初中数学冀教版八年级上册第十三章全等三角形单元复习 市赛获奖

全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了命题与证明、全等三角形的性质与判定及三角形的尺规作图，三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等．三个概念概念1：命题1．下列说法正确的是()A．每一个命题都有逆命题B．每一个定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．真命题的逆命题一定是假命题2．已知下列命题：①若a＞b，则c－a＜c－b；②若a＞0，则|a|＝a；③两直线平行，内错角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有()A．4个B．3个C．2个D．1个概念2：全等形3．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，填空：A与________对应；B与________对应；C与________对应；D与________对应．(第3题)概念3：全等三角形4．如图，已知△ABE与△ADC全等，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角．(第4题)5．如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC有怎样的位置关系？为什么？(第5题)一个性质——全等三角形的性质6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点M，交DE于点F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．(第6题)一个判定——全等三角形的判定7．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)已知DE＝35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)．(第7题)三个技巧技巧1：构造三角形法8．如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠AEB＝∠ADC.(第8题)9．如图，AB＝DC，∠A＝∠D，求证：∠ABC＝∠DCB.(第9题)技巧2：截长补短法10．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.(第10题)技巧3：倍长中线法11．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC.求证：CD＝2CE.(第11题)两种思想思想1：建模思想12．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测到了河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.【导学号：42282026】请你证明他们做法的正确性．(第12题)思想2：转化思想13．如图，已知AB＝AE，∠C＝∠D，BC＝ED，点F是CD的中点，则AF平分∠BAE，为什么？(第13题)一个作图——三角形的尺规作图14．如图所示，已知线段a，∠α，求作△ABC，使AB＝2a，∠A＝α，∠B＝2∠α.不写作法，但要保留作图痕迹．(第14题)答案1．A2．C点拨：①原命题是真命题，逆命题：若c－a＜c－b，则a＞b也是真命题；②原命题是真命题，逆命题：若|a|＝a，则a＞0，是假命题；③原命题是真命题，逆命题：内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题；④原命题是真命题，逆命题：相等的角是对顶角，是假命题．3．M；N；Q；P4．解：AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠B与∠C，∠2与∠1，∠BAE与∠CAD是对应角．5．解：AD⊥BC.理由如下：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC.又∵点B，D，C在同一条直线上，∴∠BDC＝180°，即∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.6．解：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，∴∠DAE＝50°.又∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D＝25°，∠BAC＝∠DAE＝50°.∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°，∵∠AMF＝∠BAD＋∠B＝60°＋25°＝85°，∴∠DFB＝∠AMF－∠D＝85°－25°＝60°.7．(1)证明：由题意得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB，,∠CAD＝∠BCE，,AC＝BC，))∴△ADC≌△CEB(AAS)．(2)解：由题意得AD＝4a，BE＝3a.由(1)得△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，∴DE＝DC＋CE＝7a.∵DE＝35cm，∴a＝5cm.答：砖块的厚度为5cm.8．证明：过点B，C分别作CA，BA延长线的垂线，垂足分别为F，G.在△ABF和△ACG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFB＝∠AGC＝90°，,∠FAB＝∠GAC，,AB＝AC，))∴△ABF≌△ACG(AAS)．∴BF＝CG.又∵CD＝BE，∴此时△BEF可看作是由△CDG翻折得到的，即△CDG经翻折后可与△BEF重合．∴∠AEB＝∠ADC.点拨：判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．9．证明：分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，则有AN＝ND，BM＝MC.在△ABN和△DCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AN＝DN，,∠A＝∠D，,AB＝DC，))∴△ABN≌△DCN(SAS)．∴∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.在△NBM和△NCM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(NB＝NC，,BM＝CM，,NM＝NM，))∴△NBM≌△NCM(SSS)．∴∠NBC＝∠NCB.∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN，即∠ABC＝∠DCB.点拨：证明三角形全等时常需添加适当的辅助线，辅助线的添加以能创造已知条件为上策，如本题取AD，BC的中点就是把中点作为了已知条件．分散证明，也是几何证明中的一种常用技巧．10．证明：(方法一——截长法)如图(1)，在BC上取一点F，使BF＝BA.连接EF，∵CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.在△ABE和△FBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BA＝BF，,∠1＝∠2，,BE＝BE，))∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠5.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.在△EFC和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠6＝∠D，,∠3＝∠4，,EC＝EC，))∴△EFC≌△EDC(AAS)，∴FC＝CD，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.(方法二——补短法)如图(2)，延长BA至点F，使BF＝BC，连接EF，∵CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠ABC，∠3＝∠4＝eq\f(1,2)∠BCD.在△BEF和△BEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝BC，,∠1＝∠2，,BE＝BE，))∴△BEF≌△BEC(SAS)．∴EF＝EC，∠F＝∠3＝∠4.∵AB∥CD，∴∠5＝∠D.在△AEF和△DEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠5＝∠D，,∠F＝∠4，,EF＝EC.))∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD.∵BC＝BF＝BA＋AF，∴BC＝BA＋CD.(第10题)11．解：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝AE，,∠BEF＝∠AEC，,EF＝EC，))∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠EAC，BF＝AC.过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGC＝∠AGB＝90°.∵∠ACB＝∠ABC，AG＝AG，∴△AGC≌△AGB.∴AC＝AB.又∵∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠BAC＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.在△CBF和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CB＝CB，,∠CBF＝∠CBD，,BF＝BD，))∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.(第11题)12．证明：由做法知：在△ABC和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠EDC＝90°，,BC＝DC，,∠ACB＝∠ECD，))∴△ABC≌△EDC(ASA)．∴AB＝ED，即他们的做法是正确的．13．解：连接BF，EF.∵点F是CD的中点，∴CF＝DF.在△BCF和