空间任意力系的简化

第3章空间任意力系1工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。

(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；

(b)图中去了风力为空间平行力系。迎面风力侧面风力b§3-1.空间任意力系的实例2一、定义为了度量力使物体绕轴转动的效应，引用力对轴的矩。图示门，求力对z（矩轴）的矩。z将力分解：§3-2

力对轴的矩AOd∥z轴⊥z

轴Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyd

=2OA’B’面积

于是：3即力

与轴共面时，力对轴之矩为零。结论：力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的分力对此轴与这个平面交点的矩。（1）力对轴的矩是代数量。正负号规定：右手螺旋法则。（2）若力与轴空间垂直，则无须分解。（3）若//z

轴与z轴相交（4）力沿作用线移动，力对轴的矩不变。说明:4zabFxydMo(F)PoBAF|Mo(F)|=2OAB面积Mz(F)=

Fxyd

=2oab面积

二、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系oab面积=OAB面积cos2oab面积=2OAB面积Mz(F)=|Mo(F)|cos

Mz(F)=Moz(F)cos力对任一点的力矩矢在对过此点的任一轴上的投影,等于此力对该轴的矩.5沿坐标轴的正向引入单位矢量i,j,kMo(F)=iMox(F)+jMoy(F)+kMoz(F)=iMx(F)+jMy(F)+k

Mz(F)则:yMo(F)PoBAFxz6Mx(F)=Mx(Fi)My(F)=My(Fi)Mz(F)=Mz(Fi)合力矩定理:力对任一轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。7力对轴的矩的计算方法：（1）定义法；（2）合力矩定理。[例3-1]已知P=20N，求P

对z轴的矩。解：方法一：定义法8例题3-2.设曲杆OABD位于同一平面内,且OA垂直于AB,AB垂直于BD,如图所示.在曲杆D点上作用一力P,其大小为p=2kN.力P位于垂直于BD的平面内,且于竖直线成夹角=30o.求力P分别对图示直角坐标轴的矩.xzyoABD3cm4cm5cmP9PxzyoABD3cm4cm5cm解:根据力对轴的矩的定义计算M1oPyzd1作和x轴垂直的平面M1.找出交点O.确定力P在平面M1内的分力Pyz=1.732kN.在平面M1内确定力Pyz到矩心O的距离即力臂d1=8cm计算力Pyz对点A的矩亦即力P对x轴的矩Mx(P)=Mo(Pyz)=-Pyz

d1=-13.86kN·cm

10作和y轴垂直的平面M2.PxzyoABD3cm4cm5cm确定力P在平面M2内的分力Pxz=P=2kN.在平面M2内确定力Pxz到矩心O的距离即力臂d2=3.464cm计算力Pxz对点O的矩亦即力P对y轴的矩My(P)=Mo(Pxz)=-Pxz

d2=-6.928kN·cm

M2Pd2亦可用合力矩定理计算:My(P)=Mo(Pz)=-Pz

d=-6.928kN·cm

找出交点O.o11PxzyoABD3cm4cm5cm作和z轴垂直的平面M3.o找出交点O.确定力P在平面M3内的分力Pxy=1kN.在平面M3内确定力P到矩心O的距离即力臂d3=8cm计算力Pxy对点O的矩亦即力P对z轴的矩Mz(P)=Mo(Pxy)=-Pxy

d2=-8kN·cm

PxyM3d212例题3-3.力F作用在边长为a的立方体上如图所示.求力F对各轴之矩.oABCB'C'A'O'F13解:oABCB'C'A'O'F力F的作用线与AO,A'O´,BC平行.与B'C'重合.MAO(F)=MA'O'(F)=MBC(F)=MB'C'(F)=014力F的作用线与A'B',oABCB'C'A'O'FC'O',BB'和CC'相交.MA'B'(F)=MC'O'(F)=MBB'(F)=MCC'(F)=015求力F对AA'

、OO'

