过程控制系统及其应用(第五章)

第五章过程控制对象的动态特性

过程控制系统是根据被控制对象的特性和控制要求，选配合适的过程检测与控制仪表所组成。在过程控制系统的设计中，主要的依据是被控对象的特性。所以必须了解被控对象的静态和动态特性及控制要求才能实施控制方案的制定、仪表的选型以及系统参数的整定。在过程控制中，被控对象是指正在运行中的各种生产设备，例如换热器、蒸汽锅炉、蒸馏塔等等。而被调参数通常是指温度、压力、液位、流量等。概述数学模型：当某种形式的扰动作用于被控对象，引起对象的输出发生相应的变化。这种变化在时域或频域上用微分方程或传递函数进行描述，称为被控对象的数学模型，用来反映对象的特性，特别是动态特性。线性化：

实际的被控对象的动态特性或多或少都具有非线性的特点，这将使得对象的数学模型及分析处理变得复杂。为了分析和处理的方便，在研究对象的特性时，在一定的条件下对模型进行简化，而简化的模型亦能正确地表征对象的特征。例如当输出与输入变量在预定工作点附近的变化范围很小，就可以进行线性化，见图5-1，将工作点的切线代替原曲线。以工作点处的增量作变量，则可得近似方程上式常

称为线性化增量方程。被控制对象：是指正在运行的各种生产设备。常见的被控对象，其中有一个输出量y而有多个外作用量,……通常选一个容易被控制而又直接影响对象动态特性的外作用量作为控制作用，即控制器输出量x，常称其为过程的“内部扰动”或“基本扰动”。其余的外作用信号均可看作扰动作用，统称为“外部扰动”。被控量y与输入控制作用x的信号联系称为“控制通道”，被控量y与扰动d的信号联系称为“干扰通道”。要达到的控制效果，即内部扰动下的动态特性，要求合理选择控制方案和整定调节参数。以锅炉水位控制系统为例，给水流量和蒸汽流量变化都会引起水位的变化。给水流量变化可以用控制阀控制，表现为控制作用，即为内部扰动。蒸汽流量变化则由“用户”要求所决定，系统本身无法控制，表现为干扰作用，即外部干扰。而给水流量变化引起锅炉水位变化的对象特性即控制通道特性，蒸汽流量变化引起的锅炉水位变化的对象特性即干扰通道特性

当被控对象的被控量多于一个，且输入量也多于一个，为,……及x1,x2……xn时，则称为多输入多输出对象图5-3多输入多输出对象及其信号通道示意图多输入多输出对象若一个输入量只对一个被控量起控制作用时，则各个控制通道互相独立，这时可对各个控制通道单独分析动态特性。

本章讨论的被控对象仅限于线性对象或线性化的对象，并且只有一个控制通道的被控对象的动态特性。当一个输入量同时影响两个或两个以上的被控量，即被控量之间有一定关联时，则必须要求各控制器能协调地工作或采用解耦控制来解除被控量相互间的影响。第一节有自平衡对象的动态特性

自平衡对象：当对象受到干扰作用，平衡状态被破坏后，不需要外加任何控制作用，能依靠对象自身达到新的平衡状态的能力称为自平衡能力。这是一种自然形成的负反馈。过程控制对象有无自平衡能力，决定于对象本身的结构，并与生产过程的特性有关。例：见图5-4所示水箱液位对象，其液体流入量为，改变控制阀的开度x可以改变的大小。液位流出量为，它可根据需要通过负载阀来改变。液位h代表水箱中贮存液位的数量，它的变化反映了液体流入量与流出量不等而引起水箱中蓄水或泄水的过程。当水的流入量与流出量相等时，水位保持不变。当控制阀突然开大，水的流入量阶跃增多，水位开始上升，随着水位的升高，水箱内液体的静压力增大，则水的流出量也随之增多，最终会使流出量再次等于流入量，水位就在新的平衡位置稳定下来。一、单容对象的动态特性所谓单容对象是指只有一个储蓄容量的对象。单容水箱见图5-4所示，不断有水通过控制阀流入水箱，同时不断有水从水箱由负载阀流出。假如水箱高度无限大,根据物料平衡关系，在任何时刻液体流出量变化时，就会引起水箱中蓄水或泄水的过程，即设：A—水箱横截面积；

