工程力学24372课件

第六章轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩的概念和实例工程实例——桁架（二力杆）工程实例(1)内力是物体内部的力，只有将物体假想地截开，并将其显示地表现出来，才能确定内力的大小及其方向例如第六章拉伸与压缩时的内力、应力横截面上的内力(2)

设某个横截面m-m将物体截开，则横截面上作用有分布内力第六章拉伸与压缩时的内力、应力(3)

为确定内力的合力，考虑所截得两部分物体的任意一部分，根据力的平衡定理，可知横截面上分布内力的合力FN

等于外力F，即FN第六章拉伸与压缩时的内力、应力表示杆中的轴力沿轴线分布的图称为轴力图轴力图可清楚的显示杆件中轴力的分布，从而得到最大内力值及其截面（亦称为危险截面）所在的位置第六章拉伸与压缩时的内力、应力下面通过一个例子来说明轴力图的做法图示直杆的轴力

P1=5kN

P2=20kN

P3=25kN

P4=10kN

A

B

C

D

P1

由平衡条件有：=P1=5kN

FN1

P1

P2

由平衡条件有：=P1-

P2=-15kN

P1

P2

P3

由平衡条件有：=P1-P2+P3=10kN

FN1FN2FN2FN3FN3轴力图

xFN

5kN

15kN

10kN

(+)

(-)

(+)

轴力仅仅是横截面上分布内力总体的度量，不能用来描述、判断杆件的受力详细情况，也不能用来刻画材料的强度等为详细描述内力在横截面上的分布情况，需要分析和确定横截面上的应力第六章拉伸与压缩时的内力、应力横截面上的应力例如下图所示的变截面杆件，其材料相同，截面积不同。显然，杆件任意截面处的轴力相同。当力F逐渐增大时，杆件在最细的部分首先断裂。可见，尽管轴力相同，由于杆件粗细不同，他们抵抗破坏的能力是不同的

2

1

F

F

截面积A2

截面积A1

第六章拉伸与压缩时的内力、应力平面变形假设在直杆拉伸和压缩变形中，作如下假设，称之为平面假设在直杆的轴向拉（压）变形过程中，变形前垂直于轴线的平面变形后仍保持平面，并且仍与轴线垂直这样，如果将杆设想为由无数纵向纤维组成，则任意两个平面之间的所有纤维的伸长也相同。根据材料的均匀性假设知，内力在横截面上的分布是均匀的横截面上应力的计算公式设杆横截面上的轴力为FN，横截面的面积为A，则单位面积上的内力（应力）为第六章拉伸与压缩时的内力、应力轴力垂直于杆的横截面，所以应力也垂直于杆的横截面这种垂直于截面的应力称为正应力，通常用s表示。上式就是杆件受轴向拉（压）时横截面上正应力的计算公式正应力s的符号规定于轴力FN相同，即正轴力产生的应力为正，称为拉应力。负轴力产生的应力为负，称为压应力即拉应力为正，压应力为负第六章拉伸与压缩时的内力、应力根据整体平衡，轴力分布为12330kN60kN50kN80kN杆件各轴段的轴力

60kN

1

2

3

30kN

50kN

80kN

(+)

(-)

(+)

60kN

30kN

20kN

FNx杆件各轴段的应力平板在集中和均匀载荷作用下的应力分布第六章拉伸与压缩时的内力、应力有限元分析结果第六章拉伸与压缩时的内力、应力低碳钢的拉伸试验为了便于试验结果的相互比较，材料试验的试件应按国家标准《金属拉力试验法》（GB228-87）制作成为标准试件l=5d

或l=10ddl材料万能试验机ll+l试验前，测量试件的长度l和直径d试验中，对每一个力F，测量试件的伸长Dl低碳钢的拉伸试验FDlF—Dl曲线o为消除原始尺寸的影响，使曲线反映材料的本身特性，应绘制出s—e曲线s—e曲线称为应力—应变曲线绘制出F—Dl曲线（可由自动绘图仪直接绘制）低碳钢的拉伸试验CED弹性阶段（曲线的O—A—A1部分）屈服阶段（曲线的B—B1—B2部分）强化阶段（曲线的B2—E—C部分）局部变形阶段（曲线的C—D部分）应力—应变曲线可分为四个不同的阶段AA1B2B1B弹性阶段spseAA1曲线的O—A—A1部分当应力逐渐减小时，材料的变形将完全恢复，故称为弹性阶段在直线段O—A中，应力与应变成正比，即

s=Ee

胡克定律，E为直线O—A的斜率弹性阶段spseAA1sp——称为比例极限se——称为弹性极限通常，近似的认为

sp=se屈服阶段spseAA1BB2ssB1

曲线的B—B1—B2部分从B点以后，应变增加很快，而应力却在水平线上下很小的范围内波动材料暂时失去对变形的抵抗能力，并且产生显著的塑性变形。这种现象称为屈服(或流动)屈服阶段spseAA1BB2ssB1对应于最高点B

