第四章平均数比较与T检验

第四章平均数比较与T检验第一节假设检验的理论要点均值不相等的两个样本不一定来自均值不同的总体，能否用样本均数估计总体均数，两个变量均数接近的样本是否来自均值相同的总体，换句话说，两个样本某变量均值不同，其差异是否具有统计意义，能否说明总体差异。这些都是各种研究工作中经常提出的问题，均值比较可以解决这些问题。

对来自正态总体的两个样本进行均值比较常使用T

检验的方法，T检验要求两个被比较的样体来自正态总体，两个样本方差相等与不等时使用的计算t值的公式不同。在独立样本T检验中还要用到进行方差齐次性检验的F

检验，这就要用到假设检验的基本理论了。假设检验的基本思想

前提：承认原假设小概率事件发生大概率事件发生拒绝原假设接受原假设进行一次实验一、零假设和备择假设

在研究之前不知其结果，可根据已有经验或理论对预期的结果做出假定性的说明，即假设。假设检验一般要提出两个相互对立的假设：一个叫零假设，另一个叫备择假设。1、零假设所谓零假设，就是关于样本所属总体（指参数值）与假设总体（指参数值）之间无差异的假设也叫做原假设、虚无假设、解消假设。零假设是假设检验中希望拒绝的假设。2、备择假设所谓备择假设就是和零假设相反的假设。指的是关于当前样本所属的总体（指参数值）与假设总体（指参数值）有差异的假设，是研究者根据样本信息期待证实的假设，是否定了零假设后应当采取的假设，也叫做研究假设、对立假设。记为：假设检验总是从零假设开始的，然后，看有多大的把握拒绝零假设。如果拒绝零假设的把握非常大，则应该拒绝零假设，接受备择假设，认为样本所属总体的参数与假设总体参数有显著性差异，即本质差异；如果拒绝零假设的把握不大，或者说，若拒绝零假设犯错误的概率太大，则只好保留零假设，认为样本所属总体的参数与假设总体参数没有显著性差异，即本质差异。假设检验的两大特点：（1）根据一定的概率来下结论；（2）采用反证法。二、小概率事件样本统计量的值（随机事件）在其抽样分布上出现的概率小于或等于事先规定的水平，这时，就认为小概率事件发生了。把出现小概率的随机事件称为小概率事件。例如，假设某个样本所来自的总体等于假设的总体。于是，可以分析如果零假设是真实的，那么样本统计量的分布如何。并且，可以按照事先规定的水平把抽样分布分成两个区域，一个属于零假设的保留区域（出现的概率比较大），另一个为零假设的拒绝区域，出现的概率比较小（落在这个区域的事件都属于小概率事件）。然后，实际分析所获得的这个样本统计量值，看它落入哪个区域。如果出现的概率足够小，属于小概率事件，就根据小概率事件在一次抽样中几乎不可能发生原理，从实际可能性上，推翻零假设。由此可见，小概率事件发没发生，是拒绝或保留零假设的依据。三、显著性水平统计学中把这种拒绝零假设的概率称为显著性水平，表示为：也可以说，显著性水平是统计推断时，可能犯错误的概率。值和可靠度之间的关系是：两者之和为1。值越大，可靠度就越低；值越小，可靠度就越高。P值与H0的关系P值H0成立概率大小差异显著程度P小于或者等于0.01H0成立概率极小差异非常显著P小于或者等于0.05H0成立概率较小差异显著P大于0.05H0成立概率较大差异不显著四、假设检验的形式和步骤：1、形式：双侧检验只强调差异不强调方向的检验为双侧检验。所提出的假设检验的问题是是否一样、相同、有差异等等。单侧检验既检验差异又考虑差异的方向的检验为单侧检验。具体来说，又分为左侧检验和右侧检验。左侧检验所提出的假设检验的问题是否低于、差于总体平均数等等。右侧检验所提出的假设检验的问题是否高于、优于、超过总体平均数、有效等等。2、假设检验的程序第一，提出原假设和备择假设第二，确定适当的检验统计量根据样本的大小、总体方差是否已知，选择适当的检验统计量。第三，规定显著性水平是当原假设为正确时人们却把它拒绝了的概率或风险。是由人们确定的，当a取0.05时，表明作出接受原假设的决定时，其正确的可能性（概率）为95%。第四，计算检验统计量的值及相伴概率P值第五，作出统计决策将相伴概率P值与规定的显著性水平a比较，作出接受原假设还是接受备择假设的决策。第二节单一样本和两个样本T检验

