弹性力学课件第七章空间问题基本理论

弹性力学课件第七章空间问题基本理论第一页，共九十九页，2022年，8月28日目录一、应力与应力张量二、二维应力状态与平衡微分方程三、应力状态的描述四、边界条件五、主应力与应力主方向六、应力球张量和球应力偏张量七、位移与应变的基本关系－几何方程八、应变协调方程九、应力-应变关系十、弹性力学边值问题第二页，共九十九页，2022年，8月28日一、应力与应力张量内力——外界因素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力。附加内力应力应力矢量pn随截面的法线方向n的方向改变而变化第三页，共九十九页，2022年，8月28日应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。显然，弹性体内某确定点各个截面的应力——应力状态必然存在一定的关系。应力状态分析——讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。应力状态对于结构强度是十分重要的。准确描述应力状态，合理的应力参数。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。第四页，共九十九页，2022年，8月28日应力矢量沿坐标分解——没有工程意义正应力和切应力正应力s

n与切应力tn

与结构强度关系密切根据截面方位不能完全确定切应力应力分量——应力张量应力张量可以描述一点应力状态第五页，共九十九页，2022年，8月28日应力张量应该注意——应力分量是标量箭头仅是说明方向第六页，共九十九页，2022年，8月28日二、平衡微分方程平衡物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论一点的平衡。微分平行六面体单元第七页，共九十九页，2022年，8月28日平衡微分方程切应力互等定理

第八页，共九十九页，2022年，8月28日三、应力状态如果应力张量能够描述一点的应力状态，则应力张量可以描述其它应力参数；坐标变换与应力张量关系；最大应力及其方位的确定。第九页，共九十九页，2022年，8月28日公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。当然可以确定正应力s

n与切应力tn。应力矢量与应力分量的关系第十页，共九十九页，2022年，8月28日应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位改变而变化。同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。讨论应力分量在坐标变换时的变化规律。第十一页，共九十九页，2022年，8月28日任意斜截面的应力转轴公式——应力分量满足张量变化规则应力张量为二阶对称张量转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。应力张量可以确定一点的应力状态。坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是作为整体所描述的应力状态没有变化。第十二页，共九十九页，2022年，8月28日平面应力状态转轴公式——弹性力学以坐标系定义应力分量；材料力学以变形效应定义应力分量。 正应力二者定义没有差异 而切应力定义方向不同第十三页，共九十九页，2022年，8月28日四、边界条件弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。边界面力已知——面力边界Ss

面力边界条件——确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。第十四页，共九十九页，2022年，8月28日面力边界条件描述弹性体表面的平衡，平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。这种平衡只是静力学可能的平衡。真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。第十五页，共九十九页，2022年，8月28日位移边界条件边界位移已知——位移边界Su

位移边界条件就是弹性体表面的变形协调弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等

第十六页，共九十九页，2022年，8月28日混合边界条件弹性体边界

S＝Ss＋Su部分边界位移已知——位移边界Su

部分边界面力已知——面力边界Ss不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，任意边界的边界条件数必须等于3个。第十七页，共九十九页，2022年，8月28日五、主应力与应力主方向转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律结构强度分析需要简化和有效的参数——最大正应力、最大切应力以及方位主应力和主平面——应力状态分析重要参数应力不变量——进一步探讨应力状态第十八页，共九十九页，2022年，8月28日主应力和主平面主应力分析关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即展开第十九页，共九十九页，2022年，8月28日其中：主元之和代数主子式之和应力张量元素构成的行列式主应力特征方程第二十页，共九十九页，2022年，8月28日应力状态特征方程——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。I1、I2、I3

分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。第二十一页，共九十九页，2022年，8月28日特征方程有三个实数根s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个主应力。对于应力主方向，将s1，s2，s3分别代入和

l2+m2+n2=1则可求应力主方向。第二十二页，共九十九页，2022年，8月28日主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。任意一点三个应力主方向是相互垂直的——三个应力主轴正交的。应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。不变性实数性正交性第二十三页，共九十九页，2022年，8月28日主应力正交性证明：下面证明下述结论：1.

若s1≠s2≠s3，特征方程无重根；

应力主轴必然相互垂直；2.

若s1＝s2≠s3，特征方程有两重根；

s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3.

若s1=s2=s3，特征方程有三重根；三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。第二十四页，共九十九页，2022年，8月28日分别乘以l2，m2，n2

分别乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得设s1，s2，s3

的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则

第二十五页，共九十九页，2022年，8月28日如果

s1≠s2≠s33个应力主方向相互垂直如果

s1=s2≠s3可以等于零，也可以不等于零。s3与s1和s2的方向垂直，而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。s3的垂直方向都是s1和s2的应力主向。第二十六页，共九十九页，2022年，8月28日如果

s1=s2=s3则

l1l2+m1m2+n1n2

l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3

均可为零或者不为零。任何方向都是应力主方向。

因此问题可证。1.若s1≠s2≠s3，应力主轴必然相互垂直；2.若s1＝s2≠s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直；3.

