第四章目标规划

§4目标规划§4目标规划§4.1目标规划问题及其数学模型§4.2目标规划图解法§4.3目标规划的单纯形法4.1目标规划问题及其数学模型1.目标规划问题的提出例1某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划。具体数据见表。设产品I和II的产量分别为x1,x2；其线性规划的数学模型为产品ⅠⅡ限量原材料（kg/件）51060设备工时（h/件）4440利润（元/件）68从线性规划的角度来看，问题已经得到了圆满解决。但从工厂领导进行决策的立场上，问题没有这么简单，决策时还需要考虑一系列其他问题：假设计划人员被要求考虑如下的意见：(1)由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半(2)最好能节约4h设备工时(3)计划利润不少于48元4.1目标规划问题及其数学模型由此可知：计划问题实际上一个多目标决策问题。由于需要用线性规划来处理，所以计划人员不得不从众多目标要求中硬性地选择其一，作为线性规划的目标函数。线性规划有最优解的必要条件是其可行解集非空，即各约束条件彼此相容，而实际问题有时不能满足这样的要求。线性规划并不是完美，在处理实际问题时，线性规划存在着由其“刚性”本质所注定的某些固有的局限性。4.1目标规划问题及其数学模型现代决策强调定量分析和定性分析的结合，强调硬技术和软技术的结合，强调矛盾和冲突的合理性，强调妥协和让步的必要性，线性规划无法胜任这些要求。4.1目标规划问题及其数学模型1.目标规划问题的提出

1961年，查思斯和库柏提出目标规划。目标规划在处理实际决策问题时，承认各项决策要求的存在有其合理性；在作最终决策时，不强调其绝对意义上的最优性。在一定程度上弥补了线性规划的局限性，是一种较之线性规划更接近于实际决策过程的决策工具。4.1目标规划问题及其数学模型2.目标规划数学模型涉及的基本概念

(1)偏差变量对每一个决策目标，引入正、负偏差变量d+和d-，分别表示决策值超过或不足目标值的部分。按定义有三种情况d+＞0，d-=0；d->0，d+=0；d+=0,d-=0。三种情况只能有一种实际发生，故d+×d-=0。

(2)绝对约束和目标约束

绝对约束是必须严格满足的约束条件，线性规划中的约束条件都是绝对约束。绝对约束是硬约束。目标约束是目标规划特有的，是一种软约束，目标约束中决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。绝对约束：5x1+10x2≤6048861121=-++-ddxx＋目标约束：

不同目标的主次轻重有两种差别。一种是绝对的，用优先因子Pl来表示。只有在高级优先因子对应的目标满足的基础上，才能考虑较低级优先因子对应的目标；在考虑低级优先因子对应的目标时，绝不允许违背已满足的高级优先因子对应的目标。优先因子间的关系为Pl>>Pl+1。另一种是相对的，这些目标具有相同的优先因子，它们的重要程度用权系数的不同来表示。

(3)优先因子和权系数

(4)目标规划的目标函数目标规划的目标函数由各目标约束的偏差变量及相应的优先因子和权系数构成。目标规划追求的是尽可能接近各既定目标值，即各有关偏差变量尽可能小，所以其目标函数只能是极小化。应用时，有三种基本表达式：1)要求恰好达到目标值。决策值超过或不足目标值都是不希望的，有min{f(d++d-)}

(4)目标规划的目标函数

2)要求不超过目标值，但允许不足目标值。这时，不希望决策值超过目标值，因此有3)要求不低于目标值，但允许超过目标值。这时，不希望决策值低于目标值，因此有min{f(d+)}min{f(d-)}假设计划人员被要求考虑如下的意见：(1)由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半(2)最好能节约4h设备工时(3)计划利润不少于48元特点：1.多目标;不超过、最好、不少于等。2.有一定的有限顺序产品ⅠⅡ限量原材料（kg/件）51060设备工时（h/件）4440利润（元/件）682.目标规划数学模型涉及的基本概念目标规划的顺序：先写约束，再写目标函数(1)由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半(2)原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗(3)最好能节约4h设备工时(4)计划利润不少于48元(5)目标规划数学模型的一般形式gk为第k个目标约束的预期目标值。W-lk和W+lk为Pl优先因子对应各目标的权系数已知某实际问题的线性规划模型为假定重新确定这个问题的目标为:(1):Z的值应不低于1900(2):资源1必须全部利用将此问题转换为目标规划问题，列出数学模型判断下述说法是否正确?(1)目标规划的数学模型应同时包括绝对约束和目标约束。(2)正偏差变量应取正值，负偏差应取负值。4.2目标规划的图解法用图解表示的偏差变量图解法只能解决只有两个决策变量的目标规划问题，在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束。在此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个目标约束。968912ABDEF0CO968912063CDEF若优先因子Pj对应的解空间为Rj，则优先因子Pj+1对应的解空间只能在Rj中考虑。若Rj≠Ø，而Rj+1=Ø，则Rj中的解为目标规划的满意解，它只能保证满足P1，P2，…，Pj级目标，而不保证满足其后的各级目标。4.2目标规划的图解法图解法解目标规划解情况的讨论：（1）最后一级目标的解空间非空。这时得到的解能满足所有目标的要求。当解不惟一时，决策者在作实际决策时究竞选择哪一个解，完全取决于决策者自身的考虑。（2）所得到的解不能满足所有目标。这时，我们要做的是寻找满意解，使它尽可能满足高级别的目标，同时又使它对那些不能满足的较低级别目标的偏离程度尽可能地小。4.3目标规划的单纯形法目标规划的单纯形法求解的基本思路：在用单纯形法解目标规划时，检验数是各优先因子的线性组合。在判别各检验数的正负及大小时，必须注意P1>>P2>>P3>>…。当所有检验数都已满足最优性条件(cj-zj≥0)时，从最终单纯形表上就可以得到目标规划的解。目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模型结构形式上没有本质的区别，所以可用单纯形法求解。但要根据目标规划的特点，作以下规定：(1)

因目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以以cj−zj≥0，j=1,2,…，n作为最优性判别准则。(2)因非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，即因为P1>>P2>>…>>PK检验数的正、负首先决定于P1的系数α1j的正、负；若α1j=0，则此检验数的正、负就决定于P2的系数α2j的正、负；依此类推。用单纯形法求解目标规划问题：用图解法解下列目标规划模型§4－4目标规划应用举例解上