最优控制内容要点

1基本内容最优控制理论古典变分法极大值原理动态规划最优控制系统最速控制系统二次型性能指标的最优控制最省燃料控制系统最小能量控制系统……2最优控制的理论研究

非线性系统的最优控制；分布参数系统的最优控制（无限维系统的最优控制）；随机系统的最优控制；多目标系统的最优控制（微分对策）；最优自适应控制；大系统的最优控制；广义系统的最优控制；模糊最优控制；次最优控制；鲁棒最优控制；奇异最优控制；最优控制的数值方法；抽象代数工具（例如范畴理论和李群论）在最优控制中的应用；……最优控制的应用研究

航空航天；机械加工；化工过程；能源控制；汽车；机器人；生物系统；环境系统；社会与经济系统；……3最优控制问题的一般描述①受控系统或过程的数学模型②容许控制的集合Uad

工程实际因素的限制。例如，控制飞机的舵偏角是受限制的，控制电机的电流是受限制的。

③边界条件初态通常已知。目标集S可以表示为④性能指标反映和评价系统性能优劣的指标。性能指标值的大小依赖于控制作用的整体u(·)的选择，而不是取决于控制u(t)在t时刻的值；因此J[u(·)]是控制函数u(·)的函数（称为u(·)的泛函）。最优控制问题的四个要素：4最优控制问题可表述为：寻找一个容许控制u(t)，使受控系统从某个给定的初始状态出发，在末端时刻达到目标集，并且使性能指标J[u(·)]达到极小值或极大值。如果问题有解，则称求得的容许控制为最优控制，记为u*(t)

；在u*(t)作用下系统状态方程的解称为最优轨线，记为x*(t)

；相应的性能指标值J[u*(·)]，称为最优指标值。在数学上，最优控制问题的实质，是对受约束的泛函J[u(·)]求极值的问题，其中的约束条件为系统的状态方程、目标集方程和容许控制域。

开环控制与闭环控制：最优控制的一类形式是表示为时间变量t的函数，称为程序控制或开环控制。它的缺点是不能抑制扰动。最优控制的另一类形式是状态反馈，称为综合控制或闭环控制。其优点是对抑制扰动有利。5有约束条件的函数极值问题--拉格朗日乘子法设具有个n变量的多元函数为X的各分量满足下面的m个等式约束方程函数L有极值的必要条件为拉格朗日函数6习题1.求使且2.求原点到曲线的距离为最小。3.求函数极值，若7变分法性能指标泛函的三种形式拉格郎日(Lagrange)形式(积分型)马耶耳(Mayer)形式(末值型)波尔扎(Bolza)形式(混合型)在变分法中，当性能指标泛函的形式为Lagrange形式、Mayer形式和Bolza形式时，泛函取极值的问题分别称为Lagrange问题、Mayer问题和Bolza问题。8无约束条件的变分问题：tf

固定欧拉方程是二阶微分方程，它的解包含两个积分常数。这两个积分常数要利用边界条件x(t0)=x0和x(tf)=xf来确定。只有满足欧拉方程同时又满足边界条件的函数，才能在满足给定端点条件下使泛函达到它的极值。因此，求解变分或寻找泛函的极值函数问题归结为求解欧拉方程。对于端点时间固定，而端点状态未规定的情况，则必要条件包括下面两个方程（横截条件）（欧拉方程）和9(1)固定端点问题(2)固定始端、未定终端问题(3)未定始端、固定终端问题(4)未定端点问题10横截条件的讨论