点的应力称为屈服上限对应于载荷首次下降的低点B1

的应力ss称为屈服下限屈服上限的值一般不稳定，依赖的因素较多；而屈服下限的值比较稳定屈服下限ss

定义为屈服极限屈服阶段spseAA1BB2ssB1材料屈服时，在试件表面上可以观察到于轴线成45o的倾斜条纹，这些条纹称为滑移线这是由于材料内部晶体沿试件的最大剪应力面发生滑动而引起的屈服极限ss是衡量材料强度性能的重要指标强化阶段spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb曲线的B2—E—C部分曲线从B2点开始回升，如材料继续变形，则必须增加应力，这种抵抗变形能力又有所增强的现象称为材料的强化强化阶段的变形绝大部分是塑性变形。整个试件的横向尺寸明显缩小强化阶段spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsbs—e曲线的最高点C的对应应力称为强度极限

sb，是材料所能承受的最大应力sb

也是衡量材料强度的一个重要指标局部变形阶段spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb曲线的C—D部分在C点以前，试件工作段内横截面尺寸的缩小是均匀的。从C点开始，在试件的某一局部处，横截面尺寸明显变细，产生“颈缩

”现象D颈缩现象局部变形阶段spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb由于横截面尺寸明显变细（颈缩现象），因而，s—e曲线变为递减的在D点处，试件被拉断D颈缩现象伸长率和断面收缩率spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb试件拉断后，弹性变形消失，塑性变形仍然保留，为刻画最大的塑性应变d=(l1-l)/l100%

称为伸长率f=(A-A1)/A100%

称为断面收缩率D颈缩现象伸长率和断面收缩率spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb工程中通常按伸长率的大小，把材料分为两大类塑性材料—钢、铜、铝等脆性材料—铸铁、玻璃、岩石等d和f为衡量材料塑性的指标D颈缩现象冷作硬化spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb在强化阶段某一点（如E点）开始卸出载荷，则在卸载过程中，应力应变曲线沿EF下降，EF几乎平行于弹性阶段直线OA当外载为零时，试件的弹性应变ee完全消失，所剩余的应变为残余应变epD颈缩现象冷作硬化spseAA1BB2ssB1HdCEepeeFGsb此时，如果继续对试件加载，则应力应变曲线首先沿FE，到达E点后，再沿ECD曲线，直至试件断裂与初始应力应变曲线相比较，材料的比例极限提高了，这种现象称为材料的冷作硬化D颈缩现象冷作硬化的应用起重机用的钢绳混凝土中的钢筋低碳钢拉伸试验的主要结果其它塑性材料在拉伸时的力学性能有些材料没有明显的屈服阶段对这些材料，以产生0.2%的残余应变时的应力值作为屈服应力，称为名义屈服应力铸铁的拉伸试验应力应变曲线为一条微弯的曲线，没有直线段断裂时其伸长率很小（d

<1%)强度极限sb远低于低碳钢的强度极限sb工程上用割线opr代替应力应变曲线，以便利用胡克定律割线opr的确定要求：opqo的面积与qsrq的面积相等材料在压缩时的力学性能试件尺寸要求：h/d=1.5~3压缩拉伸低碳钢压缩试验屈服阶段以前与拉伸基本相同。弹性模量、屈服极限相同在屈服阶段以后，由于低炭钢的塑性较好，截面尺寸明显变大，无法测得强度极限铸铁压缩试验（脆性材料）与拉伸试验相同，没有直线段和屈服现象压缩强度约为拉伸强度的4~5倍压缩断裂时，断面与轴线约成45o~55o的角度破坏主要是由斜截面上的最大切应力引起的剪切破坏材料在压缩时的力学性能许用应力第六章拉伸与压缩时的强度计算最大正应力发生在横截面上最大切应力发生在与轴线夹角为450的斜截面上对于具体的材料，材料所能承受的最大应力是有限度的，不能超过某一确定值。应力超过此值时，材料将失效（断裂或塑性变形）称材料所能承受的最大应力（失效时）为该材料的极限应力或称为破坏应力极限应力通常用0表示。对于塑性材料0=

s，对于脆性材料0=

b。极限应力必须通过材料的力学试验测定出于结构构件工作时安全性的考虑，引入许用应力的概念，设ns为大于1的一个数，即ns

>1，称为安全系数，许用应力的定义为第六章拉伸与压缩时的强度计算安全系数的确定要依据构件的材料和功能而定，本质上讲，它是一个与材料无关的量对于塑性材料ns=

1.2~2.5，对于脆性材料ns=

2~3.5第六章拉伸与压缩时的强度计算强度条件第六章拉伸与压缩时的强度计算为了保证材料安全可靠地工作，必须使杆件内的最大工作应力小于或等于材料的许用应力

对轴向拉（压）的杆件，强度条件为应用这一条件可以解决强度计算问题实际中，涉及强度的计算问题有三类：第六章拉伸与压缩时的强度计算校核强度

根据已知的轴力FN及横截面面积A，计算出最大的工作应力smax，由许用应力[s]和许用应力公式判断杆件是否安全可靠，是否具有足够的强度。即判断下列条件是否成立第六章拉伸与压缩时的强度计算设计截面根据已知的轴力FN及许用应力[s]

