第五节奈奎斯特稳定判1

第五节奈奎斯特稳定判据第三章已经得出结论：闭环系统稳定的充分必要条件是：其特征方程所有的根都具有负实部，即都位于[s]平面的左半部。前面也介绍了两种判断系统稳定的方法，即劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据，它们都是代数判据。代数判据是根据特征方程根和系数的关系判断系统的稳定性。而这一小节另外介绍一种重要而实用的方法--奈奎斯特稳定判据。这种方法可以根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性一、奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据简称奈斯判据。奈斯判据利用复变函数的幅角原理，提出了根据系统开环频率特性判别闭环系统稳定的准则。我们知道如果闭环系统的特征根全部在[s]平面的左半部，那么闭环系统稳定。我们要用开环频率特性判断闭环系统的稳定性，怎样将开环传递函数与闭环传递函数联系起来，这是奈斯判据的关键。奈奎斯特(Nyqust)稳定判据该判据这样告诉我们：一闭环控制系统为G(s)H(s)R(s)C(s)-该系统稳定的条件是：系统的开环频率特性G(jw)H(jw)，当w从时，G(jw)H(jw)曲线逆时针包围(-1，j0)点P圈，则系统稳定。

P---为G(s)H(s)在[s]平面右半面的极点个数举例例1:如图所示系统-R(s)C(s)试用奈斯判据判断该闭环系统的稳定性S平面的虚轴上无开环极点的情况解：系统的开环传递函数为开环频率特性为

由G(s)H(s)可见，该系统为0型系统，且m=0，n=3，所以G(jw)H(jw)起始于（20，j0)点，沿2700方向趋近于原点又知：P=0，根据Nyqust判据可知，G(jw)H(jw)曲线不包围(-1，j0)点，系统才是稳定的，要判断该曲线是否包围(-1，j0)，则要知A点与虚轴的距离是否大于1G(s)H(s)A求G(jw)H(jw)曲线于实轴的交点A模取代入实部u(w)=-0.275从图中可见，G(jw)H(jw)曲线在w从变化到时，包围（-1，jo)点零圈，所以闭环系统稳定。所以得：令虚部等于0即：1、引入辅助函数F(s)设典型反馈系统的方框图如下图所示、G(s)H(s)_R(s)C(s)第二版168页，开环特征方程闭环特征方程引入辅助函数F(s)闭环特征方程开环特征方程

由此可见，辅助函数F(s)将开、闭环系统的频率特性联系起来了。结论：F(s)的零点，就是闭环系统的极点；F(s)的极点，也就是开环系统的极点F(s)的零、极点的数目相等。F(s)与开环传递函数G(s)H(s)，只差常数“1”，两者间的几何关系为：[F][GH]

这样，从辅助函数F(s)的角度看，控制系统稳定的充分必要条件是，F(s)的零点都必须具有负实部。下面讨论，F(s)的零点都必须具有负实部即位于[s]平面左半边的条件与开环频率特性的Gk(jw)的关系。先介绍复变函数的一个重要定理“幅角定理”二、幅角定理辅助函数F(s)用零极点表示:频率特性写成模和幅角的形式

S是复数，F(s)是复变函数，它们分别可用复平面上的矢量来表示，其所对应的复平面分别称为[s]平面和[F]平面。由复变函数理论可知，若在[s]平面上选一点（设为a)，通过复变函数F(s)的映射关系，在[F]平面上找到相应的一点（设为a`,并称a`为a的映象）；同理，对于[s]平面上任一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线，也可以在[F]平面上找到一条与相对应的封闭曲线(为的映象）幅角定理

若在封闭曲线内有z个F(s)的零点和p个F(s)极点，则曲线上的一点s沿着顺时针转一圈时，在F平面上，封闭曲线饶原点逆时针转过的圈数N为p和z之差，即

N=P-ZN若为负，表示曲线饶原点顺时针转过的圈数。例zz2[s][F]Fp幅角原理证明较复杂，这里简单解析一下。在[s]平面取一闭合路径，且在上没有零、极点，zz2p[s]在外的无论是零点还是极点，当s从s1顺时针沿一圈回到s1时，矢量的幅角变化为00s1Nyqust判据证明方法1