(1)固定端点问题横截条件变成预先规定的边界条件x(t0)=x0和x(tf)=xf

(2)固定始端、未定终端问题这时，可任意选择。于是，横截条件变成和11

(3)未定始端、固定终端问题这时，可任意选择。于是，相应的横截条件是

(4)未定端点问题假设，互不相关，横截条件可写成又知道和任意，于是得到横截条件和和和12无约束条件的变分问题：tf未定考虑最简单的泛函的极值。其中x(t)是t的二次可微函数；是变量x、和t的连续函数，并且有连续二阶偏导数，端点时间t0固定。假设终端时间tf未规定，但不是任意的，它受终端状态xf约束，而xf又取决于给定的终端曲线c(tf)。c(tf)规定了终端状态与终端时间之间的关系。终端状态约束如图所示。13x(t0)=x02．tf和x(tf)受c(tf)曲线约束1．tf自由，x(tf)自由x(t0)=x0(确定末端时间)(确定末端状态)3．tf自由，x(tf)固定x(t0)=x0和x(tf*)=xf无约束条件的变分问题：tf未定在边界处应满足的条件泛函取极值的必要条件为：14欧拉方程和横截条件的矢量形式假设性能泛函把它写成矢量形式，则有对于初始状态固定，终端受约束的可动边界问题，可得欧拉方程和横截条件的矢量形式（欧拉方程）（横截条件）15有等式约束的变分问题如果给出性能泛函其中x=[x1

x2…xn]T是n维矢量，要求在矢量微分方程的约束下求泛函J的极值，其中(m<n)引入矢量拉格郎日乘子λ(t)=[λ1(t)λ2(t)…λm(t)]T将微分方程约束条件结合到性能泛函中构成一个新泛函，即16于是，在微分方程组约束下求泛函的条件极值问题，只需用拉格朗日乘子法将有约束条件问题转化为无约束条件问题来解决。假设函数x1(t)，x2(t)，…，xn(t)，λ1(t)，λ2(t)，…，λm(t)使泛函J'取极值，那么这n+m个函数必须满足下面n+m个欧拉方程：或写成矢量形式在这里我们把辅助泛函J'作为依赖于n+m个自变量函数x1，x2，…，xn，λ1，λ2，…，λm的泛函来看待。17习题1、求的极值曲线。其中(1)(2)2、y(1)=1，y(2)自由，求使取极值的y*(x)。3、y(0)=1，y(π/4)自由，求使取极值的y*(x)。184、给定系统取极小值的u*(t)。求使5、试求从(0，1)引向直线的最短曲线的函数。6、利用一阶变分的定义取极值的的必要条件。及变分学基本引理，推导泛函19极小值原理

无不等式约束的波尔札问题：tf未规定那么，如果u*(t)、x*(t)、tf*分别是最优控制、最优轨线和最优终端时间，则它们同λ*(t)一起在区间[t0，tf]上必须满足：给定系统微分方程和性能泛函假设t0固定，tf未规定。纯量函数Φ和L连续可微，初始状态x(t0)未规定，终端状态受约束。定义哈米尔登函数20(3)控制方程(5)如果哈米尔登函数H和函数Φ

、N都不显含t，则(4)横截条件(1)系统方程(2)伴随方程21哈米尔登函数的一个重要性质哈米尔登函数哈米尔登函数沿着最优轨线有若H不显含t，则可得或H＝常数哈米尔登函数的一个重要性质：如果哈米尔登函数H不显含t，那么，它沿着最优轨线等于常数。22有不等式约束的波尔札问题那么，如果u*(t)、x*(t)、tf*分别是最优控制、最优轨线和最优终端时间，则它们同λ*(t)一起在区间[t0，tf]上必须满足：定义哈米尔登函数极小值原理可以叙述如下：系统微分方程初始状态状态矢量x(t)是分段光滑函数，控制矢量u(t)是分段连续函数。u(t)属于m维空间中的有界闭集，受不等式约束。终端状态约束式中t0固定，tf未规定。性能泛函23(1)系统方程(2)伴随方程规范方程组、正则方程组、哈米尔登方程组(3)极值条件(4)横截条件24如果哈米尔登函数不显含t

，终端时间未规定，且函数Φ

、N都不显含t，则(5)如果哈米尔登函数H不显含t，且终端时间固定，则25(1)容许控制条件放宽了与经典变分法相比，极小值原理的重要意义极值条件适用于控制受约束的情况。(2)最优控制使哈密顿函数取全局极小值经典变分法极小值原理(3)扩大了应用范围极小值原理不要求哈密顿函数对控制向量的可微性。(4)给出最优解的必要条件而非充分条件如果由实际工程问题的物理意义可以判定解是存在的，而由极小值原理求出的控制又是惟一的，则该控制为要求的最优控制。26离散极小值原理系统差分方程初始状态x(k0)固定终端状态约束

