第06章 观测误差理论

工程测量西北农林科技大学第六章观测误差理论6.1观测误差6.2评定精度的标准6.3观测值函数的中误差6.4等精度观测值的平差6.5误差传播定律在测量中的应用6.1观测误差

前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器(经纬仪、水准仪、全站仪），要由人进行操作，要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数据不准确，即数据中有误差。

例如：1）、距离测量误差

2）、角度测量误差

3）、高差测量误差

观测误差ABD往D返理论上：

D往=

D返

实测中：D往≠

D返1）距离测量误差测量上一般要求:D往-

D返/D≦1/K(K=2000,4000,…..),测量成果才合格.观测误差ABC理论上：∠A+∠B+∠C=180实测中：A+∠B+∠C≠180理论上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4=360实测中：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4≠360L2L3L4ABCDL12）角度测量误差观测误差理论上：hAB+hBA=0

实测中：hAB+hBA≠03）高差测量误差ABP1P4P3P2h1h3h2h4理论上：h1+h2+h3+h4=0

实测中：h1+h2+h3+h4≠0观测误差一、观测误差产生的原因

观测条件二、观测误差的种类①系统误差②偶然误差③粗差三、偶然误差的特性观测误差1、观测误差：指被观测值(或其函数)与未知量的真实值(或函数的理论值)间的差值。观测误差=观测值-真值

一般用符号△表示。即：△=L观–L理

=L-X

一、观测误差及其产生的原因真值：代表观测值L真正大小的数值，用X表示。真误差:观测值L与真值X之间的差值，用△表示。

△

=L–X真误差观测值真值观测误差测量上真值如何得到:△=(D往-

D返)–0

△=(A+B+C)–180△=(L1+L2+L3+L4)–360

△=(hAB+hBA)–0△=(h1+h2+

h1+h2)–0一、测量误差的来源（1）测量仪器：仪器构造上无法达到理论上的要求；例如水准测量时,水准仪的视准轴不水平,会对水准测量结果影响等.（2）观测者：人的感官上的局限性、操作技能、工作态度；

仪器的安置\瞄准\读数（3）外界条件：观测时所处的外界环境，如风力、温度、日照、湿度、气压、大气折光等。

仪器、人和环境，总称为观测条件。

2、观测条件观测误差观测成果的精确度称为“精度”。如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人员有相同的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气温、风力、湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件。在相同的观测条件下，由于测量时产生偶然误差的因素大体相同，因此测量所得结果的精度也是相等的，故称此时的测量为同精度观测或等精度观测。观测误差观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。

粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。例：误差处理方法

钢尺尺长误差ld计算改正钢尺温度误差lt

计算改正

水准仪视准轴误差I操作时抵消(前后视等距)

经纬仪视准轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平均)

…………2.系统误差

——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。●系统误差可以消除或减弱。

(计算改正、观测方法、仪器检校)测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差1.粗差(错误)——超限的误差测量误差的分类3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。

●准确度(测量成果与真值的差异）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●测量平差（求解最或是值并评定精度）4.几个概念:

●精（密）度（观测值之间的离散程度）测量误差的分类1．系统误差在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它的符号和大小又具有一定的规律性，一般可采用下列方法消除或减弱其影响。

（1）进行计算改正

（2）选择适当的观测方法（3）检验校正仪器测量误差的分类例如：1）、钢尺量距，钢尺的名义长度为30m，而鉴定后的际长度为30.006m,测量时,每量一个整尺,就比实际长度小0.006m,这种误差的大小与所量的直线长度成正比,而且正负号始终一致.系统误差测量误差的分类例如：2）、定线误差:

传统的距离测量中,距离较长,需要进行分段丈量.必须进行直线定线.LAB-SAB>0

系统误差即当直线距离超过一个尺段时，需进行直线定线.LABSABiABSASB水准管轴视准轴b1biSA=SB时，△hAB=0aa1总结:系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱.例如：3）、水准仪i角对测量高差的影响测量误差的分类如：1)、距离测量D9.59.49.79.59.69.39.29.6

0.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567Δ

No测量误差的分类2．偶然误差

在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。1.71.61.51.591中丝读数：1.5921.593例如:2）、读数误差(水准测量)例如:3）、照准误差例如:4）、整平误差测量误差的分类通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的最可靠值。总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。测量误差的分类偶然误差观测值与真值之差定义：真误差AMPMh时m偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。观测值真值观测误差【例】在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。ＡｉＢｉＣｉ三角形内角和真误差:△ｉ＝∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180i=1,2,3…..217

观测误差绝对值较小的误差比绝对值较大的误差个数多；绝对值相等的正负误差的个数大致相等；最大误差不超过27″。结果分析(vi/n)/3△误差分布曲线-27-24-21-18-15-12-9-6-30369121518212427(vi/n)△每一误差区间上方的长方形面积，代表误差出现在该区间的相对个数直方图1、

愈小，愈大。有最大值

△当△=0时横轴是曲线的渐近线，这就是超限数为零、小误差大概率2、

是偶函数。对称性曲线有两个拐点，横坐标为：当愈大时，曲线愈平缓，误差分布比较分散当愈小时，曲线愈陡峭，误差分布比较集中观测误差通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当观测次数足够多时，可以得出偶然误差具有以下的规律性：1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值-----超限数为零；有限性2、绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大