、A´A

和O´O轴之矩.MAA'(F)=MOO'(F)=aFMA'A(F)=MO'O(F)=-aFoABCB'C'A'O'F16求力F对AB、OC、BA和CO轴之矩.MAB(F)=-aFMBA(F)=aFoACC'A'O'B'FBMOC(F)=-aFMCO(F)=aF17§3-4.空间任意力系向一点的简化(1)主矢与主矩力线平移定理:作用于刚体上的一力F,可以平行移动到刚体上的任一点O.但必须同时在此力线与O所决定的平面内附加一力偶,此附加力偶矢的大小和方向等于力F对O点的矩矢的大小和方向.设一刚体受空间任意力系F1,F2…Fn作用,各力作用点分别为A1,A2…An

.18在刚体内任取一点O为简化中心,应用力线平移定理,依次将各力平移到点O即得到一个作用于简化中心O的空间汇交力系

F'1

,

F'2

…F'n和一个由力偶矩矢分别为M1,M2…Mn的附加力偶所组成的空间力偶系.A1A2AnF1F2FnOxyzM1M2MnF'1F'2F'nOxyz19其中:F'1=F1,F'2=F2,…,F'n=FnM1

=

Mo(F1),M2

=

Mo(F2),…,

Mn

=

Mo(Fn)

空间汇交力系F1,F2…Fn可合成为作用在O点的一个力矢量FR',称为原力系的主矢.FR'=F'i=Fi由力偶矩矢分别为M1,M2…Mn

的附加力偶所组成的空间力偶系可合成为一个力偶,其力偶矩矢Mo称为原力系对简化中心的主矩.Mo=Mi=mo(Fi)20

结论:空间任意力系向任一点简化,一般可得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,它的矢量称为原力系的主矢,并等于这力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩矢等于原力系中各力对简化中心的矩的矢量和,并称为原力系对简化中心的主矩.主矢FR'只取决于原力系中各力的大小和方向,与简化中心的位置无关;而主矩Mo

的大小和方向都与简化中心的位置有关.21(2)主矢与主矩的解析表达式FR'=iFR'x+jFR'y+kFR'zFR'x=FixFR'y=FiyFR'z=FizMo

=i

Mox+j

Moy+k

Moz=iMox(Fi)+j

Moy(Fi)+k

Moz(Fi)§3-5.空间任意力系简化结果的几种情形(1)FR'=0,Mo=0原力系平衡.(2)FR'

0,Mo=0原力系的最后简化结果为作用于简化中心的一个力FR',即原力系的合力FR.=iMx(Fi)+j

My(Fi)+k

Mz(Fi)22(3)FR=0,Mo

0原力系的最后简化结果为一个力偶,其力偶矩矢为Mo.此时主矩Mo与简化中心的位置无关.(4)FR'

0,Mo

0这是简化结果的最一般情形.(a)FR'

Mo=0原力系的最后简化结果为作用于O'点的一个合力FR

=

FR'.且OO'=Mo/FR'(c)FR'Mo

0原力系的最后简化结果为由一个力和一个力偶所组成的力系即力螺旋.FR'

Mo

0为右螺旋.FR'

Mo

0为左螺旋.(b)FR'平行

Mo

时，简化结果是力螺旋。23空间力系的合力矩定理:空间力系如能合成一个合力,则其合力对任一点之矩,等于力系中各力对同一点之矩的矢量和.Mo(FR)=Mo(Fi)Mx(FR)=Mx(Fi)My(FR)=My(Fi)Mz(FR)=Mz(Fi)FR'MoO(

FR'Mo

0

)FR'MoO(

FR'Mo

0

)合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。24例题3-3.边长1m的正方体的AB边上作用一力F=10kN,在面A'B'C'O'上作用一力偶矩m=5kN.m的力偶.如图所示.求最后的简化结果.解:取O为简化中心并建立坐标.oABCB'C'A'O'Fmxyz25计算主矢和主矩Mo

=Mo(F)+m=-5kFR'

Mo

=(-10j)(-5k)=0FoABCB'C'A'O'xyzO'FR=

F=-10jFR'=F=-10j确定最后简化结果26例题3-4.边长为2m的正方体两侧面AOO‘A’和BCC‘B’

上分别作用大小均等于10kN的力F和F‘.如图所示.求最后的简化结果.oABCB'C'A'O'FF'xy