初中数学浙教版八年级下册第4章平行四边形4．6反证法

4．6反证法1．用反证法证明“a<b”时，第一步应假设(C)A．a>bB．a≤bC．a≥bD．a≠b2．用反证法证明“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一步应假设(D)A．两条直线相交B．两条直线不垂直C．在同一平面内，两条直线不同时垂直于同一条直线D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相交3．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(D)A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°4．用反证法证明“若实数a，b满足ab＝0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设(C)A．a，b中至多有一个是0B．a，b中至少有两个是0C．a，b中没有一个是0D．a，b都等于0(第5题)5．如图，直线AB，CD相交．求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD交于两点O与O′，那么过O，O′两点就有__两__条直线．这与“两点确定一条直线”矛盾，所以假设不成立，则AB，CD只有一个交点．6．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应先假设a＝b．7．完成下面的证明，用反证法证明“两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”．已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1≠∠2.求证：直线a不平行于直线b.证明：假设a∥b，那么∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)，这与已知的∠1≠∠2矛盾，∴假设a∥b不成立，∴直线a与直线b不平行．(第7题)(第8题)8．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补(填空)．已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．求证：∠1＋∠2＝180°.证明：假设∠1＋∠2__≠__180°.∵l1∥l2(已知)，∴∠1__＝__∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＋∠2__≠__180°，∴∠3＋∠2≠180°，这和平角的定义矛盾，∴假设∠1＋∠2__≠__180°不成立，∴∠1＋∠2＝180°.9．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．【解】已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.(第9题解)求证：AC≠A′C′.证明：假设AC＝A′C′.∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，∴假设不成立，∴AC≠A′C′.(第10题)10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点H.求证：AD与BE不能被点H互相平分．【解】假设AD，BE被点H互相平分，连结DE，则四边形ABDE是平行四边形．∴AE∥BD，即AC∥BC.这与“AC，BC相交于点C”矛盾，∴假设AD，BE被点H互相平分不成立．∴AD与BE不能被点H互相平分．11．已知a，b，c，d四个数满足a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：这四个数中至少有一个是负数．【解】假设这四个数都大于零或等于零．∵a＋b＝1，c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc＝1.∵a，b，c，d都大于零或等于零，∴ad＋bc≥0，∴ac＋bd≤1，这与“ac＋bd＞1”矛盾，∴假设不成立．∴a，b，c，d这四个数中至少有一个是负数．12．求证：形如4x＋3的整数k(x为整数)不能化为两个整数的平方和．【解】假设k＝a2＋b2.当a，b都是偶数时，即a＝2m，b＝2n，m，n为整数时，可得k＝a2＋b2＝4m2＋4n2＝4(m2＋n2)＝4p(其中p为整数)；当a，b都是奇数时，即a＝2m＋1，b＝2n＋1，m，n为整数时，可得k＝a2＋b2＝4(m2＋m＋n2＋n)＋2＝4p＋2(其中p为整数)；当a与b为一奇一偶时，不妨设a＝2m＋1，b＝2n，m，n为整数，可得k＝a2＋b2＝4(m2＋m＋n2)＋1＝4p＋1(其中p为整数)．∴k被4除的余数是0，1或2，这与“k＝4x＋3(x为整数)”矛盾，所以假设不成立，即形如4x＋3的整数k(x为整数)不能化为两个整数的平方和．13．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．【解】假设x≤0，y≤0，z≤0，则x＋y＋z≤0.∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2))，又∵a，b，c是不全相等的任意整数，∴x＋y＋z＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2))＞0，这与“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假设不成立．∴x，y，z中至少有一个大于零．14．用反证法证明：若整数系数方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)存在有理数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．【解】假设a，b，c都为奇数.∵方程存在有理数根，∴eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)为有理数，∴eq\r(b2－4ac)为有理数．∵a，b，c均为整数，∴b2－4ac必为整数，且是完全平方数，∴可设b2－4ac＝d2，d为整数，则(b＋d)(b－d)＝4ac.∵b为奇数，(b＋d)与(b－d)的奇偶性相同，且4ac为偶数，∴d只能是奇数，故可设b＝2p＋1，d＝2q＋1，p，q为整数，则b2－d2＝(b＋d)(b－d)＝(2p＋2q＋2)(2p－2q)＝4ac，(p＋q＋1)