V—水箱液体体积。

图5-4单容对象一段时间内，液体流出量与流入量不相等，当水箱面积一定时，将引起水位的变化。

将式（5-1）改写为（5-2）这时水位维持在一个定值。

当扰动发生后，各个量都将偏离平衡时的稳态值，可以以增量形式表示这种偏离程度，即（5-4）

由式（5-2）、（5-3）与式（5-4），得

（5-5）

这是增量形式的方程，表示单容水箱在某一静态工作点附近的物料平衡关系。

设流入量的变化与控制阀的开度变化有关，即（5-6）式中kx是决定于阀门的比例系数，可假设为常数。

该流出量Qo是随液位h的变化而变化的，h越高，出口静压越大，流出量Qo也越大。流出量与液位关系可表示为（5-7）

可见流出量与液位h成非线性关系。若只考虑水位在其工作点ho附近不大的范围内变化，则可进行线性化处理，将式（5-7）泰勒级数展开后取一次项，得增量方程为

（5-8）

式中k是与负载阀开度有关的系数，在固定不变的开度下，k可视为常数。这样流出量变化与液位变化呈线性关系。令，则式（5-8）可写为（5-9）或（5-10）

称为流阻，是使产生单位流出量变化时，所需的液位变化量。将式（5-6）、（5-8）、（5-10）代入式（5-5），可得写成一般形式或（5-11）

式中C—液容，C=A；T—对象的时间常数，；K—对象的放大系数，。

式（5-11）表明单容对象是一阶对象。将式（5-11）经拉氏变换后，可得对象的传递函数为:（5-12）

在过程控制中，分析各种对象动态特性最常用的方式是阶跃信号输入时的响应。可以用突然加大控制阀的开度，施加阶跃扰动。解式（5-11）可得单容对象的阶跃响应为（5-13）

其曲线见图5-5所示，单容对象的阶跃响应是指数曲线，与放大系数K和时间常数T有关。图5-5单容对象的阶跃响应曲线（一）放大系数K

对象输出量达到新稳态值时，输出量的变化值与输入量的变化值之比，称为对象的放大系数。以上例水箱液位对象为例，解式（5-13）可得所谓，即是水位经过很长时间后，不再变化。如果把水箱看作一个环节，阀门这好比输入量变化值经水箱这个环节后放大了K倍而成为输出量的变化值。因此对象放大系数可表示为而达到新的稳态开度△X作为输入量，它的输出量即水位变化量（5-14）

由于放大系数K是不随时间变化的，只与被控量的变化起点与终点有关，故放大系数是对象的静态特性参数。特别注意，对象的输入与输出不一定是同一个物理量，其量纲也不尽相同。若输入与输出均以变化值的百分数表示，则K为一个无因次的比值，这样的表示方法对分析问题比较简单。（二）时间常数T时间常数Ｔ是指被控量保持起始速度不变而达到稳态值所经历的时间。可以从图5-5中的响应曲线的起始点作切线，与新稳态值线相交，其交点与起始点之间的时间间隔即为时间常数T。当时，响应曲线，利用此关系，也可测量时间常数T，即被控量从开始变化到稳态值63.2%所需的时间即为时间常数T。

从式（5-13）可知，时间常数T反映了对象在扰动作用后，被控量变化的快慢程度。T越大，表征被调参数完成其变化过程所需的时间越长，表明对象的惯性越大。故时间常数是对象的动态特性参数。时间常数是由流阻和容量决定的动态参数，具有时间量纲。（三）流阻和容量C对特性的影响在推导微分方程中，已经得到放大系数K和时间常数T与流阻和容量C之间的关系。重写如下：

（5-15）

从式（5-15）中可以看出，流阻不但影响T，还影响K。而容量C仅影响T，而不影响K。图5-6流阻对动态特性的影响图5-7容量C对动态特性的影响

流阻对动态特性的影响见图5-6所示。

设原来的响应过程为曲线①，它是当负载阀处于某一个开度下，水箱表现出的动态特性。如果用水量（即负荷）变大，因而负载阀处于比原来更大的开度，这时液位的响应过程是图5-6中的曲线②。这是因为负载阀开度大了，它的阻力减小了，那么根据式(5-9)关系，水位只需改变一点儿就能引起输出量较大变化，最后变化量就要小一些。也就是说，当比较小时，只需较小一些变化，就可以使有较大变化而达到与输入量流入量相等的数值，从而使水位最后稳定下来。从式（5-15）可见，减小后，放大系数K跟着减小，在图5-6中。另外从式（5-13）可得：