N[x(N),N)=0，N为固定整数性能指标J取极值的必要条件是：1)2)3)4)定义哈米尔登函数27习题1、已知取极小值。求u*(t)使为最小。2、已知，，求，及使(1)(2)为极小。3、已知，，求，使284、已知取极大值。求u*(t)使5、已知取极小值。求及非换接形式的u*(t)使29为极大。6、已知，，，求使，为极小。7、已知，，求使30离散动态规划

不变嵌入原理的含意是：为解决一个特定的最优决策问题而把原问题嵌入到一系列相似的但易于求解的问题中去。对于多级决策过程来说，就是把原来的多级决策过程问题转换成一系列单级决策过程问题。显然，单级问题要比多级问题容易处理。

最优性原理的含意是：在一个多级决策问题中最优决策具有这样的性质：不管初始级、初始状态和初始决策如何，当把其中任何一级和状态作为初始级和初始状态时，余下的决策对此初始状态必定构成一个最优决策。这就是说，如果有一个初始状态为x(0)的N级过程，其最优决策序列为u*(0)，u*(1)，u*(2)，…，u*(N一1)，那么，对于以x(k)为初始状态的N一k级过程来说，u*(k)，u*(k+1)，…，u*(N一1)也是一个最优决策序列。31考虑系统：性能指标J的下标Ｎ表示由u

(0)到u

(N-1)控制N步。问题的提法是：求控制序列u*(0)，u*(1)，u*(2)，…，u*(N-1)使JN取极大(或极小)。离散动态规划基本递推方程且在解离散系统最优控制问题时，应用离散动态规划基本递推方程，可以由最后一步开始，把一个N步控制问题化为N个一步控制的问题。32连续动态规划哈米尔登—雅可比—贝尔曼方程(HJB方程)非线性系统性能指标式中端点时间t０、tf固定，终端状态x(tf)未规定。我们的任务是从容许控制的集合中求出最优控制u*(t)，使性能指标J取极小。则相应的边界条件为或33习题1、下图为城市交通线路(网络)，x0为始发站，求经过中间的三个车站到达终点的三个车站中的任何一个的线路所用的时间最小，并标出最优值函数。778x034663324452、取最小值。343、取最小值。4、，t1给定，q，r均为常数，使取最小值。试证最优值函数满足方程令时，试证p(t)满足，p(t1)=0当35线性最优控制其中x(t)为n维状态向量，u(t)为m维控制向量，y(t)为p维输出向量；A(t)，B(t)，C(t)分别为n×n，n×m，和p×n维矩阵，它们是时间的分段连续函数。求出一控制u(t)，使如下性能指标取极小值给定线性系统的状态方程与输出方程令e(t)=x(t)，则问题化为：用尽可能小的控制能量，使状态x(t)保持在零值附近，因而称之为状态调节器问题。令e(t)=y(t)，则问题归结为：用尽可能小的控制能量，使输出y(t)保持在零值附近，因而称之为输出调节器问题。令e(t)=yr(t)-y(t)，其中yr(t)是系统的理想输出，则问题归结为：用尽可能小的控制能量，使输出跟踪yr(t)的变化，因而称之为跟踪问题。36状态调节器系统状态方程性能指标其中t0和tf固定；F是半正定对称定常矩阵；Q(t)是半正定对称时变矩阵；R(t)是正定对称时变矩阵。最优控制律且性能指标的最小值为黎卡提(Riccati)矩阵(P(t)是对称非负定时变矩阵)微分方程末端约束P(tf)=F37输出调节器性能指标给定可观测线性时变系统其中t0和tf固定；F是半正定对称定常矩阵；Q(t)是半正定对称时变矩阵；R(t)是正定对称时变矩阵。最优控制矩阵P(t)满足黎卡提(Riccati)微分方程和边界条件P(tf)=CT(tf)FC(tf)38定常调节器给定完全能控线性定常系统和性能指标Q是半正定对称常数矩阵；R是正定对称常数矩阵。P(正定对称常数矩阵)满足黎卡提(Riccati)线性矩阵代数方程最优控制性能指标的最小值为39定常调节器的最优闭环系统是渐近稳定的根据李亚普诺夫稳定性理论，按全状态负反馈工作的线性调节器闭环系统是渐近稳定的。最优闭环系统有无穷大增益裕量，有约600相角裕量。最优闭环传递函数对参数变化的灵敏度小于开环传递函数对参数变化的灵敏度。40线性伺服系统性能指标给定线性时变系统其中t0和tf固定；F是半正定对称定常矩阵；Q(t)是半正定对称时变矩阵；R(t)是正定对称时变矩阵。e(t)表示误差，即e(t)=z(t)－y(t)，z(t)是参考输入。最优控制矩阵P(t)满足黎卡提(Riccati)微分方程和边界条件P(tf)=CT(tf)FC(tf)驱动函数g(t)满足和边界条件g(tf)=CT(tf)Fz(tf)41习题1、取极小值的最优求使，其中反馈控制，又问是否渐近稳定？试用两种以上方法求反馈控制u*使J取小值。2、，，，42试求反馈控制u*使J取小值。3、，，，(1)试求反馈控制u*使J取小值。4、(2)求试m、n使闭环系统的特征值(极点)为(-2，-2)。43最短时间问题非线性系统控制变量不等式约束性能指标或写为哈米尔登函数44则最优控制律45如果对每一个j，在区间[t0，tf]上除有限个孤立的点t1j，t2j，…，外，都有。只有当t=t1j，t2j，…，时才有。则称最优控制问题是非奇异或正常的。如果对每一个j，在区间[t0，tf]上存在一个或若干个子区间[t1j，t2j]对于某个或某几个控制分量uj有则称最优控制问题是奇异的。，对一切46

