初中数学沪科版九年级上册第22章　相似形 全国优质课一等奖

利用角的关系判定两三角形相似课后作业：方案（A）一、教材题目：P79T1-T31.已知，在△ABC中，AB=AC;在△AˊBˊCˊ中，AˊBˊ=AˊCˊ.（1）如果∠A=∠Aˊ,求证：△ABC∽△AˊBˊCˊ；（2）如果∠B=∠Bˊ,求证：△ABC∽△AˊBˊCˊ；2.如果△ABC∽△A1B1C1.△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC与△A2B2C2有什么关系？为什么？3.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB,对角线AC交BD于点O,找出图中相似三角形，并写出它们对应边成比例的式子.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》5．如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且∠1＝∠2＝∠B，则图中相似三角形有()A．4对B．3对C．2对D．1对6．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中相似三角形共有()A．4对B．5对C．6对D．7对7．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则下列各式正确的是()\f(AB,AD)＝eq\f(DE,BC)\f(AC,AE)＝eq\f(AD,AB)\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)\f(BC,DE)＝eq\f(AE,AC)8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E，下列结论正确的是()A．△AED∽△ACBB．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACED．△AEC∽△DAC11．如图所示，△AOB和△COD相似，∠A＝∠C，下列各式正确的是()\f(AB,BO)＝eq\f(CD,CO)\f(AB,AO)＝eq\f(CD,OD)\f(OB,CO)＝eq\f(AO,OD)\f(AO,CO)＝eq\f(BO,DO)12．如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，Q在线段BC上，△ADP与△QCP相似时，求BQ的值．13．(2023·咸宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E.(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；(2)选择(1)中一对加以证明．14．(2023·上海)已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE.(1)求证：DE⊥BE；(2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.15．(2023·泰安)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．答案教材1．证明：(1)因为AB＝AC，A′B′＝A′C′，所以∠B＝∠C，∠B′＝∠C′.又因为∠A＝∠A′，由三角形内角和定理可证得∠B＝∠B′，所以△ABC∽△A′B′C′.(2)因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.又因为A′B′＝A′C′，所以∠B′＝∠C′.又因为∠B＝∠B′，所以∠C＝∠C′，所以△ABC∽△A′B′C′.点拨：本题运用了相似三角形的判定定理，两角对应相等的两个三角形相似．2．解：△ABC∽△A2B2C2.因为△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，所以∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，所以可得∠A＝∠A2，∠B＝∠B2，所以△ABC∽△A2B2C2.点拨：本题先根据相似三角形的对应角相等得出相等的角，然后根据两角分别相等的两个三角形相似得出△ABC∽△A2B2C2.3．解：△DOC∽△BOA，eq\f(DC,AB)＝eq\f(DO,OB)＝eq\f(CO,OA).典中点11．错解：C诊断：错解中误认为∠A和∠D相对应，∠B和∠C相对应，事实上，由于∠A＝∠C，故∠A和∠C对应，又含有对顶角∠AOB＝∠COD，故余下的∠B和∠D对应，这样推得只有D正确．正解：D12．解：由题意，得∠D＝∠C＝90°.①当△ADP∽△PCQ时，eq\f(AD,PC)＝eq\f(DP,CQ)，即eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(\f(1,2),CQ)，得CQ＝eq\f(1,4).故BQ＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).②当△ADP∽△QCP时，eq\f(AD,QC)＝eq\f(DP,CP)，即eq\f(1,QC)＝eq\f(\f(1,2),\f(1,2))，得QC＝1，故BQ＝0.所以当△ADP与△QCP相似时，BQ的值为0或eq\f(3,4).跳出误区：因为题中∠D＝∠C＝90°，所以直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即△ADP∽△PCQ或△ADP∽△QCP，此题容易因只考虑一种情况而漏解．13．解：(1)△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；(2)选择△ADE≌△BDE.证明如下：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD为角平分线，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°＝∠A.在△ADE和△BDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠DBA，,∠AED＝∠BED＝90°,ED＝ED，))，∴△ADE≌△BDE(AAS)；或选择△ABC∽△BCD.证明如下：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD为角平分线，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°＝∠A.∴△ABC∽△BCD.14．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵OE＝OB，∴OE＝OD，∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE，∵∠OBE＋∠OEB＋∠OED＋∠ODE＝180°，∴∠BEO＋∠DEO＝∠BED＝90°，∴DE⊥BE；(2)∵OE⊥CD，∴∠CEO＋∠DCE＝∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠CEO＝∠CDE，∵OB＝OE，∴∠DBE＝∠CEO，∴∠DBE＝∠CDE，∵∠BED＝∠DEC，∴△BDE∽△DCE，∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(DE,CE)，∴BD·CE＝CD·DE.15．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴eq\f(BP,CD)＝eq\f(AB,CP)，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；(2)解：