而在内的无论是零点还是极点，当s从s1顺时针沿一圈回到s1时，矢量的幅角变化为实际上：所有在外的零点和极点，当s沿顺时针一圈后，它们的幅角变化均为零，即对的幅角无影响。所有在内的零点和极点，当s沿顺时针一圈时，即对的幅角的变化均为。由此可知：当内有z个F(s)的零点和p个F(s)的极点时，当s沿顺时针一圈时，F(s)的幅角变化值为：[F]F根据Nyqust判据

我们选择在[s]平面取一闭合路径，且在上没有零、极点，让其顺时针包围[s]平面的整个右半面。此时F(s)的幅角变化应为P---为G(s)H(s)在[s]平面右半面的极点个数

而我们通常作系统的开环频率特性（G(jw)H(jw)曲线，而不做F(jw)的特性曲线，我们知道辅助函数与开环传递函数有以下关系[F][GH]可见：判断闭环系统的稳定性转化为G(s)H(s)对(-1，j0)点的包围情况进行判别了。Nyqust判据证明方法2：引入辅助函数F(s)闭环特征方程开环特征方程

由此可见，辅助函数F(s)将开、闭环系统的频率特性联系起来了。将F(s)化为零、极点形式F(s)的零、极点均可在[s]平面相应的表示RejwF(s)的幅角为

闭环系统要稳定，其闭环极点必须在[s]平面的左半面。即z1，z2，…Zn全部在[s]平面的左边。设开环极点有p个在[s]平面的右边，则有（n-p)个极点在左边，此时，F(s)的幅角为：可见：闭环系统要稳定，当w从-∞变化到+∞时，F(jw)曲线逆时针方向包围原点P圈。而我们通常作的是系统的G(jw)H(jw)特性曲线，它与F(jw)的关系为一、

主持人基本情况[F][GH]

可见在[GH]平面，对[F]平面的原点包围情况就成了对（-1，j0）的包围情况来判断系统的稳定性例2：系统的框图为下图所示-R(s)C(s)试用奈斯判据判定闭环系统的稳定性原点处又开环极点的奈斯判据解：系统的开环传递函数为：频率特性由开环传递函数可见，系统为Ⅰ型系统。即V=1，m=0，n=2.当w从0变化到+∞时，G(jw)H(jw)曲线起始于（∞，-900），当w趋于∞时，曲线从-1800方向趋近于原点因为，G(jw)H(jw)在“0”点出现断点，使得曲线不闭合。为使曲线闭合需找出当G(jw)h(jw)的闭合走向abc由此可知：由此可见，当s=jw沿着abc半圆取值时，G(jw)H(jw)曲线在[GH]平面对应的映射为[GH]abca’b’c’故，w从0-沿r0半圆取值到0+时，G(jw)H(jw)的轨迹对应从∞∠900(a’)顺时针沿R∞园周转1800到∞∠-900(c’)abc(-1,j0)以此类推，当开环系统中含有两个积分环节时，w从0-沿r0半圆取值到0+时，G(jw)H(jw)的轨迹对应从∞∠900(a‘)顺时针沿R∞园周转2×1800到∞∠-900(c’)类推下去

实际上，只需绘制w从零变化到正无穷大时的开环幅相特性曲线，然后按其逆时针包围（-1,j0)点的圈数N`和开环传递函数在[s]右半部的极点数p,根据下式

2N`=P-Z或Z=P-2N`

用上式确定闭环特征方程在[s]平面右半部的个数，若Z为零，闭环系统稳定。否则闭环系统不稳定。若顺时针包围，N`取负值，闭环系统也是不稳定的。第六节控制系统的相对稳定性

为了使系统能很好的工作，不但要求系统稳定，而且要有一定的稳定裕量，即要求控制系统具有适当的相对稳定性。一、相对稳定的基本概念

在控制系统稳定的基础上，进一步表征其稳定程度高低的概念，称为控制系统的相对稳定性。控制系统的相对稳定性通常是以幅值裕度的形式表示的例；以控制系统的框图如下图所示-R(s)C(s)开环传递函数-0.275开环传递函数在[s]平面的右半边的极点个数p=0曲线不包围（-1，jo）点，所以系统是稳定的G(s)H(s)1曲线过（-1，j0)点，系统处于临界稳定，即在稳定与不稳定的交界面上G(s)H(s)(-1,j0)1G(s)H(s)曲线顺时针包围（-1，j0)两圈，故系统不稳定

