第三章立体的投影汇总

第3章立体的投影返回3.2直线、平面与立体相交3.1平面立体的投影3.3曲面立体的投影3.4曲面立体的截交线3.5两立体相交

按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基本体分为平面立体和曲面立体两类。3.1.1平面体三视图的画法与识读3.1.2平面体表面取点3.1平面立体的投影3.1.1平面体三视图的画法与识读

表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。3.1.1平面体三视图的画法与识读

表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。3.1.1平面体三视图的画法与识读

表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。棱柱棱锥3.1.1平面体三视图的画法与识读3.1.1平面体三视图的画法与识读3.1.1平面体三视图的画法与识读3.1.1平面体三视图的画法与识读1.棱柱2.棱锥(1)棱锥的投影sBasa’c’b’csbCASb”(c”)a”主视图俯视图左视图XYWYHZO三视图的位置关系和投影规律长高宽宽上上下下左左右右前前后后主、俯视图长对正主、左视图高平齐俯、左视图宽相等14(1)棱柱表面上取点aa(a)(b)bb3.1.2平面体表面取点15例一棱柱表面上取点aa(a)(b)bba′b′c′1″1(1′)abca″b″(c″)返回例二棱柱表面上的点和直线s(c)saacbbcsba111rr(2)棱锥表面上取点2223(3)3s(c)saacbbcsba111rr例三棱锥表面上取点2223(3)3baa′b′a″b″c′c(c″)返回棱锥体表面上直线和点3.2.1平面体的截交线3.2.2直线与平面立体相交3.2.3坡屋面的投影3.2直线、平面与立体相交

平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线围成的图形成为截断面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条。

基本特性：1、共有性。2、封闭性截平面截交线截交线的概念3.2.1平面体的截交线3.2.1平面与平面立体相交

平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。P平面立体截交线的求法1、线面交点法2、面面交线法

将平面立体上参与相交的各条棱线与截平面求交点，并将位于立体同一棱面上的两交点依次连接起来，即为所求平面立体的截交线。

将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求交线，这些交线即围成所求的平面立体截交线。1234SABCD求截交线的作图步骤：1)空间分析及投影分析2)画出截交线的投影a、截平面与立体的相对位置——

确定截交线的形状——

确定截交线的投影特性b、截平面、立体表面与投影面的相对位置

运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。3)整理立体的棱线投影例1三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。s’a’b’c’asbcsa(c)bBAⅠⅡⅢ1231yy23123例2求带切口三棱锥的投影s'ss"b'c'c"b"a"a'bca1"yyyy14"44'233'2'1'3"2"解题步骤1分析截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；2求出截交线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；4整理轮廓线。【例题2】完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。1、空间分析2、投影分析3、投影作图4、整理图线——截交线为平面五边形

截平面为正垂面，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要求的是截交线的水平投影和侧面投影。1′2′3′4′5′513421〞2〞3〞4〞5〞浏览三维动画采用的是哪种解题方法？【例题2】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。5″4″3″2″1″12453676″7″1′2′3′4′5′6′7′1、空间分析：截交线为平面几边形？

——平面七边形2、投影分析：

截交线的正面投影？

——落在截平面的积聚性投影上；截交线的水平投影？——其中六条边落在六棱柱棱面的积聚性投影上，另一条边为截平面与棱柱顶面交于一条正垂线。3、投影作图：采用的是哪种解题方法？4、整理图线：3.2.2直线与平面立体相交

