第二章自然数

第二章自然数上帝创造了自然数，其它都是人为的德国数学家克罗内克1823-1891用集合语言解释自然数关于自然数1和0以及自然数的运算自然数的位置计数制自然数的佩亚诺公理系统关于自然数教学的若干问题自然数的属性基数属性序数属性第一节用集合的语言解释自然数1。1自然数的产生对物件的计量逐渐形成仓颉造字一、二、三印度创造1，2，3....自然数的形成及其运算,建立在集合的基础上集合是不能逻辑定义的原始概念一些对象的汇合是一个集合每个集合的集合仍是一个集合存在空集集合的基数和序数两个集合能够一一对应为彼此等价基数表示集合中元素的个数凡是能够彼此一一对应的有限集,构成一个等价类序数表示某个有序集合中每个元素所占的位置,是记顺序的数20世纪最伟大的数学家之一冯·诺伊曼(1906-1957)用集合的语言,特别是集合的集合和存在空集这两个约定,简约、清晰、准确地构建了自然数体系依次构造地产生的自然数，称为序数第二节关于自然数1和0以及自然数的运算“1”是一个特殊的自然数1是自然数的单位，任何一个非零自然数第二节关于自然数1和0以及自然数的运算2.1“1”是一个特殊的自然数1是自然数的单位1是乘法的单位元为除法奠定了基础2.20是作为自然数历史上了认识自然数是从1开始.0大约在公元6-7世纪由印度首先使用1993年〖中华人民共和国国家标准〗量和单位,规定自然数包括0自然数包含零的理由自然数包含零的理由“”“”2.3关于自然数的加法,减法,乘法,除法的定义加法自然数相加a,b相加得到a＋b是指a,b所代表的集合A,B是互不相交的，而a＋b则是并集A∪B的基数2.减法如果b≧a,即b所代表的集合B，与a所代表的集合A，有关系AB即A是B的子集B和A的差集3.乘法集合A,B的笛卡尔积自然数a乘以b得到a×b是指a所代表A，与b所打赌集合B所成的笛卡尔积A×B的基数4.除法从集合论的角度,0与空集的基数相对应自然数系包括0,加法就有了单位.丰富了代数结构0对于数的扩展十分重要有利于对自然数的理解除法是指一个有限集合C,能够恰好分解成为a个具有相同基数b的子集B，那么a=c÷b第二节自然数的位置计数制3.1十进位制从商代陶文和甲骨文中能够用一、二、三、四、五、六七、八、九、十、百、千、万等十三个数字，记十万以内的自然数古巴比伦六十进位欧洲各国的命名制度不是四位一级，面是三位一级大数的三种读法中国读法数字读法英语读法3.2算盘与位置进制珠算是中华文化的瑰宝，曾为人类文明作出过巨大贡献，至今仍有强大的生命力。数学课程提倡“数学文化”，珠算文化是一种重要中华文化算盘是极好的学具，打算盘是学生十分喜欢的数学活动。新课程强调动手操作，珠算是很好的工具。珠算是学习位置记数法的最佳模型。学习珠算也是在学习算法无论从传统文化的意义上，还是现代教育理念上，以及教学实践上，珠算都有益于小学生的数学学习算盘的认识算盘的结构特点及其数学教育的五升十进位制是算盘的结构特点上珠五，算珠不超过五。心理学实验“黑豆实验”用豆子来测试人目测数群的能力算盘直观形象，能体现算理用算盘来认数、计算，形数结合，珠动数出。合乎儿童学习数学的心理将算盘学会了，小学数学的一切教学目标都可实现算盘是整体和辩证的统一算盘从整体上看，它还是一个矛盾对立的统一体。体现古代文化思考方式的整体性和辩证性河图洛书珠算口决四.珠算算法的符号化、程序化、算法化是机械化思想的典型代表珠算算法的程序化、机械化、算法化是机械化思想的典型代表世界科学史上，天文和数学，以我们中国的最为古老。“希腊毕达哥拉斯学派从一个算子的积累运动演化出了无穷的宇宙，算盘则是把无穷的宇宙浓缩成袖里乾坤”珠心算---珠算文化的重大创新发展在脑子里打算盘，用脑子的虚拟的算盘进行迟延，具有开发儿童智力潜能的功能和作用记忆力提高；思维能力强；独创性好；阅读速度快；智商提高；对弱智儿童有智障补偿的作用第四节自然数的佩亚诺公理系统1889年，意大利数学家佩亚诺（G.Peano,1858-1932）建立了自然数的公理系统：使用两个形式符号：1和‘，它们要满足以下5条公理1是自然数；每一个自然数a都有一个后继a';1不是任何自然数的后继；若a'=b'则a=b；（归纳公理）自然数的某个集合若含1，而且如果含有一个自然数a就一定含a‘，那么这个集合含全体自然数满足这5条公理的对象称为自然数，记为N关于自然数（peano）公理的诺干认识凡能满足上述对象就是自然数自然数是一个无限集，“潜无限”“实无限”，公理（5）是第一数学归纳法的逻辑依据定理P（n）是一个关于自然数n的命题，如果P（n）满足下面的条件：P（1）成立；假设从P（k）成立可以推出P（k＋1）也成立，那么命题P（n）对所有的自然数n都成立4.2自然数公理系统中的加法定义1（自然数的加法）在数集N中,满足下列条件的二元运算“＋”,叫做加法对任意的a,有a＋1=a‘对任意的a,b∈N＋，都有a＋b∈N＋，且a＋b’=（a＋b）‘，其中a＋b叫做a与b的和，a，b分别