第六章二次型及其标准型

第六章二次型§

6.1

二次型及其矩阵表示、合同矩阵

定义6.1.1：含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式

当系数属于数域F时，称为数域F上的一个n元二次型.本章讨论实数域上的n元二次型，简称二次型.令aij=aji，则2

aij

xixj=aij

xixj

+aji

xixj

，于是其中

A=(aij)n×n,x=(x1,x2,···,xn)T

A为对称矩阵，称A为二次型的矩阵，A的秩为二次型的秩.二次型和它的矩阵是互相唯一确定的.即有一个二次型就有唯一的对称矩阵

A；而对称矩阵A对应唯一的二次型.例如，二次型的矩阵是

A是一个对称矩阵.

反之，对称矩阵A所对应的二次型为设

是两个n元变量，则线性变换代入

有

其中

,因此

是以B

为矩阵的y的n元二次型.如果有下面的形状：

我们称为二次型的标准形.

易知，

6.2化二次型为标准形●用配方法化二次型为标准形●用正交变换法化二次型为标准形

化二次型为标准形定理6.2.1

任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形。定理6.2.2

对任意一个n阶实对称矩阵A，都存在可逆矩阵C，使得CTAC=diag(d1,d2,¨,dn)方法一、用配方法把二次型为标准型方法二、用正交变换法把二次型为标准型用正交变换法化二次型为标准形定理6.2.3

对于二次型f(x)=XTAX，一定存在正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY后能够把它化为标准形其中是二次型f(x)的矩阵A的全部特征值。例1

用正交变换把下面的二次型化为标准形，并写出所作的正交变换。解二次型的矩阵为求得A的特征方程为解得特征值为例1

用正交变换把下面的二次型化为标准形，并写出所作的正交变换。解求出使A相似于对角矩阵的正交矩阵为因此，作正交变换X=QY，就可以使二次型化为标准形6.3二次型与对称矩阵的

正定性定义6.3.1

具有对称矩阵A的二次型f(x)=XTAX，如果对于任何X=(x1,x2,¨,xn)T≠0，都有XTAX>0，(或<0)成立，则称f(x)=XTAX为正定(负定)二次型，矩阵A称为正定矩阵(负定矩阵)。

如果对于任何X=(x1,x2,¨,xn)T，都有XTAX≥0，(或≤0)则称f(X)=XTAX为半正定(负定)二次型，矩阵A称为半正定(半负定)矩阵。且有，使，二次型正定(负定)，半正定(半负定)，则它对应的矩阵为正定(负定)，半正定(半负定)；反之亦然。定理6.3.1

设A为正定矩阵，如果AB，则B也是正定矩阵。定理6.3.2对角矩阵为正定矩阵的充分必要条件是定理6.3.3

矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C，使得A=CTC，即A合同于单位矩阵。推论6.3.1

n阶矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标p=n。推论6.3.2

如果A为正定矩阵，则|A|>0。定理6.3.4对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特征值都是正数。定义6.3.2

设n阶矩阵称为A的k阶顺序主子式，即例如，的顺序主子式为定理6.3.5矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主子式都大于零，即推论6.3.3如果A是负定矩阵，则－A为正定矩阵。因此A为负定矩阵的充分必要条件是正定矩阵的有关结论：1.对称矩阵A是半正定(半负定)矩阵的充要条件是A的所有主子式都大于(小于)或等于零。2.对称矩阵A是半正定(半负定)矩阵的充要条件是A的全部特征值都大于(小于)或等于零。注意:一个实对称矩阵的顺序主子式全大于零或等于零时，A未必是半正定的。例如，三阶对称矩阵

的顺序主子式为但A并不是半正定矩阵。例6.3.4

判别二次型是否正定。解法一由定义将二次型化为标准形故该二次型正定。例6.3.4

判别二次型是否正定。解法二特征值法。二次型对应的矩阵为因此A的特征值分别为3、6、9都是正数，故该二次型正定。例6.3.4

判别二次型是否正定。解法三顺序主子式法。故该二次型正定。