对来自正态总体的两个样本进行均值比较常使用T检验的方法，T检验要求两个被比较的样体来自正态总体，两个样本方差相等与不等时使用的计算t值的公式不同。方差齐性检验是统计分析中的一种常见过程，它是从样本方差以至样本各自所代表的总体方差是否相同而判断两个样本同质性（homogeneity)的方法。简单地说，方差齐性检验就是检验各个方差是否存在显著性差异。一般采用Levene方法：先将各组观测值均转换为离差绝对值，然后对各组离差绝对值进行方差分析，如果方差分析的结果中p>0.05，则认为方差齐性（即方差具有相同性）；方差分析的结果中p<0.05，则认为方差不齐性（即方差具有不同质性）。

一、T检验的适应条件

t检验是用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。它与Z检验、卡方检验并列。t检验的适用条件：1、已知一个总体均数；2、可得到一个样本均数及该样本标准差；3、样本来自正态或近似正态总体。二、单一样本T检验t检验分为单总体检验和双总体检验。单总体t检验时检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异是否显著。当总体分布是正态分布，如总体标准差未知且样本容量小于30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。单总体t检验统计量为：

(df=n-1)

例：某种生产浴皂机器的设计规则为每批平均生产120块肥皂，超过或低于这个标准都是不合理的。如下有10批产品组成的样本，且假定总体服从正态分布。见肥皂生产.sav108118120122119113124122120123显著性水平a为0.05，通过该样本检验，分析是否该生产过程运作正常从检验结果可以看出，t统计量的值为-0.705，相伴概率值P（sig.——significance）为0.498>0.05，因此不能拒绝H0的原假设（120的检验值），显著性差异不大，结果表示该生产过程较正常。三、独立样本t检验双总体t检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显著。双总体t检验又分为两种情况，一是独立样本t检验，一是配对样本t检验。独立样本(IndependentSample)是指两个样本彼此独立，没有任何关联。例如实验组与控制组、男生组与女生组、高收入组与低收入组、旅游学院与外国语学院等。但这里的独立样本是广义的独立，仅是指非关联变量。两独立的样本各接受相同的测量，研究者的兴趣在比较两批样本群在测量结果总体上是否存在差异。独立样本中，所有观测都是独立的，即具体个别样本的顺序可以变化的，与变量无关。独立样本t检验统计量为：

其中：称为联合方差

例：某研究机构分别对20款中型及小型汽车进行安全性测试，较低的分数意味着安全性更高。数据见文件要汽车安全性测试.sav，求使用两独立样本T检验来比较中型和小型汽车的安全性有无差异。检验结果分析：首先，如果F检验的P>α，则不能拒绝F检验的H0，认为方差齐性；其次看第一行的t检验概率。如果≤α，则拒绝t检验的H0，认为两总体均值有显著差异；如果>α，则不拒绝t检验的H0，认为两总体均值不具有显著差异。那么，如果F检验的P≤α，则拒绝F检验的H0，认为方差不齐性；其次看第二行的t检验概率。其余同上。针对本例，由于F检验中sig.值大于0.05，因此根据第一行t检验显著性概率为0.000，即认为中型汽车和小型汽车的安全性得分有显著性差异。四、配对样本Ｔ检验配对样本（PairedSample）或相关样本（CorrelatedSample），指两个样本的观测值之间彼此有关联，如同一批被试者接受两种实验条件，即同一批观测对象接受两种不同的测量。对于此类样本，研究者所感兴趣的是二次测量之间是否存在差异。如实验前和实验后的测量，即具体个别样本的顺序不可以变化的。配对样本t检验统计量为：