若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。第二十七页，共九十九页，2022年，8月28日主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；最大切应力的确定。讨论任意截面正应力和切应力的变化趋势——应力圆。最大切应力以及方位的确定。第二十八页，共九十九页，2022年，8月28日正应力和切应力分析123应力圆最大切应力方位第二十九页，共九十九页，2022年，8月28日六、应力球张量和应力偏张量应力张量的分解应力球量改变单元体体积，应力偏量改变单元体形状。

第三十页，共九十九页，2022年，8月28日八面体单元第三十一页，共九十九页，2022年，8月28日七、几何方程1、变形与应变概念由于外部因素——载荷或温度变化或基础沉降位移——物体内部各点空间位置发生变化位移形式刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。第三十二页，共九十九页，2022年，8月28日位移u，v，w是单值连续函数进一步分析位移函数具有连续的三阶导数一点的变形通过微分六面体单元描述微分单元体的变形，分为两部分讨论正应变——棱边的伸长和缩短

切应变——棱边之间夹角（直角）改变第三十三页，共九十九页，2022年，8月28日几何方程又称柯西方程微分线段伸长——正应变大于零微分线段夹角缩小——切应变分量大于零2、几何方程

位移分量和应变分量之间的关系第三十四页，共九十九页，2022年，8月28日几何方程——位移导数表示的应变应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形原因是没有考虑单元体位置的改变——单元体的刚体转动

刚性位移可以分解为平动与转动刚性转动——变形位移的一部分，但是不产生变形。第三十五页，共九十九页，2022年，8月28日微分单元体的刚性转动与协调相关转动矢量描述微分单元体的刚性转动转动分量

刚体转动位移增量变形位移增量位移增量是由两部分组成的第三十六页，共九十九页，2022年，8月28日3、主应变与主应变方向变形通过应变描述应变状态——坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。应变分量的转轴公式应变张量第三十七页，共九十九页，2022年，8月28日应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。主应变与应变主轴应变主轴——切应变为0的方向主应变——应变主轴方向的正应变第三十八页，共九十九页，2022年，8月28日应变状态特征方程l，m，n齐次线性方程组非零解的条件为方程系数行列式的值为零

展开主应变确定 ——应变主轴方向变形第三十九页，共九十九页，2022年，8月28日4、应变不变量第一，第二和第三应变不变量一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。应变不变量就是应变状态性质的表现第四十页，共九十九页，2022年，8月28日应力张量——应变张量应力不变量——应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的公式比较第四十一页，共九十九页，2022年，8月28日5、体积应变——弹性体一点体积的改变量引入体积应变有助于简化公式解释第四十二页，共九十九页，2022年，8月28日八、应变协调方程数学意义：使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。几何方程——6个应变分量通过3个位移分量描述力学意义——变形连续弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束第四十三页，共九十九页，2022年，8月28日例3-1设ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。解：显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。

第四十四页，共九十九页，2022年，8月28日将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和

x求二阶偏导数，然后相加可得第四十五页，共九十九页，2022年，8月28日对x求一阶偏导数，则

分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式

将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则第四十六页，共九十九页，2022年，8月28日应变协调方程——圣维南（SaintVenant）方程

第四十七页，共九十九页，2022年，8月28日变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。

第四十八页，共九十九页，2022年，8月28日证明——应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。目标——如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。利用位移和转动分量的全微分，则轮换x,y,z，可得du，dv和dwy，dwz

第四十九页，共九十九页，2022年，8月28日如通过积分，计算出

是单值连续的，则问题可证。

保证单值连续的条件是积分与积分路径无关第五十页，共九十九页，2022年，8月28日根据格林公式回代第五十一页，共九十九页，2022年，8月28日回代到第四式

wx单值连续的必要与充分条件是

同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式——变形协调方程。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。

第五十二页，共九十九页，2022年，8月28日变形协调方程——单连通域位移单值连续的必要和充分条件多连通域位移单值连续的必要条件充分条件是位移的连续补充条件第五十三页，共九十九页，2022年，8月28日位移边界条件应变满足变形协调方程，保证弹性体内部的变形单值连续。边界变形协调要求边界位移满足位移边界条件。位移边界条件——临近表面的位移或和变形与已知边界位移或变形相等。第五十四页，共九十九页，2022年，8月28日如果物体表面的位移已知，称为位移边界位移边界用Su表示。如果物体表面的位移已知边界条件为称为位移边界条件第五十五页，共九十九页，2022年，8月28日设物体表面为S位移已知边界Su面力已知边界Ss则S＝Su＋Ss弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。任意一段边界，可以是面力边界，或者位移边界。面力边界和位移边界在一定条件下是可以转换的，例如静定问题。第五十六页，共九十九页，2022年，8月28日某某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，这种边界条件称为混合边界条件。不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。第五十七页，共九十九页，2022年，8月28日九、应力应变关系静力平衡和几何变形通过具体物体的材料性质相联系材料的应力应变的内在联系材料固有特性，因此称为物理方程或者本构关系第五十八页，共九十九页，2022年，8月28日1、广义胡克定义应力应变关系属于材料性能称为物理方程或者本构方程单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定复杂应力状态难以通过实验确定第五十九页，共九十九页，2022年，8月28日广义胡克定理——材料应力应变一般关系工程材料，应力应变关系受到一定的限制一般金属材料为各向同性材料复合材料在工程中的应用日益广泛第六十页，共九十九页，2022年，8月28日弹性体变形过程的功与能外力作用——弹性体变形——变形过程外力作功——弹性体内的能量也发生变化能量守恒是一个物理学重要原理利用能量原理可以使得问题分析简化能量原理的推导是多样的，本节使用热力学原理推导。第六十一页，共九十九页，2022年，8月28日根据热力学概念绝热过程格林公式等温过程弹性体的应变能函数表达式内能等于应变能第六十二页，共九十九页，2022年，8月28日——金属材料完全各向异性弹性对称面一个弹性对称面21个弹性常数13个弹性常数工程材料各向同性材料各向异性材料第六十三页，共九十九页，2022年，8月28日两个弹性对称面9个弹性常数相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，第三个必为弹性对称面拉压与剪切变形不同平面内的剪切之间没有耦合作用称为正交各向异性