可见，水位起始速度与阻力Ro大小无关。因此，当Ro比较小时，尽管水位起始变化速度还和原来一样，但因水位最终变化量减小了，所以响应过程时间也变短了，其时间常数由T1减小到T2，见图5-6。一般说来，希望对象的阻力小些，则时间常数较小，响应较快，容易获得较好的控制效果。但有时也不希望阻力太小，以免响应过程过于灵敏，反而造成系统不稳定。

容量C表示被控对象储存物质或能量的能力大小，又称为容量系数。在液位对象中，其物理意义是产生单位液位变化时，所需对象储存液体的变化量，即

（5-16）从式（5-15）可以看出，改变容量系数C可以影响时间常数T。图5-7表示了容量C对动态特性的影响。如果原来水位响应过程为曲线1，其时间常数为，随着容量系变成，见图5-7中曲线2也变大，水位变化速度变小，响应从上面讨论中可知，改变设备结构（即容量系数）可以改变对象的动态特性；负荷变化（即流阻变化）也会改变对象的动态特性，或者说，在不同负荷下对象的动态特性是不同的。后一点在设计和整定控制系统中应特别注意。数增大，那么它的惯性过程时间变长，其时间常数由二、多容对象的动态特性

由多个容积和阻力构成的被控对象称为多容对象。多容对象的动态特性以两个串连的单容对象构成的双容对象比较典型。现以图5-8所示的双容对象进行讨论。与单容对象的分析方法相同，根据物料平衡关系可以得出下列方程：

式中各变量前加△符号表示增量。消去上式中间变量后可得：

式中—第一容积的流阻；

—第二容积的的流阻；

—第一容积的时间常数，；

—第二容积的时间常数，；

K—对象的放大系数，；

、—两个容积的断面积，也就是两个水箱的容量系数、。图5-8双容过程及其响应曲线a)双容对象b)响应曲线双容对象写成传递函数为或(5-17)

从图5-8中可见，当控制阀突然加大开度，即流量加一阶跃变化时，流体先经过前置水箱1再进入水箱2。由于多了一个容积，水位表现出来的响应特性就不同于单容水箱。响应过程在时间上落后一步，响应曲线呈现S形，见图5-8b）所示。多容过程的特点是受到扰动后，被控量的变化速度开始变化比较缓慢，而要经过一段延迟时间以后响应速度才能达到最大，这段滞后时间主要是对象容量增加和容积之间存在阻力所造成的。所以称为“容量滞后”或“容量延迟”。通常用表示。容量滞后可以通过作图法求得。通过的S型响应曲相交于C，与时的投影为B，则AB近似表示过程的等效时间常数。线的拐点D作切线，与稳态值

交于A。用0A近似表示容量滞后时间间轴相。而C点在时间轴

对于内部扰动作用下，双容对象的阶跃响应曲线中容积滞后的存在，对调节过程影响很大，它意味着控制过程的不及时。所以也是表征控制对象特征的一个重要参数。因此对于双容对象，需要用，和K三个参数来表征它的性）串联构成。即

能。有时可将响应曲线近似的看作是由一个等效纯滞后环节及一个等效单容对象（等效时间常数为

容量滞后是多容对象的主要特征。构成的对象串联容积愈多，容量滞后愈大。图5-9所示为1~5个储存容积串联对象的阶跃响应曲线。它们仍然成S形，都可以用，和K三个参数来表征。

多容对象的传递函数一般表示为（5-18）

由于多容对象的分析计算相当复杂，为了简便计算,一般采用等容环节的串联来近似n阶多容对象，即设，这时是传递函数可写为（5-19）图5-9多容对象阶跃响应曲线三、具有纯滞后对象的动态特性还有当物质或能量沿着一条特定的路径传输时，就会出现滞后，称为“纯滞后”或“传输滞后”，用表示。

纯滞后是由路径长度和运动速度两个因素所构成，即

在被控对象中，所谓滞后是指被控参数开始变化的时间落后于扰动。单容对象的时间常数具有类似滞后性质，一般称为“惯性滞后”；对多容对象，还有附加的“容量滞后”；纯滞后的量纲是时间。图5-10a)是一个具有纯滞后的单容水箱液位控制。被控对象本身是一个单容水箱，它的阶跃响应曲线见图5-10b)中的虚线1所示。由于控制阀安装在距离水箱较远的地方，则当控制阀开度变化而产生扰动后，水要经过较长的通道才流入水箱，即需要经过一段传输时间才会使流量Q2也跟着变化并开始对水位发生影响。因此水位的实际阶跃响应过程见图5-10b)中实线2。它等于曲线1向右平移一个距离τ0。图5-10纯滞后单容对象及响应曲线a)纯滞后单容对象b)响应曲线具有纯滞后单容对象的微分方程为其传递函数为

