概率统计和随机过程82点估计量的优良性课件

第二节点估计量的优良性

11、矩方法；（矩估计）2、极大似然函数法（极大似然估计）.复习点估计的方法1.矩方法方法用样本的

k

阶矩作为总体的

k

阶矩的估计量,建立含有待估计参数的方程，从而可解出待估计参数2设待估计的参数为设总体的

r

阶矩存在，记为设X1,X2,…,Xn为一样本，样本的r阶矩为令——含未知参数1,2,,k的方程组3

定义1:(1)设r.v.X的概率密度函数为f(x,),其中为未知参数(f为已知函数).x1,x2,,xn为样本X1,X2,,Xn的样本观察值,称为变量X关于样本观察值x1,x2,,xn的似然函数。若X是离散型随机变量，似然函数定义为2.极大似然估计5

定义2

如果似然函数在时达到最大值,则称是参数的极大似然估计。

通常步骤

：

第一步似然函数为注:求导不是求极大似然估计唯一方法第二步令解出6

对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用什么标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)无偏性(3)一致性(2)最小方差无偏估计（有效性）第二节点估计量的优良性

7例1：样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计量.计算

是总体X的样本,

一般的

设总体X的

k

阶矩存在容易知道:不论

X服从什么分布,是的无偏估计量.10例2

设总体X的概率密度为

(4)求的方差X1,X2,,Xn为来自总体X的样本.(1)求总体均值EX,总体方差DX；(2)求的矩估计量;

(3)是否为的无偏估计；11(3)所以是的无偏估计;

(4)的方差(2)令

得的矩估计量为13

二、最小方差无偏估计则称是的最小方差无偏估计。

定义2设是的一个无偏估计，若对于的任一无偏估计，成立

定义设有效性都是总体参数的无偏估计量,且则称比更有效.14例3

设X1,X2,,Xn为来自于总体X的样本,总体均值EX=,总体方差DX=2,求的最小方差线性无偏估计。解已知X1,X2,,Xn独立且与X同分布,的线性估计是将X1,X2,,Xn的线性函数

问题是如何选取的值，使得无偏性和最小方差这两个要求都能得到满足。

作为的估计量。15由条件

得到于是

是的最小方差无偏估计。

得

若和都是的无偏估计量，且成立，则通常称估计量较有效,或较佳,或较优.例

设X1,X2,X3为总体的一个样本,试证下列估计量都是总体均值的无偏估计量,且问哪一个最佳？18三、一致估计

设为总体参数的估计量，显然与样本X1,X2,,Xn有关，我们希望会随着样本容量n的增大而越接近于，这一要求便是衡量估计量好坏的另一标准。例4

试证样本均值为总体均值的一致性估计。证因为

所以，对于相互独立且服从同一分布的随机变量X1,X2,,Xn，由大数定理，即得此外,还可证明样本方差S2是总体方差2的一致性估计.21例5

证明正态总体N(,2)的样本方差S2是总体方差2的一致性估计量。证由切比雪夫不等式有

而

22例6

X~N(0,2),其中0为已知,X1,X2,,Xn为样本,记证明为2的无偏估计,一致估计.注意:

不是样本的二阶中心矩.本题即要证23为的无偏估计量同样的方法可得:因此比更为有效26则称区间[1,+)为相应于置信度是1-的单侧置信区间，1称为置信度是1-的单侧置信下限。类似，满足下式问题:

如何确定总体参数的区间估计[1,2]呢？对于一般总体是难于确定的.现仅能确定正态总体N(,2)中参数,2的区间估计这对许多实际应用已经够了.的2为单侧置信上限。

我们知道，正态随机变量是最为常见的，特别是很多产品的指标服从或近似服从正态分布。因此,我们主要研究正态总体参数的区间估计。先研究均值的区间估计，然后再研究方差的区间估计。这些在实际应用中是很重要的.

第四节正态分布均值和方差的区间估计30

设总体X~N(,2)，其中2已知，又X1,X2,,Xn为来自于总体的样本。一.均值EX的区间估计下面分两种情况进行讨论。1.方差DX已知，对EX进行区间估计由第七章第三节中的结论可知于是

31即

由标准正态分布可知，对于给定的，可以找到一个数z1-/2

，使32

当＝0.05时,查标准正态分布表得临界值此时的置信区间是