初中数学湘教版七年级下册第4章相交线与平行线4．5垂线 精品获奖

垂线的基本事实及垂线段核心笔记:1.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简单地说成垂线段最短.3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.基础训练1.如图,三角形ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C到直线AB的距离是()A.线段CA的长 B.线段CD的长C.线段AD的长 D.线段AB的长2.下列说法中,正确的有()①同一平面内,互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角;②过平面内任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两条直线相交,所成的角中有两个角相等,则这两条直线互相垂直;④垂线段就是点到直线的距离.个 个 个 个3.同一平面内,过点P作直线AB的垂线可以作()条 条C.无数条 D.不能确定为直线l外一点,B为直线l上一点,点A到l的距离为5cm,则AB___________5cm,其根据是___________.

5.如图,一小孩想牵牛到河边饮水,那么小孩应该如何走才能保证走的路程最短?请你在图中画出他走的路线.6.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,若AC=4,BC=6,BE=5.求:(1)点B到直线AC的距离;(2)点A到直线BC的距离.7.如图,AOB为一条在O处拐弯的河道,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路,哪种方案更经济?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案,并简要说明理由.培优提升1.下列说法正确的有()①两条直线相交构成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线互相垂直;②两条直线相交构成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.个 个 个 个2.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合的理由是()A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.直线l外一点P与直线l上三点所连线段的长度分别为4cm,5cm,6cm,则点P到直线l的距离()A.是4cm B.是5cmC.不超过4cm D.大于6cm4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有()条条条条5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了两点间的距离、点到直线的距离等,类似地,若点P是圆O外一点(如图所示),则点P与圆O的距离应定义为()A.线段PO的长度 B.线段PA的长度C.线段PB的长度 D.线段PC的长度6.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则ABCD.(填“>”“<”或“=”)

7.说出日常生活现象中的数学原理:日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼,你笔直向他走过去两点之间线段最短人去河边打水总是垂直于河边方向走8.按题目要求画图,并回答相关问题.如图,点P是∠AOB内一点,过点P作PM⊥OA,垂足为点M,作PN⊥OB,垂足为点N,通过测量∠MPN和∠O的度数,你能得出什么结论?9.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N为位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中分别画出点P和点Q的位置;(2)当汽车由A向B行驶时,在公路的哪一段上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论)参考答案【基础训练】1.【答案】B2.【答案】B解：正确的是①②,共2个.3.【答案】A4.【答案】≥;垂线段最短5.解:如图所示,从小孩所在的点向河边作垂线段即可.6.解:(1)因为BE⊥AC,垂足为点E,所以线段BE即为点B到直线AC的垂线段,因为BE=5,所以点B到直线AC的距离为5.(2)因为AD⊥BC,垂足为点D,所以线段AD的长度即为点A到直线BC的距离,因为12BC·AD=12AC·BE,所以AD=AC·BEBC=4×57.解:沿PO修路比沿PM修路更经济些,因为P到AO上各点连接的所有线段中,PO是垂线段,垂线段最短.它不是最佳方案,过P作PN⊥OB于N,PN是P到OB的最短路线.因为OP>PN,所以PN是P到河道AOB的最短路线,所以沿PN修路是最佳方案.【培优提升】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：能表示点到直线的距离的线段有:线段AD,BA,CA,BD,CD,共5条.5.【答案】B6.【答案】>7.日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼,你笔直向他走过去两点之间线段最短人去河边打水总是垂直于河边方向走垂线段最短8.解:画图如图所示.结论:∠MPN+∠O=180°.9.解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为点P,过点N作NQ⊥AB,垂足为点Q,则点P,Q就是所要求作的两个点,如图所示.(2)当汽车