正应力仅与正应变有关；切应力仅与对应的切应变有关。第六十四页，共九十九页，2022年，8月28日各向同性弹性体物理意义——物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。数学反映——应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。金属材料——各向同性弹性体，是最常见的工程材料。弹性力学主要讨论各向同性材料。第六十五页，共九十九页，2022年，8月28日根据正交各向异性本构关系1）各向同性材料沿x，y和z座标轴的的弹性性质相同；2）弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关

各向同性材料广义胡克（Hooke）定理l,m称为拉梅（Lame）弹性常数第六十六页，共九十九页，2022年，8月28日应力表示本构方程E为弹性模量G为剪切弹性模量v为横向变形系数——泊松比2、拉梅常量与工程弹性常数第六十七页，共九十九页，2022年，8月28日杨泊松第六十八页，共九十九页，2022年，8月28日工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为两个独立的弹性常数实验测定：单向拉伸实验可以测出弹性模量E薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G第六十九页，共九十九页，2022年，8月28日各向同性材料主应力状态——对应的切应力分量均为零。 所有的切应变分量也为零。所以，各向同性弹性体

应力主轴同时又是应变主轴 应力主方向和应变主方向是重合的

以应力主轴为坐标轴，则对应的切应力分量均应为零。第七十页，共九十九页，2022年，8月28日3、弹性体的应变能函数应变表示的应变能函数应变能第七十一页，共九十九页，2022年，8月28日应力表示的应变能函数泊松比n恒小于1，所以U0恒大于零。单位体积的应变能总是正的。

第七十二页，共九十九页，2022年，8月28日第五章弹性力学边值问题本章任务总结对弹性力学基本方程讨论求解弹性力学问题的方法第七十三页，共九十九页，2022年，8月28日目录§10.1弹性力学基本方程§10.2问题的提法§10.3弹性力学问题的基本解法解的唯一性§10.4圣维南局部影响原理§10.5叠加原理第七十四页，共九十九页，2022年，8月28日§10.1

弹性力学基本方程总结弹性力学基本理论；讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。第七十五页，共九十九页，2022年，8月28日弹性力学基本方程1.平衡微分方程2.几何方程

第七十六页，共九十九页，2022年，8月28日3.变形协调方程位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。第七十七页，共九十九页，2022年，8月28日本构方程——广义胡克定律 应力表示

应变表示

基本方程：平衡微分方程；几何方程和本构方程以及变形协调方程。第七十八页，共九十九页，2022年，8月28日边界条件若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知则面力边界条件为：若物体表面的位移已知，则位移边界条件为

若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件第七十九页，共九十九页，2022年，8月28日

总结：弹性力学基本方程和边界条件第八十页，共九十九页，2022年，8月28日弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。§10.2

问题的提法第八十一页，共九十九页，2022年，8月28日在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz，边界条件为面力边界条件。第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。第八十二页，共九十九页，2022年，8月28日第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。第八十三页，共九十九页，2022年，8月28日位移解法

——以位移函数作为基本未知量应力解法

——以应力函数作为基本未知量混合解法

——以部分位移和部分应力分量作为基本未知量第八十四页，共九十九页，2022年，8月28日§10.3

弹性力学问题基本解法解的唯一性选取位移函数作为基本未知量求解的方法称为位移解法。主要工作：利用位移函数u,v,w表达其他未知量；推导位移函数描述的基本方程——位移表达的平衡微分方程第八十五页，共九十九页，2022年，8月28日位移解法的基本未知量为3个位移函数基本方程为3个拉梅方程对于位移边界条件，位移解法是十分的合适的。第八十六页，共九十九页，2022年，8月28日但是位移函数表达的面力边界条件十分繁杂这一边界条件几乎不可能实现

第八十七页，共九十九页，2022年，8月28日总之，位移解法以位移为基本未知函数，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。

第八十八页，共九十九页，2022年，8月28日应力函数作为基本未知量求解的方法称为应力解法应力解法的基本方程

1.平衡微分方程

2.变形协调方程应力解法综述第八十九页，共九十九页，2022年，8月28日应力解法的基本未知量为6个应力分量；基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程。应力解法适