(df=n-1)其中r为相关系数案例见减肥食品效果.sav配对样本的t检验一般不需要事先进行方差齐性检验。因为配对样本是成对数据，即两组数据存在对应关系，没有必要考虑由两个样本方差共同估计总体方差(联合方差)。本例中，t检验显著性相伴概率p值为0.001，差异非常显著，即减肥效果明显。五、T检验注意事项1、选用的检验方法必须符合其适用条件(t检验的前提是资料服从正态分布)。理论上，即使样本量很小时，也可以进行t检验。（如样本量为10，一些学者声称甚至更小的样本也行），只要每组中变量呈正态分布，两组方差不会明显不同。如上所述，可以通过观察数据的分布或进行正态性检验估计数据的正态假设。方差齐性的假设可进行F检验。如果不满足这些条件，只好使用非参数检验代替t检验进行两组间均值的比较。2、区分单侧检验和双侧检验。单侧检验的界值小于双侧检验的界值，因此更容易拒绝，犯第1错误的可能性大，即t检验中的p值是接受两均值存在差异这个假设可能犯错的概率。3、假设检验的结论不能绝对化。当一个统计量的值落在临界域内，这个统计量是统计上显著的，这时拒绝虚拟假设。当一个统计量的值落在接受域中，这个检验是统计上不显著的，这是不拒绝虚拟假设H0。因为，其不显著结果的原因有可能是样本数量不够拒绝H0，有可能犯第1类错误。4、正确理解P值与差别有无统计学意义。P越小，不是说明实际差别越大，而是说越有理由拒绝H0，越有理由说明两者有差异，差别有无统计学意义和有无专业上的实际意义并不完全相同。5、假设检验和可信区间的关系结论具有一致性差异：提供的信息不同区间估计给出总体均值可能取值范围，但不给出确切的概率值，假设检验可以给出H0成立与否的概率。

第三节单因素方差分析问题的提出通过参数检验可以解决两两总体均值的比较，那么多个总体均值的检验如何作？(如：北京、上海、广州周岁儿童平均身高的比较）。这可以利用方差分析的方法来实现一、方差分析的基本问题

（一）方差分析的内容定义：方差分析就是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。方差分析作为一种统计方法，是把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。因而它所依据的基本原理是变异的可加性。不同来源的变异只有当它们可加时，才能保证总变异分解的可能。具体地讲，它是将总平方和分解为几个不同来源的平方和(这里的平方和指实验数据与平均数离差的平方和)。方差分析包括：1、单因素方差分析2、多因素方差分析3、协方差分析单因素方差分析：对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法叫单因素方差分析。单因素方差分析是两个样本平均数比较的延伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。二、方差分析的原理（一）数据差异的来源1、因素的水平不同（系统性差异）；2、随机因素（随机性差异）。（二）数据差异的度量1、水平之间的方差（组间方差）——系统性因素和随机因素的共同作用。2、水平内部的方差（组内方差）——随机性因素的作用。（三）方差分析的基本思想：如果因素对结果没有影响，那么水平间的方差就只含随机性差异而没有系统性差异，其值与水平内部方差就应该很接近，两个方差的比值就会接近于1；反之，水平间方差就同时包含系统性差异和随机性差异，两个方差的比值就会明显大于1，当这个比值大到某个程度（比如说大于某个临界值）就可以作结论：不同水平间存在显著差异。三、检验统计量1、方差分析的统计假设：；2、检验的统计量：组间均方差与组内均方差之比

是一个统计量，服从分布（

Distribution）。至少两个总体的均值不等四、单因素方差分析目的与相关术语(一)目的检验某一个控制因素的改变是否会给观察变量带来显著影响。例如：考察不同肥料对某农作物亩产量是否有显著差异。考察妇女生育率在不同地区是否有显著差异。考察不同学历是否对工资收入产生显著