，计算出所要求的最小横截面面积A，再进一步确定截面尺寸。即应用公式第六章拉伸与压缩时的强度计算确定许用载荷根据已知的材料的许用应力[s]和杆件的横截面尺寸，利用强度条件

确定杆件的最大许用载荷Pmax例

图示支架由两根直杆铰接而成，杆AB和杆AC间的夹角a=30o，两杆的横截面积均为100mm2，材料相同。它们的许用拉应力[s+]=200MPa，压缩许用应力[s-]=150MPa。试求支架在B点处所能承受的许用载荷F（由于考虑到BC杆受压失稳的因素，所以压缩许用应力小于拉伸许用应力）ABC第六章拉伸与压缩时的强度计算解首先求的杆AB和BC的轴力，假设，AB杆受拉力，而BC杆受压力，其受力如图所示。根据B处的平衡条件，得杆AB的拉力FN1和杆BC的压力FN2分别为

FN1

FN2

F

x

y

ABC根据两杆的强度条件，分别计算许用载荷F对AB杆，由有

对BC杆，由因此，为保证安全，支架的许用载荷应为两个数值中较小者，即Fmax=8.66kN实验发现，拉（压）直杆的变形主要是轴向变形，同时也伴随着横向变形当杆拉伸时，杆沿轴向伸长，而横向尺寸的略有缩短；当杆压缩时，其轴向尺寸缩短，而横向尺寸略有增大FF第六章拉伸与压缩时的变形计算记等截面直杆变形前的轴长为l，宽为b，在轴向拉（压）力的作用下，轴线长变为l1，宽变为b1FFbb1ll1杆的轴向伸长为

横向收缩为第六章拉伸与压缩时的变形计算轴向变形和线应变引入杆件单位长度的变形量，即线应变杆的轴向应变和横向应变分别定义为

和e和e1分别表示杆的轴向应变和横向应变，无量纲量当杆拉伸时，有e>0和e1<0；当杆压缩时，有e<0和e1>0第六章拉伸与压缩时的变形计算工程中的材料（钢、铜等）受拉（压）时，若应力不超过材料的比例极限，由实验、热力学理论得知：杆的轴向伸长l与外力F、杆件长度l成正比，而与横截面面积A成反比这个比例常数的倒数称为材料的弹性模量，通常记为E胡克定律和横向变形系数（泊松比）第六章拉伸与压缩时的变形计算这就是著名的胡克定律（1678），胡克定律反映了在比例极限范围内，应力和应变的线性关系，也称为材料的物理方程数学表述为：也等价于：或第六章拉伸与压缩时的变形计算弹性模量E与应力有相同的量纲对一般的钢材料，拉伸和压缩有相同的弹性模量，大约为200~210GPa（1GPa=109N/m2）自然界中存在着大量的拉伸弹性模量和压缩弹性模量不相等的材料由于EA越大，杆件的变形越小；EA越小，变形越大。因此，称EA为杆件的（抗拉）刚度实验和理论研究发现，在比例极限范围内，杆的横向变形和纵向（轴向）变形具有关系比例常数m

称为泊松比或横向变形系数，无量纲量第六章拉伸与压缩时的变形计算理论分析证明泊松比m满足-1<m<0.5，但实际中，目前还没有发现m<0的材料，所以一般材料满足0<m<0.5

m=0.5意味着是不可压缩材料几种常用材料的E和m的值，参见有关书第六章拉伸与压缩时的变形计算

例题例

等截面直杆受多力的作用，其横截面面积为A，材料的拉（压）弹性模量为E，求杆的总变形

l

3l

2P

P

解1

首先分析杆中的轴力，杆各部分的受力见图,由静力平衡方程得

FN1=P

FN2=P-2P=-P

l

3l

2P

P

FN1

P

2P

P

2

1

FN2利用胡克定律，杆件1的伸长为杆件2的伸长为因此，杆的总伸长为叠加原理！？超静定问题的概念如果系统的未知量数目等于独立的平衡方程数目，则称系统是静定的。该问题称为静定问题如果系统的未知量数目大于独立的平衡方程数目，则称系统是超静定的或静不定的。该问题称为超静定问题或静不定问题未知量数目与独立平衡方程数目之差，称为系统的超静定次数，保持结构静定的多余的约束称为多余约束第六章拉伸与压缩时的静不定问题

