第六章概率分析

第六章概率分布后验概率随机事件A的频率：对随机事件进行n次观测，其中某一事件A出现的次数m与观测次数n的比值。当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在一个常数P，这个常数就是随机事件A的概率。因这种概率是由随机事件A出现的次数决定，故称后验概率或统计概率。先验概率古典概率模型要求满足两个条件：①试验的所有可能结果是有限的；②每一个基本事件出现的可能性相等。如果基本事件的总数为n，事件A包括m个基本事件，则事件A的概率为：概率的公理系统1．任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间的正数，即：0≤P（A）≤12．不可能事件的概率等于零，即：P（A）=03．必然事件的概率等于1，即：P（A）=1概率接近1的事件发生的可能性较大，而概率接近0的事件发生的可能性较小。概率的加法定理互不相容事件：若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生。两互不相容事件和的概率等于这两个事件概率之和：概率的乘法定理互相独立事件：事件Ａ发生不影响事件Ｂ是否发生。两互相独立事件积的概率等于两事件概率的积：例1：去掉大小王牌，从52张扑克牌中有放回的抽两张牌，即抽完第一张以后将所抽的牌再放回去，混合好后再抽第二张。问第一次抽取红桃K第二次抽取方块K的概率是多少？第一次抽取红桃，第二次抽取方块的概率是多少？例2：某一学生从５个试题中任意抽取一题，进行口试。如果抽到每一题的概率为1／5，则抽到试题１或试题２的概率是多少？如果前一个学生把抽过的试题还回后，后一个学生再抽，则４个学生都抽到试题1的概率是多少？例3：从30个白球和20个黑球共50个球中随机抽取两次（放回抽样），问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少？分析：包括两种情况：先抽一黑球、后抽一白球；先抽一白球、后抽一黑球。例4一枚硬币掷3次，或三枚硬币各掷一次，问出现两次或两次以上H的概率是多少？解：可能出现的情况有：HHHHHTHTHTHHTTHTHTHTTTTT共8种。每种情况出现的概率，为则：P（HHH)+P(HHT)+P(HTH)+P(THH)=概率分布概率分布是指对随机变量取不同值时的概率的描述，一般用概率分布函数进行描述。只有了解随机变量的概率分布，才能使统计推论成为可能。离散随机变量与连续随机变量根据随机变量的取值是否连续，可将随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量。当随机变量只取孤立的数值，这种随机变量称为离散型随机变量。如投掷一枚硬币4次，几次正面朝上？因取值只能为0、1、2、3、4，故为离散型随机变量。离散分布与连续分布离散型随机变量的概率分布称作离散分布。连续分布是指连续型随机变量的概率分布，即测量数据的概率分布。心理统计学中最常用的连续型分布是正态分布。考察间断型随机变量，可以讲某个值以多大的概率出现，而对于连续型随机变量，这样讲是没有意义的，因为它的取值个数是无限的，这时我们只能讲取值在某个区间的概率是多少。经验分布与理论分布经验分布是指根据观察或实验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。经验分布往往是总体的一个样本。理论分布是按照随机变量概率分布函数（数学模型）计算出的概率分布。

