hC2=I(Sn)n=(hCn)n=(h)nCn=(h)n

n2023/2/67两个对称元素组合必产生第三个对称元素，这是因为晶体外形是有限图形，对称元素组合时至少交于一点。否则对称元素将无限伸展。一、反映面之间的组合1.2.2对称元素组合原理定理：两个反映面相交，其交线为旋转轴，基转角为反映面相交角的2倍。二、反映面与旋转轴的组合定理：当一个反映面穿过旋转轴Cn时必有n个反映面穿过此旋转轴。(万花筒定理)2023/2/69三、旋转轴与对称中心的组合1.2.2对称元素组合原理(Cont’)定理：如果在偶次旋转轴上有对称中心，那么必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。四、旋转轴之间的组合欧拉定理：两个旋转轴的适当组合产生第三个旋转轴。推论：在有对称中心时，图形中偶次轴数目和反映面数目相等。2023/2/6101.3.1

点群的概念第三节

点群(PointGroup)点群这一概念并没有一个统一和明确的定义。一种观点认为晶体在宏观观察中是有限的，对称元素必须至少交于一点，在对称操作中至少有一点不动，因此我们把宏观观察中所具有的点对称元素的组合或宏观对称类型称为点群。1.正当转动点群(properrotationpointgroup)正当转动点群的群元都是一些绕转动轴转动=角的操作。2n2023/2/6111.Cn群

这类群仅有一个n次轴，群元都是绕这n次轴的转动操作。这种群称作轴转动群。1)C1={E}Cn

群是个循环群，即Cn={Cn,Cn,…,Cn=E}2n2)C2={C2,E}3)C3={C3,C3E}24)C4={C4,C4=C2,C4,E}231.3.3

晶体的32类点群+C1++C2+++C3++++C4++++++C65)C6={C6,C6=C3,C6=C2,C6=C3,C6,E}234522023/2/6132.Cnh群

这类群是由Cn群与水平反映面h组合而成的。因此这类群包含n个转动及n个旋转反射，故群共有2n个群元。这类群共有五个。6)C1h={h,E}32类点群(2)7)C2h={C2,h,C2h,

E}C1hC2hC3hC4hC6h+++8)C3h={C3,C3,

h,

C3h,

C3h,E}22+++++++9)C4h={C4,C4=

C2,C4,h,

C4h,C2h,C4h,E}23310)C6h={C6,C3,C2,C3,C6,h,C6h,

C3h,C2h,C3h,C6h,E}2552++++++2023/2/6143.Cnv群

这类群含有n次旋转轴及过主轴的垂直反映面。由对称元素之间的关系可知，Cnv群必包含n个过主轴的垂直反映面。因此，群的群元数为2n，其中n个是绕主轴的转动，n个是在垂直镜面上的反射。由于C1v群与C1h群等价，所以可能的Cnv群只有四个。32类点群(3)11)C2v={c2z,v=xz=Ic2y,v’=c2zxz=Ic2x,E}C2vC3v12)C3h={C3z,C3z=C3z,v=xz,v’=C3zxz,

v’’=C3zxz,

E}22-12023/2/6154.S2m群

这类群仅包含n次反轴，且n=2m。当n为奇数时，与Cnh群等价。所以这类群只有三个：S2、S4及S6。这类群的群元都是旋转反射操作(S2m)n，其中1n2m。这类群都是阿贝尔群。32类点群(4)15)S2={s2=hc2z=c2zh=I,E}S2S416)S4={s4=xyc4z=c4zxy,s4=c2z

s4,E}23S617)S6={s6z=xyc6z=c6zxy=Ic3z,s6z=c3z,s6z=I,s6z=c3z,s6z=Ic3z,E}223542+++2023/2/6175.Dn群

Dn群包含有一个n次轴及n个与之垂直的二次轴，所以这类群的阶为2n。由于二次轴的存在，使n次轴成为双向轴。由于D1群与C2群是等价的，因此Dn群有四个：D2

、D3

、D4

、D6

。32类点群(5)18)D2={c2z,c2x,c2y,E}D2D3D419)D3={c3z,c2x,c3zc2x=c2’,c3z,c3zc2x=c2’’,E}2220)D4={c4z,

c2x,

c4zc2x=c2’,

c4z=c2z,

c4zc2x=c2y,

c4z,c4zc2x=c2’’,E}22332023/2/6185.Dn群(continue)D621)D6={c6z,

c2x,

c6zc2x=c2,

c6z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z=c2z,c2zc2x=c2y,c6z=c3z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z,

c6zc2x=c2,

E}522342-1532类点群(5)2023/2/61932类点群(6)Dnh群(continue)23)D3h={c3z,c2x,c3zc2x=c2’,c3z,c3zc2x=c2’’,

c3zxy=s3,c2xxy=xz=v,c2’xy=v’,c3zxy=s3,

c2’’xy=v’’,

c3zxy=xy,E}23-122++++++D3h++++++++D4h24)D4h={c4z,

c2x,

c4zc2x=c2’,

c4z=c2z,

c4zc2x=c2y,

c4z,c4zc2x=c2’’,c4zxy=Ic4z=s4,c2xxy=Ic2y,c4zxy=I,c2yxy=Ic2x,c4zxy=Ic4z,c2’xy=Ic2’’,xy=Ic4z,

c2’’xy=Ic2’,

E}222332232023/2/62132类点群(6)