（5-20）

若是多容对象既有纯滞后又有容积滞后，在近似处理来表示，即。这样的对象其动态特性仍然用，TC和中，常把两种滞后加在一起，称为“滞后”或“延迟”，用K三个参数来表征。

有纯滞后的双容对象的传递函数可表示为（5-21）

多容对象的传递函数一般表示为（5-22）

n阶等容对象的传递函数为（5-23）

对象的纯滞后特性给自动控制带来极为不利的影响，例如测量或传输造成的纯滞后都将引起控制的不及时，降低控制质量，故在实现过程控制的工作中总是尽量把它消除或减到最小。第二节无自平衡能力对象的动态特性

一、单容对象的动态特性当对象受到干扰作用后，平衡状态被破坏，不能依靠它自身能力达到平衡状态的性质，称为无自平衡能力。以单容水箱为例，将上节单容水箱的出口阀换成定量泵，见图5-11a)。由于定量泵流出量与水箱的液位无关。当进水控制阀的开度变化，引起液位变化，而流出量不变，所以水箱内的液位或者逐渐上升直至液体溢出，或者逐渐下降直至液体抽干，其阶跃响应曲线见图5-11b）所示。因此，无自平衡过程在没有自动控制的情况下，不允许长时间无人照管。图5-11无自平衡能力单容过程及其阶跃响应曲线

下面来分析无自平衡能力的单容对象动态特性。对于图5-11，其微分方程由物料平衡关系可写为或若写成可见这是一个积分过程。写成传递函数为

（5-24）

式中—过程积分时间常数。

当对象具有纯滞后时，其传递函数为（5-25）二、双容对象的动态特性图5-12a)中有上下二个容器，如果下面容器的流出阀为定量泵，则下容器流出量的变化量，就成为无自平衡能力的双容对象。当控制阀发生扰动，上容器流入量产生阶跃变化时，上容器流出量也产生变化，而下容器液位变化量为，其开始变化的起始变化速度较低，经过一段时间后达到最大变化速度，这是多容对象的特性所决定的。响应曲线见图5-12b)。图5-12无自平衡能力双容过程及其阶跃响应曲线a)无自平衡能力双容过程b)阶跃响应曲线根据物料平衡关系，可写出双容对象的动态特性方程为消去中间变量可得或式中—时间常数，—积分时间常数，其传递函数为（5-26）

若对象含有纯滞后，则传递函数为（5-27）

同理对于无自平衡能力的n阶等容对象的传递函数为（5-28）

以及当对象含有纯滞后时，传递函数为

（5-29）

了解对象的特性和生产过程的特点是十分重要的，要使设计和投运的控制系统达到预期效果，就必须研究对象特性。根据不同对象的特征，选择合适的控制系统和合适的控制规律并正确地整定控制器的参数。这就是分析和了解对象动态特性的目的。第三节时域法辨识对象的动态特性

前面已经介绍过，只有掌握好被控对象的特性，才能够正确地设计一个控制系统，正确选择控制器的控制规律和参数，使控制器动作与被控对象特性配合，从而获得良好的控制质量。由于工业生产过程都不是简单的控制对象，根据被控对象的机理直接推导出对象的动态特性是困难的，有些甚至是不可能的。因此可以采用试验的方法来测出对象的动态特性。常用的测试方法有1）响应曲线法，它主要用阶跃试验或脉冲试验，根据响应曲线，用几何方法确定对象的动态参数。2）频率法，用频率域方法来描述对象的动态特性,目前已研究出多种求对象频率特性的方法。3）统计法，用伪随机信号测试，采用相关技术，应用统计方法测试出对象的动态特性。

由于用响应曲线法测取对象动态特性不需要专门的信号装置，方法简单，现场容易实现和控制，所以在单输入单输出系统的分析中，一直应用这种方法。本节将介绍在阶跃扰动或矩形脉冲扰动作用下对象的动态特性，据此分析过程控制对象的特点，并介绍试验的方法及根据特性响应曲线确定动态参数和传递函数的方法。一、阶跃响应曲线的测定（一）阶跃扰动法当对象处于稳态时，对输入量施加一个阶跃扰动，并保持不变，测定其输出量随时间而变化的曲线称为阶跃响应曲线，见图5-13所示，这种方法前面已经作了介绍。测取阶跃响应的原理很简单，但实际测量时应注意以下事项：