-----小误差大概率：集中性3、绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等

-----正负相等；对称性4、当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零

----平均理论。抵偿性其中观测误差6.2评定精度的标准1、中误差:在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个观测值都称为同精度的观测值。即每个观测值的真差不同，但中误差是相同的。

例：2010级的某班的3个小组，在相同观测条件下进行四等水准测量。第1个小组测得闭合差为+2mm,第2个小组测得闭合差为-6mm,第三个小组测得闭合差为0。试判断哪一组观测精度高？结论：精度相同精度指的是一组观测值误差分布的密集或分散的程度。评定精度的标准设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：甲组：0″+2″+1″-3″+4″+3″-2″-1″+2″-4″乙组：-1″+2″-6″0″-1″+7″+1″0″-3″-1″例：试计算甲、乙两组各自的观测精度。说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高

小，精度高

大，精度低观测条件误差分布观测值精度中误差评定精度的标准m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：中误差所代表的是某一组观测值的精度。2、容许误差（限差）通常取标准差的两倍（或三倍）作为观测值的容许误差。实际中常用中误差代替标准差。即或评定精度的标准极限作用：区别误差和错误的界线

P(||m)=0.683=68.3出现机会（31.7%）P(||2m)=0.954=95.4出现机会（4.6%）P(||3m)=0.997=99.7出现机会（0.3%）结论：精度不相同3、相对误差通常是用来衡量和距离有关的观测量的精度的好坏。例:测量两条直线，一条100m，另一条30m，其中误差均为±10mm试问两条直线的观测精度相同吗？哪条直线的观测精度高？100m的直线的观测精度高相对中误差，相对真误差和相对极限误差。评定精度的标准6.3观测值函数的中误差问题的提出：在上节讨论了如何根据同精度的观测值的真误差来评定观测值精度的问题。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误差而去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的关系的定律称为误差传播定律。

观测值函数的中误差

设未知量

z与

n个独立观测值x1,x2,…xn之间有如下的函数关系式：1、一般函数xi的真误差xi引起z产生真误差z

则：为独立观测值xi均是小量，上式按泰勒级数展开，并舍去二次及以上诸项，两边平方后求和除以N：得：

观测值函数的中误差由偶然误差的抵偿性知：上式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：结论：

各独立观测值任意函数的中误差的平方，等于该任意函数对各观测值的偏导函数值与该观测值中误差乘积的平方和。该式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。观测值函数的中误差求任意函数中误差的四个步骤：1、列出函数关系式：z=f(x1,x2,…xn)4、转换为中误差表达式并求其值3、列出函数真误差表达式：2、求函数对各观测值的偏导函数值：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值;单位要统一。观测值函数的中误差例：某建筑场地已划定为长方形，独立地测定其长和宽分别为a=30.000m、b=15.000m,其中误差分别为ma=±0.005m、mb=±0.003m，求该场地面积A及其中误差mA。解；2、求函数对各观测值的偏导函数3、列出函数的真误差表达式4、转换为中误差表达式并求其值

1、列出函数式A=a*b观测值函数的中误差二.几种常用函数的中误差

1.倍数函数的中误差：设有函数式

全微分

得中误差式(x为观测值，K为x的系数)观测值函数的中误差例：量得1:1000地形图上两点间长度l

=168.5mm0.2mm,

计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：列函数式求全微分中误差式观测值函数的中误差2.线性函数的中误差

设有函数式

全微分

中误差式观测值函数的中误差例：设有某线性函数其中：

x1、x2

、x3分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差mz。

解：对上式全微分：由中误差式得：观测值函数的中误差函数式

全微分

中误差式3.算术平均值的中误差式

观测值函数的中误差由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。观测值函数的中误差4.和或差函数的中误差函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：观测值函数的中误差例：测定A、B间的高差hAB

，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差m=±2mm

，求总高差hAB的中误差mh

。

解：

观测值函数的中误差观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

6.4等精度直接观测平差▓观测值的算术平均值(最或是值)▓用观测值的改正数v计算观测值的中误差

(即:白塞尔公式)▓算术平均值的相对中误差

等精度直接观测平差

一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：上式等号两边分别相加得和：等精度直接观测平差当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X[]0)(limlim=-=D¥®¥®XLnnn等精度直接观测平差观测值改正数特点二.观测值的改正数v

：

以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数v，符合[vv]=min的“最小二乘原则”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：通常用于计算检核L=

nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv

dx∵(x-)=0nx-=0x=

n等精度直接观测平差精度评定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：三.精度评定——用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：等精度直接观测平差证明如下：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:XlXlXlnn-=D-=D-=DLL2211等精度直接观测平差改正数真误差证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:等精度直接观测平差解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例1：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。次数观测值VVV备注176°42′49″-416276°42′40″+525376°42′42″+39476°42′46″-11576°42′48″-39平均76°42′45″[V]=0[VV]=6076°42′45″

±1.74″等精度直接观测平差

例6-2某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。测次

观测值/m观测值改正数v/mmvv

计算123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046距离丈量精度计算例算例3：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测