曲线积分-曲面积分-矢量分析初步-习题课

第九章曲线积分曲面积分矢量分析初步习题课1湘潭大学数学与计算科学学院（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步

一、主要内容2湘潭大学数学与计算科学学院曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分3湘潭大学数学与计算科学学院曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算三代一定二代一定(与方向有关)4湘潭大学数学与计算科学学院与路径无关的四个等价命题条件等价命题5湘潭大学数学与计算科学学院曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义联系计算一代,二换,三投(与侧无关)一代,二投,三定向(与侧有关)6湘潭大学数学与计算科学学院定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各种积分之间的联系7湘潭大学数学与计算科学学院积分概念的联系定积分二重积分8湘潭大学数学与计算科学学院曲面积分曲线积分三重积分曲线积分9湘潭大学数学与计算科学学院计算上的联系10湘潭大学数学与计算科学学院其中11湘潭大学数学与计算科学学院理论上的联系1.定积分与不定积分的联系牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系格林公式12湘潭大学数学与计算科学学院3.三重积分与曲面积分的联系高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式13湘潭大学数学与计算科学学院Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系或推广推广14湘潭大学数学与计算科学学院梯度通量旋度环流量散度（三）场论初步15湘潭大学数学与计算科学学院二、典型例题1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终(一)、曲线积分的计算法16湘潭大学数学与计算科学学院(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧17湘潭大学数学与计算科学学院例1.计算其中为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(的重心在原点)18湘潭大学数学与计算科学学院例2.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,解法1令则这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周.19湘潭大学数学与计算科学学院解法2

它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段20湘潭大学数学与计算科学学院思考题解答:(1)(2)21湘潭大学数学与计算科学学院思路:闭合非闭闭合非闭补充曲线或用公式22湘潭大学数学与计算科学学院解23湘潭大学数学与计算科学学院解(如下图)24湘潭大学数学与计算科学学院25湘潭大学数学与计算科学学院曲面面积的计算法SDxy26湘潭大学数学与计算科学学院曲顶柱体的表面积如图曲顶柱体，27湘潭大学数学与计算科学学院解由对称性28湘潭大学数学与计算科学学院29湘潭大学数学与计算科学学院(二)、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面30湘潭大学数学与计算科学学院思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分的特例.2)设曲面问下列等式是否成立?

不对!对坐标的积分与的侧有关31湘潭大学数学与计算科学学院2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化32湘潭大学数学与计算科学学院例6解利用两类曲面积分之间的关系33湘潭大学数学与计算科学学院34湘潭大学数学与计算科学学院向量点积法35湘潭大学数学与计算科学学院例7解利用向量点积法36湘潭大学数学与计算科学学院37湘潭大学数学与计算科学学院解(如下图)38湘潭大学数学与计算科学学院39湘潭大学数学与计算科学学院40湘潭大学数学与计算科学学院例9.证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证设为简单闭曲面,a

为任意固定向量,n为的41湘潭大学数学与计算科学学院例10.计算曲面积分其中,解:思考:本题改为椭球面时,应如何计算?提示:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.42湘潭大学数学与计算科学学院例11.设是曲面解:取足够小的正数,

作曲面取下侧

使其包在内,为xoy平面上夹于之间的部分,且取下侧,取上侧,计算则43湘潭大学数学与计算科学学院第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得44湘潭大学数学与计算科学学院例12.计算曲面积分中是球面解:利用对称性用重心公式45湘潭大学数学与计算科学学院例13.设L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记为平面上

L所围部分的上侧,D为在xoy面上的投影.由斯托克斯公式46湘潭大学数学与计算科学学院D的形心47湘潭大学数学与计算科学学院测验题48湘潭大学数学与计算科学学院