(1)合理地选择阶跃扰动信号的幅度。阶跃扰动的幅度过大会影响正常生产，甚至危及生产安全，这是不允许的。若阶跃信号过小则可能受干扰信号的影响，不能保证测试结果的真实可靠性。所以，在一般情况下，取允许最大值的5%～20%之间。在可能的情况下，以不影响生产为准，取大的扰动量为好。

(2)

测试前确保被控对象处于选定的某一稳定工作状态。一次试验要进行到被控过程达到或接近稳定状态。

(3)实验时可以在相同的测试条件下重复多次，至少获得两次基本相同的响应曲线。实验中应设法排除发生偶然性的干扰。

(4)

考虑到实际对象的非线性，实验时施加的扰动要分别从正方向和反方向变化，分别测出正方向和反方向变化的响应曲线，以求真实掌握对象的动态特性。

(5)要特别注意记录下响应曲线的起始部分，以很好地获得对象的动态特性参数。（二）矩形脉冲法如果在生产中不允许长时间的阶跃扰动试验，可以采用矩形脉冲输入代替阶跃扰动输入。即施加一个较大幅值的阶跃扰动，待被控量将要到生产允许的最大偏差值时，立即清除扰动，使被控量回到起始值。这种方法的优点充许扰动幅值大些，可达到20%～30%，施加扰动的时间短，被控量的变化不会超过生产的允许值。故此方法应用也较多。图5-13阶跃响应曲线

图5-14矩形脉冲分解成两个阶跃作用

由于阶跃响应曲线的参数估计较方便，所以需要将矩形脉冲响应曲线转换成两个阶跃响应曲线再处理。将矩形脉冲分解成两个阶跃信号，见图5-14与的幅值相等，但方向相反，且开始作用的，即时间不同，相差因此

假设被控过程是线性的，阶跃信号和的响应分和，根据迭加原理，则矩形脉冲响应就是两个别为阶跃响应之和，即

或写成根据上式就可以用分段递推作图法得到阶跃响应。

实测矩形脉冲输入和被控对象输出响应曲线见图5-15具体方法如下：(2)将所测绘的响应曲线按时间间隔△t进行等分。(3)第一个区间。即阶跃响应曲线与脉冲响应曲线一致。(4)第二个区间

即将第一区间的阶跃响应曲线迭加到第二区间的脉冲响应曲线上，即得第二区间的阶跃响应曲线。(5)

以此类推，将前一区间的阶跃响应曲线迭加到本区间的脉冲响应曲线上，即得本区间的阶跃响应曲线。

脉冲宽度的选择视输出量的幅值而定，并需考虑对象的惯性和滞后时间的大小。一般的方法是在正式测定前，取不同宽度的脉冲试扰动几次，观察被控量的变化，选其中最适合的一次继续进行测定。

图5-15中，b)表示有自平衡能力的对象，衰减不会完全衰减。得很快。而图5-15中c)表示无自平衡能力的对象,图5-15矩形脉冲响应曲线求阶跃响应曲线

二、由阶跃响应曲线求对象的传递函数

用测试法建立被控对象的数学模型，首要的问题就是选定模型的结构。工业生产中的大多数对象特性可以近似地以一阶、二阶以及一阶加纯滞后，二阶加纯滞后特性之一来描述，即：（5-30）

（5-31）

（5-32）

（5-33）

对少数无自平衡对象的特性，可用下面的传递函数来近似描述，即：（5-34）

（5-35）

用实验方法可测的对象的响应曲线，可以与以上归纳的几种标准函数的响应曲线进行比较，即可确定对象属于哪一类传递函数，并从响应曲线求出传递函数的各个参数，如放大系数K、时间常数T以及纯滞后时间。工程上由阶跃响应曲线求对象传递函数的常用方法有切线近似法、图解法及两点法等。（一）切线近似法切线近似法的特点是简单，但精度有较大随意性，而实践证明它可以成功地应用于PID控制器的参数整定,所以至今仍然得到广泛的应用。1、无滞后一阶对象的传递函数此对象的传递函数为