（静定问题）（一次超静定问题）理论力学研究的是静定系统问题，对超静定问题，必须考虑材料的变形特征，问题才能得以解决，材料力学的任务之一超静定问题的例题例1

两端固定的杆件在中间截面C处受轴向力P的作用，求A、B两端的支座反力解解除A、B两端的固定约束，代之于约束反力RA和RB，其受力如图。

CABRBPRA根据力的平衡方程，有此方程不能求解两个未知量，故需要补充方程如记DlAC和DlBC分别为杆AC和杆BC的伸长，杆AB的总伸长为DlAB，则有补充方程来自于问题的位移约束条件。对本问题，由于两端固定，故杆件总的伸长为零

CABRBPRA利用胡克定律，则杆AC和杆BC的伸长分别为将上式代入变形协调方程中，得此方程称为变形几何条件或变形协调方程

CABRBPRA联和静力平衡方程式，可求得支座的约束反力变形协调方程（未知力表示）静定与超静定的辩证关系——多余约束的两种作用：增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束；前者使问题变为不可解，后者使问题变为可解求解超静定问题的基本方法总结求解超静定问题的基本方法——平衡、变形协调、物理关系。现在的物理关系体现为力与杆件伸长的关系（胡克定律）第六章拉伸与压缩时的静不定问题温度应力当物体某一部分温度发生变化时，该部分产生热胀冷缩的变形对于静定结构，由于结构可以自由变形，这种热胀冷缩的变形并不会引起结构中的应力对于超静定结构，由于多余约束的存在，这种热胀冷缩的变形将引起结构中应力产生。这种应力通常称为温度应力第六章拉伸与压缩时的静不定问题由实验得知，在一定的范围内，当物体的温度发生变化DT=t2-t1时，物体沿一个方向的伸长与该方向的长度和温度变化DT的乘积成正比，即

Dl=DTL，称为热膨胀系数，t2、t1分别为终了和起始时刻的温度杆件在轴力和温度变化共同作用下的物理关系（本构方程）为正负号第六章拉伸与压缩时的静不定问题例1两端固定的直杆，当温度上升DT时，求杆中的内力解由于直杆两端固定，因此，

Dl=0从而，杆中内力为

FN=-

EADT（物理关系）

FN

FN装配应力杆件在加工时，其尺寸常存在着微小的误差，从而导致结构的几何形状出现微小的改变对于静定结构，这种微小误差并不会引起结构中的应力对于超静定结构，由于多余约束的存在，这种微小误差将引起结构中的应力。这种应力称为装配应力第六章拉伸与压缩时的静不定问题无装配应力存在装配应力例

如图所示的刚性梁有三根钢杆支承。钢杆的横截面面积均为A，其中中间杆的长度短了D，设杆的弹性模量为E，求三杆横截面上的装配应力解等截面直杆在轴向拉（压）时，在离开力作用点一定距离的中间部分，各截面上的应力分布是均匀的对于有圆孔、切口等的杆件，由于截面尺寸的突然变化，应力分布将发生变化理论和实验研究表明：在杆件尺寸突然改变的截面上，应力分布将是不均匀的第六章应力集中的概念考虑一个拉力作用下有小圆孔的平板，在圆孔附近的局部范围内，应力数值显著增大；而离开圆孔少远的地方，应力迅速下降，并且趋于均匀状态这种因截面尺寸突然改变而引起应力的局部增大现象，称为应力集中第六章应力集中的概念应力集中（有限元计算实例）设均匀状态的应力为s，孔边最大的应力为smax，则比值称为应力集中系数应力集中系数k是一个大于1的系数，它与截面尺寸的改变有关对于前面的例子，由弹性理论知，当板宽大于孔径的四倍时，其应力集中系数k

3第六章应力集中的概念研究表明：截面尺寸改变的越急剧，孔越小，凹槽处角度越尖锐，应力集中就越严重。即系数k越大对于脆性材料制成的构件，应力集中将严重削弱其承载的能力，特别是由构件内部的不均匀性和缺陷所引起的应力集中当构件受周期性变化的应力或受冲击载荷作用时，无论是塑性还脆性材料，应力集中对构件的强度都有严重的影响第六章应力集中的概念横向力——沿垂直与杆轴线方向作用的外力杆件在横向力作用下的变形比较复杂，其主要变形形式依据杆件的尺寸、横向力的作用方式而定

F

F

F

第六章剪切和挤压的实用计算当杆件受到两个大小相等、方向相反的横向力F作用时，如果，这两个力的作用线彼此很靠近，即两作用线的间距比杆的横向尺