直线与平面立体相交的交点，称为贯穿点。贯穿点的特性如下：1、共有性2、偶数性通过贯穿点的性质可知，求贯穿点的问题，实质上就是求线面交点的问题。1、投影面垂直线与立体相交例题3.6已知三棱锥S-ABC和直线DE的两面投影，求其贯穿点2、直线与棱柱相交例题3.7直线AB贯穿三棱柱，求其贯穿点3、一般位置直线与棱椎相交例题3.8已知直线AB和三棱椎的两面投影，求贯穿点3.2.3同屋面的投影同坡屋面：当各坡屋面与地面的倾角相对称时称为同坡屋顶1.坡屋面各种交线的名称檐口线——坡屋面与墙体的交线如EF、CD、MN等。屋脊线——屋檐平行的两坡屋面的相交线，如AB、JG。斜脊线——两个相邻屋檐相交成凸角时，两坡屋面的交线，如AE、AC、GM、GN等。天沟线——两个相邻屋檐相交成凹角时，两坡屋面的交线如DJ。2.坡屋面交线的水平投影特征1）斜脊线和天沟线的水平投影是相邻两檐口线水平投影的角平分线；2）屋脊线的水平投影平行去于两个相对屋檐的投影，且为两个屋檐间的等分线；3）两斜脊、两天沟或一斜脊和一天沟相交于一点时，在该点必有第三条屋脊线通过。3.同坡屋面投影的作图规律1）根据屋面交线的水平投影特征，画出坡屋面的H投影2）由坡屋面的水平投影和坡屋面的倾角，画出其正面投影和侧面投影。

表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。圆柱圆锥圆球3.3曲面立体的投影1.圆柱

圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。

(1)圆柱的投影(2)圆柱表面上取点()A(D)CBc”d’

()12341″(3″)2″(4″)a″(a′)a1′2′3′4′在圆柱体表面的线和点，可利用圆柱面的积聚性求解。返回圆柱体表面上的线和点2.圆锥

圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相交的轴线旋转而成。(1)圆锥的投影a′aa″返回用素线法在锥面上定点a′aa″返回用纬圆法在锥面上定点返回a′b′c′abc(a″)(b″)c″1″1″2′3′2″3″321圆锥体表面上的线和点3.圆球

球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。(1)圆球的投影(2)圆球表面上取点22’2”m″(m)m’abc(a′)(b′)(c′)a″b″(c″)返回圆球面上的线和点n″n′n返回4、圆环体(a′)a(a″)返回环面上的线和点

一动点沿着圆柱面的直母线作等速移动，同时又绕圆柱面的轴线作等速旋转的合运动轨迹，称为圆柱螺旋线。圆柱螺旋线的画法1、圆柱螺旋线返回3.3.3圆柱螺旋线与螺旋楼梯平螺旋面的画法

直母线沿着圆柱螺旋线和其轴线且平行于与轴线垂直的导平面运动所形成的曲面称为平螺旋面。平螺旋面属于锥状面的一种。返回2、平螺旋面返回中空的平螺旋面画法返回螺旋扶手的画法返回返回螺旋楼梯返回螺旋楼梯的画法返回§9-1螺旋线1圆柱螺旋线的形成

当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。2圆柱螺旋线的画法螺旋线的画法6.2.2平面与曲面立体相交

曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。1.平面与圆柱相交

截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的两条平行直线截平面倾斜于轴线，交线为椭圆截平面垂直于轴线，交线为圆平面与圆柱的截交线两条平行直线垂直于轴线的圆椭圆例4求斜切圆柱的截交线11'1"4"3"2'2"26543ⅦⅧⅥⅤⅢⅣⅠⅡ3‘(4‘)5‘6'5"6"解题步骤1分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求出若干个一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。877'8'7"8"作图步骤：

（1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。

（2）求出截交线上的特殊点。

（3）根据需要求出若干个一般点。

（4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。

（5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。

特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。极限位置点：曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点转向轮廓点：曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。特征点曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。结合点截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。例5求切口圆柱的水平投影和侧面投影。例6求截切圆柱的水平投影和侧面投影。解题步骤1分析截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4整理轮廓线。ⅠⅡⅢⅣ2.平面与圆锥相交圆椭圆两条相交直线双曲线抛物线解题步骤例8已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。1分析截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求出一般点Ⅴ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。例9求正平面与圆锥的截交线。解题步骤1分析截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、ⅡⅢ；3求出一般点ⅣⅤ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。11’1”2”(3”)4”(5”)4’5’2’3’2453例10求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。11’1”2’(3’)2”3”234’(5’)4”5”546’66”3.平面与圆球相交平面与圆球相交,截交线为