由上式可知，G(jw)H(jw)越靠近（-1，j0)点，系统的稳定程度降低。所以系统的稳定程度可以用G(jw)H(jw)曲线与(-1,j0)点靠近的程度来表征（衡量）。稳定程度的定量计算，可用kg、的概念G(jw)H(jw)曲线通过(-1，j0)必须满足下列条件：当相角∠G(jw)H(jw)=-1800时使增大的增益倍数，称为幅值裕度kg，其数学描述

当∠G(jw)H(jw)=-1800时，对应的频率，称为相位交界频率。幅值裕度一般用分贝(db)表示

当幅值，相角∠G(jw)H(jw)与-1800的角度差，称为相位裕度。∴∠G(jw)H(jw)为负值，故为正值

当幅值时，对应的频率，称为剪切频率。工程上要求：系统稳定（对最小相位系统）对数奈斯判据（bode判据）Bode判据实际上是奈斯判据在bode图中的延伸，得以延伸，首先就要找他们在坐标上的联系。奈斯图中的单位园园周，对应于bode图的0分贝线奈斯图的单位园外对应于bode图上的0分贝线之上Bode图与Nyquist图的坐标对应关系ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅣⅣ逆时针（+）（+）顺时针（-）（-）奈斯图的单位园内，对应于bode图上的0分贝线以下奈斯图的负实轴对应于bode图上的对数相频特性的-1800G(jw)H(jw)曲线要包围（-1，j0)点，必须在负实轴的[-1，-∞]之间穿越，规定逆时针方向包围（-1，j0)点称为正穿越，此时幅角有小变大，G(jw)H(jw)顺时针包围（-1,j0)成为负穿越，此时幅角有大变小（包围一次穿越一次，包围两圈穿约两次）所以，正穿越一次对应在bode图中为L(w)>0区域内，对数相频曲线从-1800线以下区域向上穿越一次同理，负穿越一次再bode图中为L(w)>0区域内，对数相频曲线从-1800线以上区域向下穿越一次对照上述坐标关系，将奈斯判据延伸代bode图中得到bode判据（对数奈斯判据）：在L(w)>0db的区域内，对数相频曲线正穿越次数（N+）与负穿越次数（N-）之差为p/2，则闭环系统稳定。P为开环传递函数在[s]平面右半边的极点个数问题这里为什么是P/2?而不是P?是因为奈斯判据：w从-∞变化到+∞

而bode判据：w从0变化到+∞所以在bode判据中只取奈斯判据的一半，既P/2问题当p=1、3、5…..时，此时P/2出现班次穿越，如何处理？这里有规定半次正穿越半次负穿越在L(w)>0区域内，对数相频曲线从-1800开始向上为半次正穿越，若从-1800向下为半次负穿越已知系统开环传递函数举例1试用对数判据判别闭环稳定性。解：绘制系统开环对数频率特性如图。

由开环传递函数可知P=0。所以闭环稳定利用Matlab分析系统的稳定性num=10;den=[0.110];figure(1)bode(num,den);[numb,denb]=cloop(num,den);figure(2)step(numb,denb)已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。举例1解：绘制系统开环对数频率特性如图在L(w)>0区域内正穿越次数：N+=0负穿越次数：N-=1开环传递函数在[s]平面的极点个数：

P=0故

N+-N-≠P/2所以系统不稳定闭环不稳定的极点个数利用Matlab分析系统的稳定性num=300;den=[121000];figure(1)bode(num,den);[numb,denb]=cloop(num,den);figure(2)step(numb,denb)在bode图上的表示例5-5

已知系统的开环传递函数试应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性解:由系统的开环传递函数,得幅频特性相频特性令虚部等于0即：取w=4.12，故曲线于实轴的交点为：9.12，根据奈斯判据，开环系统的p=0,曲线包围了（-1，j0）点，所以闭环系统不稳定利用Matlab绘制Nyquist曲线num=1000;p1=conv([11],[12]);den=conv(p1,[15]);figure(1)nyquist(num,den)title('nyquistpolt')[numb,denb]=cloop(num,den);figure(2)step(numb,denb)title('stepResponse')例5-6