其阶跃响应为非周期过程见图5-16。只需确定放大系数K和时间常数T即可确定传递函数。1、静态放大系数K：由阶跃响应曲线上可定出，则

（5-36）

2、时间常数T：在响应曲线的起点作切线与y(∞)相交点在时间轴上的投影，即为时间常数T。图5-16无滞后一阶对象响应曲线

2、具有纯滞后一阶对象的传递函数此对象的传递函数为其阶跃响应曲线见图5-17。在时，曲线斜率为零。随着的增加，其斜率逐渐增大，当过拐点后，斜率又慢慢变小，该曲线呈S型，可近似认为带纯滞后的一阶非周期过程。若对象有容量滞后也可以当成纯滞后处理。用切线法确定参数的方法如下：对象静态放大系数K的求法与无滞后一阶对象的求法相同。时间常数T和纯滞后τ的确定：在阶跃响应曲线的拐点处D作一切线。在时间轴上的交点B，则OB为纯滞后时间τ。与稳态值线的交点为A，A在时间轴上的投影为C，则BC为时间常数T。图5-17有纯滞后对象的一阶近似假定放大系数(即按照=1调整纵轴刻度），其单位阶跃响应曲线见图5-18所示。图5-18具有自平衡能力二阶对象的响应曲线3、具有自平衡能力二阶对象的传递函数对象的传递函数为过拐点A作切线，与水平线相交为D，与纵坐标相交于E。过拐点作垂直线，与线相交为C，作水平线与纵坐标相交于B。则可得CD值与BE值。可以证明有下面的结论成立：（1）；（2）BE是的函数。设，则BE与m的相互关系如表5-1所示。表5-1BE与m的相互关系mBE000.050.13470.100.18090.150.2393mBE0.200.26930.250.29130.300.30020.350.3236mBE0.400.33190.450.34100.500.34660.550.3523mBE0.600.35630.650.35890.700.36200.750.3641mBE0.800.36560.850.36650.900.36711.000.3679

这样求取、的方法如下：（1）过阶跃响应曲线上的拐点作切线；（2）分别定出A、B、C、D和E点，并求得CD和BE值；（3）从表5-1中的BE值，可得相应的m值；（4）由解出与值。4、具有纯滞后环节的二阶对象的传递函数其对象的传递函数为（5-37）

在阶跃扰动△x的作用下，对应的阶跃响应曲线见图5-19所示。在起始阶段有一小段水平线OB，它代表纯滞后，在B点以后是一段S型曲线，它是双容对象的响应特性曲线。

从曲线上拐点P作切线，可确定时间常

数T和容量滞后。当时，被控参数的变化量为。当时，被控参数变化量为。假定传函中的、均已给定，则T、和、等大小也就定了。因此只要知道了比值、和T的大小，也可以知道和的值，进而也可确定值。图5-20具体地表明了这些比值之间的关系。根据有自平衡对象的阶跃响应特性曲线换算为带纯滞后二阶环节传递函数的步骤如下：在阶跃响应特性曲线上确定出、T和τ值；。计算时应注意将K值无，并根据查图5-20定出、、的值，查图方法见图5-20虚线所示；2.根据稳态值计算出K值：3.计算比值因次化；图5-19具有纯滞后的二阶对象响应曲线

图5-20二阶对象响应曲线上若干特征值间关系根据T值计算出、和τc值；计算纯滞后：。从图5-20中可以看到，比值最大值以0.034为限，此时，。因此在计算中可能会出现这样的情况，即从响应曲线上定出来的值，这时就只能取：（5-38）这样当然会带来明显的误差，除非用三阶环节近似，而这样一来，计算将要复杂多了。5、n阶等容惯性对象的传递函数n阶等容惯性对象传递函数的形式为对应的阶跃响应曲线见图5-21a)所示，通过曲线拐点B作切线，分别交于稳态值y（∞）线为A，交于横轴为C，交于竖轴为D。在竖轴上的截距为b。从响应曲线上可得对象的响应时间TA、拐点坐标TB、对象的等效时间常数TC和滞后时间τ。当系统阶次n和时间常数T确定时，曲线形状已定，即TA、TB、TC、τ和b都已确定，并有b/y（∞）=f（n）、TA=fA(n，T)、TB=fB(n，T)、TC=fC(n，T)和τ=fτ(n，T)等关系成立。将这些关系列表见表5-2。