奇异最优控制问题并不意味着最优控制不存在，仅仅表明不能从哈米尔登函数对u(t)取极小这个条件来确定最优控制u*(t)，要确定奇异区间里的最优控制u*(t)，还必需利用极小值原理的其它必要条件。奇异最优控制问题是值得专门研究的最优控制问题。对于最优控制问题，如果：1)哈米尔登函数是控制矢量的线性函数，或者说，控制矢量在系统方程和性能指标中是以线性形式出现的，2)控制变量有上下界，3)最优控制是非奇异的，那么，最优控制律uj*(t)将是时间的分段恒值函数。它在的点上产生跳变。这就是砰－砰控制原理。47线性定常系统的最速控制问题给定完全能控的线性时不变系统控制变量不等式约束性能指标必要条件（规范方程）边界条件x(0)=x0，x(tf)=0控制律48

开关次数定理对于线性时不变系统如果最短时间问题是平凡的，控制为砰－砰控制，且矩阵A的特征值全部为实数，则最优控制的切换次数不大于n-1。n为系统的阶数。

奇异性判定最小时间线性定常系统为正常系统的充要条件是控制矩阵B的所有列向量bj满足最优状态反馈控制律可表示成式中hj[x*(t)]称为开关函数。如果求出了开关函数，便可以构成采用状态反馈的闭环控制。49例题

例

求从原点（0，0，0）至平面

的最短距离。解原点至空间任何一点的距离的平方为

要使极小，而点必须在所规定的平面上。50这是一个条件极值问题。作拉格朗日函数

极值的必要条件为51

联立求解上面四个方程可得

可能的极值点坐标为52根据问题的性质可以判断极小值存在且是唯一的。故上面的即是极小点的坐标。将极小点坐标代入函数中，即可求出最短距离的平方为此问题的约束方程是、、的线性函数，因此容易用“消去法”来求极值点。例如，从中解出，将它用、表示，于是问题就化为求二元函数的无条件极值问题。读者可自行验证这样做的结果与拉格朗日乘子法的结果是一样的。53例求由y(0)＝1出发，终端落到y=2－x上且使最小的y*(x)。物理意义是：求起点至目标集直线上最短路径y*(x)，也就是求匀速运动的物体，起点至目标集直线上最小时间的路径y*(x)。解被积函数Euler方程是解Euler方程得54正交性条件即则可解得55例已知求，使

取极值。解泛函的被积函数等价为Euler方程组是用变分法解最优控制问题56代入原约束(状态方程)有从而可得再由可得，故(开环最优控制)57解哈密尔顿函数例