经验分布与理论分布身高分组f0fe169-166-163-160-157-154-151-148-145-142-139-272257110124112802584172460104130114703192实际次数的分布为经验分布理论次数的分布为理论分布基本随机变量分布与抽样分布前者其分布主体为：基本随机变量；后者其分布主体为样本统计量。正态分布连续型随机变量概率分布的一种，是在数理统计的理论与实际应用中占最重要地位的一种理论分布。由棣．莫弗于1733年发现；拉普拉斯、高斯也做出了贡献，故又称高斯分布。正态分布函数正态分布曲线标准正态分布函数标准正态分布曲线以Ｚ为横坐标，Ｙ为纵坐标绘制的曲线。Ｙ为概率密度，曲线下的面积为概率。标准正态分布曲线的特点正态分布表的特点表中仅列有标准正态曲线下的面积，查表前应先将原始变量Ｘ转换为Ｚ。表中所列面积数据P，是从Ｚ＝０到某一正的Ｚ值之间的面积。正态分布表的使用：已知Z值求P①求Ｚ＝0至某一正的Ｚ值之间的概率：直接查表；②求两个Ｚ值之间的概率，两Ｚ值符号相同；③求两个Ｚ值之间的概率，两Ｚ值符号相反；④求某一Z值以上的概率，当Z＞0时；⑤求某一Z值以上的概率，当Z<0时；⑥求某一Z值以下的概率，当Z＞0时；⑦求某一Z值以下的概率，当Z<0时。正态分布表的使用：已知P值求Z①已知Z＝0到Z=Z0之间的面积，直接查表得Z；②已知Z＝-Z0到Z=0之间的面积，查得Z前加上负号；③已知曲线右侧尾端面积，怎样求Z?④已知曲线左侧侧尾端面积，怎样求Z?⑤已知正态曲线下中央部位面积怎样求Z?习题：考研真题1、在人格测验上的分数形成正态分布一个随机样本n=16，其均值大于85的概率是（）。2、某班200人的考试成绩呈正态分布，其平均数为12，标准差为4。则成绩在8分和16分之间的人数占全部人数的（）A.34.13B.68.26C.90%D.95%考研真题3、正态分布是由（）于1733年发现的。A.高斯B.拉普拉斯C.莫弗D.高赛特4、从n=200的学生样本中随机抽样，已知女生伟132人，问每次抽取1人，抽到男生的概率是（）。A.0.66B.0.34C.0.33D.0.17考研真题5、两个骰子掷一次，出现两个相同点数的概率是（）。A.0.17B.0.083C.0.014D.0.0286、依分布函数的来源，可把概率分布划分为（）。A.离散分布B.连续分布C.经验分布D.理论分布正态分布表的应用例1：已知某年级200名学生考试成绩呈正态分布，平均分为85分，标准差为10分，学生甲的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低的学生人数是多少？例2：某次招生考试，学生成绩符合正态分布，平均分数为80分，标准差为10分，要择优录取25%的学生进入高一级学校学习，问最低分数线应是多少分？正态分布表的应用例3：某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛学生200人，平均分为66.78分，标准差为9.19分。某生得80分，他在参赛中排列第几名？正态分布表的应用例4：表1是3位教师对100名学生的学习能力所作等级评定的结果；表2是3名学生从3位教师哪儿获得的评定等级，试将其转化为Z分数。等级教师甲教师乙教师丙A51020B252025C404035D252015E5105总数100100100学生教师甲教师乙教师丙1BAA2ABA3DCC表1表2正态分布表的应用例5：将下表中各测验题的通过率转换为难度分数。测验题号通过率（%）

pZZ+5

1990.49-2.3312.6693950.45-I.6453.3555850.35-1.0353.9657800.30-0.8404.1609700.20-0.5254.4751050005.00011200.300.845.8401350.451.6456.6452510.492.337.330总数100100100正态分布表的应用例6：某年级进行数学能力测验后，拟按数学能力将学生分成5个组。该测验参加人数为300人，平均分为60分，标准差为13.2分，问各组人数及原始分数区间都是怎样的？正态分布表的应用分组组中值fZT140-14282.0170135-13791.5065130-132201.0460125-127290.5756120-122280.1451115-11716-0.1748110-11216-0.4046105-1078-0.5944100-1029-0.734395-978-0.904190-927-1.063985-876-1.253880-826-1.463575-775-1.703370-725-2.1229N=180x=115.14s=17.91①将原始数据整理为次数分布表；②计算各组上限以下累加次数；③计算各组中点以下累加次数；④计算各组中点以下累积比率；⑤查正态分布表，将概率转化为Z分数；⑥将正态化以后的Z值进行线性转换：T=10Z+50次数分布的正态化假设研究对象总体呈正态分布，但由于抽样误差等因素，样本的次数分布不是正态。这时需要按总体将样本分布正态化。这种将样本原始分数分布转换成正态分布，称作次数分布的正态化。次数分布的正态化当样本原始分数不服从正态分布，先将原始分数的频数转化为百分等级，将它视为正态分布的概率，然后通过查正态分布表中概率值相对应的Z值，将其转换为Z分数，达到正态化的目的。T分数（名词解释）T分数是是麦克尔创用的方法：将标准分数扩大10倍再加上