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文档简介
关于高一数学二次函数的性质和图象第一页,共十六页,2022年,8月28日(一)二次函数的定义
一般地,如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.①②解:根据题意,得2第二页,共十六页,2022年,8月28日
(二)二次函数的几种表达式:①、②、③、(顶点式)(一般式)(交点式)第三页,共十六页,2022年,8月28日
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是:(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)确定抛物线的解析式;你能用不同方法求解析式吗?试试看哦开口向上;对称轴直线x=1;顶点坐标(1,-2)第四页,共十六页,2022年,8月28日抛物线开口方向顶点坐标对称轴最值a>0a<0增减性a>0a<0当a>0时开口向上,并向上无限延伸;当a<0时开口向下,无限延伸.(h,k)直线直线在对称轴左侧,y随x的增大而减小在对称轴右侧,y随x的增大而增大在对称轴左侧,y随x的增大而增大在对称轴右侧,y随x的增大而减小xyxy
(三)二次函数的图像与性质第五页,共十六页,2022年,8月28日(四)研究二次函数的一般方法:
(1)配方(2)求函数的图象与x轴的交点(3)列表描点作图(4)函数图象的对称性质(5)函数的增减性,最值第六页,共十六页,2022年,8月28日例3.研究函数的图像与性质.
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y=x2
经一系列变换得到的,具体地说:先将y=x2
的图像向左移动4个单位,再向下移动2个单位得到的图像解:(1)配方得
(2)函数与x轴的交点是:(-6,0)和(-2,0)(0,6)函数与y轴的交点:第七页,共十六页,2022年,8月28日(4)函数f(x)在(-∞,-4]上是减函数,在[-4,+∞)
上是增函数.(5)函数f(x)在x=-4时,取得最小值-2,记为ymin=-2.
它的图象顶点为(-4,-2)(3)函数图像的对称性质:函数的对称轴是x=-4。如果一个函数f(x)满足:
f(a+x)=f(a-x),那么函数f(x)关于x=a对称.第八页,共十六页,2022年,8月28日练习.已知抛物线y=的的对称轴x=2(1)求m的值,并判断抛物线开口方向;(2)求函数的最值及单调区间。解:(1)因为抛物线的对称轴是x=2,所以,解得m=2,m-1>0,抛物线的开口向上.(2)原函数整理得y=x2-4x+3=(x-2)2-1.
所以当x=2时,ymin=-1.
单调增区间为[2,+∞),单调减区间为(-∞,2].第九页,共十六页,2022年,8月28日例4.已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数),x∈[-1,1],(1)若函数f(x)为偶函数,且f(1)=1,求a,b的值;(2)若函数f(x)为奇函数,且f()=,求f(x)的值域。解:(1)因为函数f(x)=ax2+bx为偶函数,所以b=0,又f(1)=1,所以a=1.f(x)=x2.
(2)函数f(x)为奇函数,则a=0,b=1,所以f(x)=x,x∈[-1,1],所以值域是[-1,1].第十页,共十六页,2022年,8月28日例5.已知函数f(x)=x2-4x+1,不计算函数值,比较f(-1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。解:f(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3,对称轴是x=2,在区间[2,+∞)上是增函数.
f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5),
f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3),所以f(1)<f(4)<f(-1)=f(5).第十一页,共十六页,2022年,8月28日例6.已知二次函数y=x2-mx+m-2,(1)证明:无论m为何值时,函数的图象与x轴总有两个交点;(2)m为何值时,这两个交点之间的距离最小。解:(1)△=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,所以无论m为何值时,函数的图象与x轴总有两个交点;(2)设方程的两个解分别为x1,x2,则x1+x2=m,x1x2=m-2,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=m2-4m+8=(m-2)2+4.所以当m=2时,|x1-x2|最小,最小值是2.第十二页,共十六页,2022年,8月28日
能力训练
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则在下列各不等式中成立的个数是____________1-10xy①abc<0②a+b+c<0③a+c>b④2a+b=0⑤Δ=b2-4ac>0①④⑤第十三页,共十六页,2022年,8月28日1.已知的图象如图所示,则a、b、c满足()
(A)a<0,b<0,c<0;(B)a>0,b<0,c>0(C)a<0,b>0,c>0;(D)a<0,b<0,c>0Dx0y
反馈练习:第十四页,共十六页,2022年,8月28日2、下列各图中能表示函数y=ax+b和
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