已知系统的开环传递函数试应用奈氏判据判别k=0.5和k=2时的闭环系统的稳定性解:由系统的开环传递函数,得幅频特性相频特性w0k-1800-1-1350∞0-900k1=0.5;k2=2;den=[1-1];figure(1)nyquist(k1,den);holdonnyquist(k2,den);[numb,denb]=cloop(k1,den);[numb1,denb1]=cloop(k2,den);figure(2)step(numb,denb)holdonstep(numb1,denb1)利用Matlab绘制Nyquist曲线实验证明G(jw)H(jw)曲线远离（-1,j0)点，系统稳定程度好，阶跃响应较平缓，无大的超调。G(jw)H(jw)曲线靠近(-1,j0)，系统稳定程度下降，阶跃响应超调量大、振荡加剧。G(jw)H(jw)通过(-1,j0)点，系统处于临界稳定，阶跃响应为等幅振荡。由此可见：稳定裕度的大小与系统的动态性能有关第七节频域指标与时域指标之间的关系（教材§5-7的内容）

在第三章介绍的时域的五个性能指标在当前的系统分析和设计中占有越来越重要的位置。这里需要进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。一、开环频率特性与时域稳态误差之间的关系从第三章的时间响应分析中得知：闭环系统的稳态误差ess取决于其对应的开环传递函数中含积分环节的个数v（误差度)和开环增益K。也就是说我们知道了v，K（Kp,Kv,Ka)，就可以方便的计算比环系统的稳态误差ess。由开环对数频率特性曲线可知：其低频段的斜率由系统的误差度（v）和开环增益K决定，即低频段的高度由开环增益K决定。所以我们可以根据低频段曲线确定系统的误差度(v)和开环增益K(Kp，Kv，Ka)

下面我们通过一些例题分别讨论，如何根据开环对数频率特性曲线确定系统的误差度（v）和开环系统的增益K（一）、0型系统例1：系统的开环传递函数开环频率特性其开环特性曲线对应的转折频率为AwT2wT1-20db/dec-40db/dec可见：w<wTmin时，L(w)=20lgk=20db0型系统对数幅频特性有以下特点对数幅频特性曲线低频段为一水平线，其高度为20lgk0型系统的开环增益K为静态位置误差系统Kp，既可根据L(w)曲线在低频段的高度求出Kp.（二）、Ⅰ型系统例2：系统的开环传递函数开环频率特性其开环特性曲线对应的转折频率为L(w)在w<wT时，是一斜率为-20db/dec的直线讨论1）当wT>kAwT-20db/dec-40db/dec在w<wT时，惯性环节的对数频率特性曲线尚为一“0”的直线此时：2）当wT<kAwT-20db/dec-40db/dec此时-20db/dec线不穿越“0”分贝线，此时延长低频段使之与“0”分贝线相交，其交点w=KⅠ型系统对数幅频特性有以下特点低频段斜率为-20db/dec斜率为-20db/dec的低频段（或延长线）与“0”分贝线的相交频率w=K斜率为-20db/dec的低频段在w=1处的高度为20lgKⅠ型系统得开环增益K=Kv（静态速度误差系数）

可根据②和③求出系统的Kv（三）、Ⅱ型系统例3：系统的开环传递函数开环频率特性当wT>1，K>1时AwT-40db/dec-60db/dec当wT>1，K<1时wTA-40db/dec-60db/dec当wT<1，K>1时AwT-40db/dec-60db/dec当wT<1，K<1时AwT-40db/dec-60db/decⅡ型系统对数幅频特性有以下特点低频段斜率为-40db/dec；斜率为-40db/dec的低频段（或延长线）与“0”分贝线相交处的频率w2=k斜率为-40db/dec的低频段（或延长线）在w=1处的高度为20lgKⅡ型系统的开环增益k=Ka(静态加速度误差系数）可根据②和③求出系统的Ka下面举例：通过例题介绍如何从对数幅频特性曲线中确定K值由右图可见：AB线段高度为20lgK根据几何关系AB线段表示A点至B点得分贝数。BC线段表示B点至C点的对数值-20db/decABCwcL(w)w1例1：AB=20lgK，BC=lgWc-lgW1例2：ABCDW1wcW=K-20db/dec-40db/dec由右图可知：故有：例3：ABCDW1wcW=K-20db/dec-40db/decFGE-60db/decW2从图中可知：总结以上例题我们可以得出结论