图5-21切线法求等容对象特性a)阶跃响应曲线b)计算图表表5-2

b/y（∞）TA/T、TB/T、TC/T、τ/T与n的关系

由此可得求n阶等容惯性对象传递函数的一般步骤为：由阶跃响应曲线，确定y（∞）、TA、TB、TC、τ和b等值，见图5-21a)；由稳态值计算出K值：。△x为阶跃扰动值。由表5-2和图5-21b)确定n和T值。对象的阶数n也可用近似公式计算

（5-39）n123456789101426b/y(∞)00.1040.2180.3190.4100.4930.5700.6420.7100.7731.0001.50TA/T134.55.897.228.519.7710.95TB/T-1234567891324TC/T12.7123.6924.4805.1205.7006.2506.7107.1607.5809.10012.33τ/T00.2820.8051.4302.1002.8103.5604.3105.0805.8609.12018.50当n为1～6阶时，可用更简单的公式计算（5-40）对象的时间常数T可计算为（5-41）此方法简便，近似计算结果也能满足生产上的需要。6、无自平衡对象的传递函数1）积分对象其传递函数为阶跃响应曲线见图5-22所示，是一条等速变化的直线。响应时间就是直线的斜率，因此按下式计算（5-42）

式中△x为阶跃扰动幅值。

α为响应曲线与横轴夹角。即响应y=△x时，所需的时间即为响应时间。图5-22积分对象阶跃响应曲线2）带有纯滞后的单容对象其传递函数为阶跃响应曲线见图5-23所示。响应曲线的开始变化速度缓慢，然后以等速上升。沿响应曲线等速上升部分作切线，交横轴于A点，则OA就是滞后时间。而响应时间也按式（5-42）计算。图5-23有纯滞后的单容对象近似法

3）有纯滞后的双容对象其传递函数为对象的阶跃响应曲线见图5-24所示。经过一段滞后时间以后，才开始响应。同样沿响应曲线的等速上升部分作切线交时间轴于A点，可以得到纯滞后时间及时间常数T，响应时间也按式（5-42）计算。图5-24有纯滞后的双容对象的响应曲线4）多容对象其传递函数为（5-43）对象的单位阶跃响应曲线见图5-25所示。其响应方程为（5-44）当t→∞时，切线与被控量y(t)重合，切线方程为

（5-45）

当=0时，切线与时间坐标相交点位，代入上式得

即则时间常数T为（5-47）

当t=0时，切线与纵轴交点为b，代入式（5-45）得（5-48）将式（5-46）代入（5-48）式可得

（5-49）则响应时间Tα为当时，代入式（5-44）得（5-51）

式（5-51）与式（5-49）的比值为（5-52）这是n的单值函数，由上式算出表5-3或绘成图5-26。（5-50）

图5-25多容对象近似法

图5-26y(ta)/ob与n关系n1234560.3680.2710.2240.1950.1750.161这样从响应曲线确定多容对象传递函数的步骤为：作切线，分别确定，，和；2.由式（5-50）求得响应时间

；；3.由表5-3或图5-26确定阶数n；4.由式（5-47）求得时间常数T；5.将以上参数代入式（5-43）得对象传递函数。当计算的n不是整数时，取最相近的整数值。若求出的n>6，即<0.161时，可

将对象作为有纯滞后的单容过程进行表5-3y(ta)/ob与n关系处理。若算出的n≥3，还可简化为具有纯滞后的双容对象进行处理。对象的阶数n也可按下式计算（5-53）（二）计算法由于切线近似法中，响应曲线中的拐点位置不易选准，切线方向亦有较大的随意性，因此结论比较粗糙。为了避免在响应曲线上作切线的困难，可以选用计算法。1、无纯滞后的一阶对象的传递函数无纯滞后的一阶对象传递函数对象的放大系数K同前方法求得为而阶跃响应为（5-54）由式（5-54）可知：当t=T/2时的响应值为y(T/2)=0.393y（∞）；当t=T/1.44时的y(T/1.44)=0.5y（∞）；当t=T时的y(T)=0.632y（∞）；而t=2T时的y(2T)=0.865y（∞）。见图5-27所示。因此可以在阶跃响应曲线上找到的点，就可确定时间常数T，其他的特殊点可作校验用。图5-27无纯滞后的一阶对象响应曲线2、具有纯滞后一阶对象的传递函数对象传递函数重写为式中放大系数K用前方法求得：。被控量y(t)以相对值y0(t)=y(t)/y(∞)表示，则阶跃作用下的解为其响应曲线见图5-28所示。选择两个不同时间t1和t2，得两个联立方程