圆例11已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。例12求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。3.5两立体相交3.5.1两平面立体相交3.5.2平面体和曲面体相交3.5.3两曲面立体相交3.5.4两曲面立体相贯的特殊情况3.5.1两平面立体相交

立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线,特殊情况下为平面曲线或直线。返回㈠两平面立体相贯线的性质㈡两平面立体相贯线的求法㈢相贯线的可见性平面立体与平面立体相交返回1、相贯线是两立体表面的公有线；相贯线上的点是两立体表面的公有点。2、相贯线的形状为空间多边形。㈠两平面立体相贯线的性质返回求两立体相贯线的方法：1.确定两立体参与相交的棱线和棱面；2.求出参与相交的棱线与棱面的交点；3.依次连接各交点（只有当两个点对于两个立体而言都位于同一个棱面上时才能连接，否则不能连接）4.判别相贯线的可见性。㈡两平面立体相贯线的求法返回

相贯线的可见性取决于相贯线所处立体表面的可见性。若相贯线处于同时可见的两立体表面上，则相贯线可见，画成实线；其它情况下均为不可见，画成虚线。㈢相贯线的可见性例3.18求两四棱柱的相贯线并补画相贯体的W面投影

步骤：1.补全相贯体的W面投影；

2.求横向棱柱棱线与竖直四棱柱表面的交点。利用积聚投影在H面上标注相贯点a、b，并确定其W面的投影；

3.求出a‘

和b’

。同理，可求得其他棱线与竖直四棱柱的相贯点；

4.依次连接各相贯点，并判断其可见性。例3.19已知三棱柱和三棱锥相交，试完成其三面投影例3.19已知三棱柱和三棱锥相交，试完成其三面投影返回㈠平面立体与曲面立体相贯线的性质㈡平面立体与曲面立体相贯线的求法㈢相贯线的可见性3.5.2平面立体与曲面立体相交返回1、相贯线是平面立体和曲面立体表面上的公有线，相贯线上的点是平面立体与曲面立体表面上的公有点；2、相贯线是由若干段平面曲线（截交线）所组成的空间曲线。㈠平面立体与曲面立体相贯线的性质返回1.依次求出平面立体上参与相交的各棱面与曲面立体表面的截交线，这些截交线即围成所求平面立体与曲面立体相贯线。

2.相贯线上的转折点是平面立体上参与相交的棱线与曲面立体的贯穿点。

3.判断可见性。㈡平面立体与曲面立体相贯线的求法返回

相贯线位于平面立体可见棱面上，且同时又位于曲面立体可见曲面上，则相贯线可见，用实线绘制；而其它情况下，相贯线均为不可见，用虚线绘制。㈢相贯线的可见性返回例3.20已知梯型柱和圆锥相交，试完成其三面投影.返回【例题1】求两立体表面交线返回【例题2】求两立体表面交线相贯线性质图例表面取点法求作相贯线的一般步骤

（1）分析首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。

（2）求特殊点。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。

（３）根据需要求出若干个一般点。

（４）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。（５）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。返回（一）两曲面立体相贯线的性质（二）两曲面立体相贯线的求法（三）相贯线的可见性（四）特殊相贯线3.5.2求两曲面立体的相贯线返回1、相贯线是两曲面立体表面的公有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的公有点；2、一般情况下，相贯线为封闭的空间曲线。㈠两曲面立体相贯线的性质

作出相贯线上足够的公有点，然后用光滑曲线依次连接各点。在求公有点时，首先求出相贯线上的特殊点（最高点、最低点、最左点、最右点、最前点、最后点和转向轮廓线上的点），然后在适当的位置作出一般点。2、辅助平面法1、利用曲面的积聚投影法（表面取点法）相贯线上公有点的求法：返回㈢两曲面立体相贯线的求法例1已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac圆