开环增益K与0分贝以上的开环幅频特性曲线的各个转折频率wi及幅值穿越频率wc之间有着既定的关系……k1k2k3knKn-1Kn-2w1w2w3wnWn-1Wn-2Wn-3推广这种方法也可用来在已知K的条件下，求Wc。或在已知K、Wc的条件下求任意转折频率二、开环频率特性与系统动态性能的关系

前面讨论了如何应用系统开环频率特性分析闭环系统的稳定性能和ess，下面讨论如何通过频率来分析闭环系统的动态性能。1、频域动态性能的提出对控制系统的设计有两种方法用开环频率特性设计系统时常用的动态指标用闭环频率特性设计系统时常用的动态指标反映了过渡过程的平稳性，与时域指标中超调量（）相对应。反应系统响应的快速性，与时域指标中的调整时间（）相对应。注最小相位系统----若系统G(s)的所有零、极点均在[s]平面的左半边，则称为最小相位系统。反之称为“非最小相位系统”2、开环频率特性曲线参数与阶跃响应的关系

对一、二阶系统来说，频域指标与时域指标之间存在着确定的关系。通过分析可清楚地看出频域指标的含义。一阶系统一阶系统传递函数的标准形式其闭环结构图为—R(s)C(s)从图中可得：开环传递函数闭环传递函数其单位阶跃响应曲线开环频率特性-20db/dec-20db/dec闭环频率特性wT=wb=1/Twc

由开环对数频率幅频曲线可清楚地看出，一阶系统的开环幅值穿越频率wc=K（开环增益）即

从闭环对数幅频特性曲线中可见，其转折频率wT=1/T，当w=wT=1/T时，闭环频率特性的幅值为，即为（w=0）时的幅值的0.707倍----称此点的频率值为一阶系统的频宽又一阶系统的时域指标ts或可见ts可用系统的开环或闭环频域指标来描述反应系统的响应速度二阶系统其闭环结构图为—R(s)C(s)开环传递函数故有开环频率特性与时域指标的关系情况1：wT=1/T<KwT-20db/dec-40db/decwcW2=k可见-20db/dec线段与0分贝线的交点频率w2=k剪切频率wc=?故有

可见系统的剪切频率wc恰好是Wn与w=k的几何中点。剪切频率wc=?根据前面介绍的指示：情况2：wT=1/T>K-20db/decWc=k-40db/decWn=1/T

通过以上分析与推导可见，对数频率特性可确定系统的相关参数。再看性能指标与参数之间的关系如何？幅值穿越频率wc由wc的定义，有：即分子分母同除wn2,得：等式两边同时乘方，得从括号里提出wc2，得：得到一二次方程又不可能为负值故得：相位裕度ReImwc又

由二阶系统时域指标与相比较，二者都仅与值有关。可见

的大小反映了系统的动态过程的平稳性。

为了使二阶系统在过渡过程中不要过大，调整时间ts短些一般有二阶系统的调整时间显然，当值为常数时，ts与wc成反比Wc的大小反映了系统过渡过程的快慢！3、闭环频域指标与时域指标的关系谐振频率—R(s)C(s)系统的闭环传递函数故二阶系统的闭环幅频特性：幅频特性系统发生谐振时，幅频特性达到最大值，故可得谐振频率：由此可知，当时，wr才为实数，这说明时，系统的闭环频率特性无峰值。在时，ts与wr成反比，即：所以，wr的大小反映了响应速度的快慢！谐振峰值Mr将代入下式由此可见：Mr仅与有关:频带宽度wb，根据wb的定义又上式解得：可见：当时，ts与wb成反比

通过以上分析可知：通过系统的开、闭环频率特性能得到系统动态性能指标，但由于高阶闭环频率特性曲线不易得到，故通常用开环频率特性来研究系统的动态性能更为方便。---表征过渡过程的平稳性---表征系统响应的快慢4、系统开环频率特性曲线的中频段与阶跃响应的关系

从一阶、二阶系统的开环频域指标分析中显而易见，系统的开环频率特性曲线的中频段，即剪切频率wc附近的区段，它集中反映了闭环系统的平稳性和快速性。而---仅是比较简单的指标，它们不能完全概括千变万化的频率特性曲线的形状

所以有必要对系统的中频段的情况进行进一步的分析。下面通过实例，来看看系统对数幅频特性曲线中频段斜率对系统动态特性的影响例

系统开环传递函数试绘制系统的bode图并分析系统的动态性能情况wcwg这里我们求w