联立求解得

（5-55）

一般可在响应曲线上选择y0(t1)=0.393，y0(t2)=0.632，代入上式，则可得（5-56）对计算出的T和τ还应进行校验。在相对值曲线y0(t)上另取一对时间的响应值，例如y0(t3)=0.33，y0(t4)=0.7，则由（5-55）式可得

（5-57）

若分别由（5-55）式和（5-57）式计算的两组T与τ相差太大，则应选用二阶带滞后环节来近似。如果两组值都很接近，则可取平均值，即

（5-58）图5-28有纯滞后对象的一阶近似3、无纯滞后二阶对象的两点法无纯滞后二阶对象的传递函数为

阶跃响应曲线见图5-29所示，在响应曲线上选择0.4和0.8两个点，然后用近似公式计算

（5-59）

上式适用于0.32<<0.46。当=0.32时，为一阶环节，,则（5-60）当=0.46时，为二阶等容环节，，则（5-61）当>0.46时，表明过程是高于二阶的，但仍可用二阶环节来近似。(a)无纯滞后二阶对象(b)有纯滞后二阶对象图

5-29二点法求对象传递函数若二阶对象具有纯滞后，传递函数为其滞后时间T，可根据阶跃响应曲线开始出现变化的时刻来确定，见图5-29b。在时间轴上截去纯滞后部分，以时刻T作为时间起点0，设纵坐标为y（t），这时y（t）曲线与图5-29a的无纯滞后二阶对象相同，然后利用上述方法计算T1和T2，而求K得方法不变。4、n阶对象的两点法对象传递函数为在阶跃响应曲线上取两点，方法同前面讨论的一样。则近似公式计算系统阶次

（5-62）

n与t1/t2的关系计算成表5-4，以便使用。注意n取最接近的整数值。时间常数

(5-63)

增益系数两点法方法简便，使用方便，不用完全画出对象的阶跃响应曲线，而只要测得选定时刻相对应的被控量数值，即可求出对象近似传递函数。一般讲两点法精度要高于切线近似法。对于工程整定，两点法的精度范围是足够的。表5-4n与t1/t2的关系n1234567t1/t20.3170.4600.5340.5840.6180.6400.666n891011121314t1/t20.6840.6990.7120.7240.7340.7480.7511、一阶自平衡对象的传递函数设一阶自平衡对象的传递函数为（三）图解法

在阶跃扰动△x作用下，其响应为（5-64）

式中，同前述方法一样，由此可确定放大系数K值。时间响应曲线见图5-30。

图5-30一阶对象的响应曲线

将式（5-64）写为两边取自然对数

（5-65）这是直线方程。以为纵坐标，以时间t做横坐标，直线见图5-31。直线与纵坐标交于A点，直线斜率为-1/T，由图可知令t=T，则取反对数得所以直线上0.368A所对应的时间，即为时间常数T。

图5-31半对数坐标时间常数图解

通常利用半对数坐标纸作曲线，但其对数坐标是以常用对数值刻度的，所以必须将自然对数换算为常用对数，则式（5-65）直线方程改为则式（5-65）直线方程改为或（5-66）

式(5-66)同样是直线方程，直线见图5-32，它交纵坐标于A点，交横坐标于C，斜率为-1/2.303T。这样由图得即（5-67）

图5-32半常用对数坐标时间常数图解

由于半对数纸的对数坐标上标的都是未取对数时的真值，所以只须将实测的数值或从阶跃响应曲线上获得的数据（见图5-30），按坐标轴标度直接点上去，再用上述方法求出一阶对象的传递函数。若在半对数坐标纸上，所绘的多数点远离直线分布，而且是无规则的，这说明测试精度不够，应采取措施提高测试精度后，重新测试。若在t较大时各点接近于直线，而t较小时各点偏离直线，则可能是二阶或二阶以上的对象特性。2、二阶自平衡对象的传递函数二阶自平衡对象的传递函数为其中，则阶跃响应为（5-68）其响应曲线见图5-33图5-33二阶对象的响应曲线

对象的放大系数K仍可按以前的方法计算。而时间常数现在采用图解法。在响应曲线上仔细量出的数值，并用描点法绘制（一般当时），则当t项相对于项可忽略不计，这样，在半对数坐标纸上。若大到一定程度后，式（5-68）可简化为

或两边取对数得（5-69）

或（5-