Dnh群(continue)D6h++++++++++++25)D6h={c6z,

c2x,

c6zc2x=c2,

c6z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z=c2z,c2zc2x=c2y,c6z=c3z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z,

c6zc2x=c2,

c6zxy=Ic6z,

c2xxy=Ic2y=xz=1,

c6zxy=Ic6z,

c2yxy=Ic2x=yz=4,

c6zxy=I,

c2xy=Ic2=2,c6zxy=Ic6z,

c2xy=Ic2=3,c6zxy=Ic6z,c2xy=Ic2=5,c6zxy=xy,c2xy=Ic2=6,E}522342-15425345262023/2/62232类点群(7)7.Dnd群Dnd群是由Dn与垂直反映面d组合而成的，其中d反映面包含主轴并且平分垂直于主轴的相邻二次轴之间的夹角，这样的垂直反映面共有n个。垂直反映面的存在，使得n次旋转轴成为双向轴，并使相邻的二次轴可以互换而彼此等价。由于d及二次轴的存在，所以，主轴不仅是n次轴，而且是2n次旋转反射轴。因此，根据对称性定律，对于n3的Dnd群是不存在的。而且D1d与D2v群是等价的。所以，可能的Dnd群只有两个：D2d及D3d。D2d26)D2d={c2z,c2x,c2y,c2zd1=d2,c2zd1=d1,

c2xd1=s4,c2yd1=s4,E}232023/2/62332类点群(8)

正多面体群8.正多面体群

在正多面体群中，并不存在主轴，而存在互相垂直的等价轴。

在三维空间中，已经证明仅有5种多面体是可能的，即正四面体、正八面体、正六面体、正十二面体、正二十面体。2023/2/62532类点群(8)

正多面体群(continue)如图所示，由正六面体的六个面心作为顶点可以构成一个镶嵌其中的正八面体，因此正六面体群和征八面体群具有相同的对称性，它们属同一点群。

同样，正十二面体与正二十面体也属同一点群，但由对称性定律可知，晶体中不存在五次轴的对称性，因此这两种多面体群是不存在的。2023/2/62632类点群(8)

正四面体群(continue)30)Th群

Th

群是由T群的全部对称元素与水平反映面h组合而成的。

Th群也有24个群元，分成八类：T群中的四类E；3c2；4c3；4c3-1及I；3Ic2；4Ic3；4Ic3-1。由于T群中存在二次旋转轴，而二次轴与h组合成为对称中心，而正四面体中并不存在对称中心，因此Th

群不是正四面体的对称性群。2023/2/629C4C3C4C3C3C3C432类点群(9)

正八面体群(Octahedron)31)O群

O群是使正八面体自身重合的全部正当转动构成的群。由于正八面体与正六面体的对称性相同，我们这里只以正六面体对称性来说明。正六面体有9个二次轴，4个三次轴和3个四次轴。

O群共有24个群元，可分为五类：E；3c2；6c2’；8c3(4c3，4c3-1)；6c4(3c4，3c4-1)。2023/2/63032类点群(9)

正八面体群(Continue)32)Th群

Oh

群是由O群的全部对称元素与水平反映面h组合而成的。

Oh的群元是是正八面体(或正六面体)自身重合的一切对称操作。Oh群是晶体点群中最大的一个群，共有48个群元，分为10类：除了O群的24个群元E；3c2；6c2’；8c3(4c3，4c3-1)；6c4(3c4，3c4-1)外，还有五类24个群元：1I；3Ic2；6Ic2’；8Ic3(4Ic3，4Ic3-1)；6Ic4(3Ic4，3Ic4-1)。2023/2/63132类点群(10)

32类点群之间的相互关系Cn群C1C2C3C4C6Cnh群C1hC2hC3hC4hC6hCnv群C1v=C1hC2vC3vC4vC6vS2m群S1=C1hS2S3=C3hS4S6Dn群D1=C2D2D3D4D6Dnh群D1h=C2vD2hD3hD4hD6hDnd群D1d=C2vD2dD3d

T群TTdThO群OOh2023/2/63232类点群(10)32个晶体点群共分9大类：Cn,Cnh,Cnv,S2m,Dn,Dnh,Dnd,O,T。在这32个点群中，除Oh群

(正六面体群)和D6h群(正六角柱群)是相互无关的两个群外，其余的30个点群都是Oh群或D6h群的子群。这种关系示于图中。

32类点群之间的相互关系2023/2/633

七大晶系按对称性从低到高排列包括三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。1.3.4

七大晶系及其最大点群1.三斜晶系(triclinic)abc90o2.单斜晶系(monoclinic)abc90o3.正交晶系(orthorhombic)abc90o4.四方晶系(tetragonal)abc90o2023/2/634

七大晶系按对称性从低到高排列包括三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。1.3.4

七大晶系及其最大点群(continue)5.三角晶系(rhombohedral)abc90o7.立方晶系(cubic)abc90o6.六方晶系(hexagonal)abc90o,120o2023/2/6351.3.4

七大晶系及其最大点群晶系最大点群所包含的子群三斜晶系S2S2、C1单斜晶系C2hC2h、C1h、C2正交晶系D2hD2h、C2v、D2、C2三角晶系D3dD3d、D3、C3v、S6、C3四方晶系D4hD4h