第十五章1位移法a

第十五章

位移法

1主要内容1位移法基本概念2位移法的基本结构和基本未知量3等截面直杆的转角位移方程4位移法典型方程5直接利用平衡条件建立位移法方程6位移法与力法联合应用2§15.1位移法的基本概念

力法是分析超静定结构的最基本也是历史最悠久的方法。它是以结构的多余力作为基本未知量，首先根据变形协调条件求出多余力，然后再求出其它反力、内力和变形。

位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以结点的平衡条件作为补充方程，首先求出结点位移，然后再求出其它反力、内力。求解未知量的顺序正相反。

作为入门，我们先看一个简单的例子。以便更具体地了解位移法解题的基本思路。如图示对称桁架，承受对称荷载Fp作用。由于对称，结点B将仅有竖向位移。在位移法中，基本未知量为。取结点B为隔离体如图(b)所示，设第i根杆的受拉力为FNi，由静力平衡条件，得(a)图(a)Fpii图(b)Fp3另一方面，考虑任一根杆i，设其伸长量为ui，由几何关系得iiui图(c)(b)由虎克定律得图(a)Fpii图(b)Fp(a)

(c)则：(d)上式就是拉压杆的刚度方程，它反映了杆端力FNi与杆端位移ui之间的关系。把(d)式代入(a)式得4(e)上式就是位移法的基本方程，它反映了结构的结点位移与结构的结点荷载之间的关系。由基本方程得(f)至此完成了位移法的关键一步，即在外荷载的作用下，结构的结点位移求解。各杆的内力也可以确定(g)5上面简要地介绍了位移法解题的过程，其要点如下位移法的基本未知量是结点位移；位移法的基本方程实质是结点沿基本未知量方向的平衡方程；求解基本方程后，即可求出各杆的内力。6§15.2位移法的基本结构和基本未知量

上节中以简单桁架为例说明了位移法的基本要点，下面讨论如何将位移法应用于刚架计算。如图(a)所示由两根杆组成的刚架。Z112图(b)Z1Fp31Z1图(c)

如果能求出转角Z1，则各杆（12杆、13杆）的内力均可按前面的力法求得。因此，在位移法中，以结点位移Z作为基本未知量，并以单跨超静定梁作为基本计算单元，由此可知，用位移法分析刚架时，需要解决下面三个问题：(1)位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量）(2)单跨超静定梁分析(3)相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。图(a)123Fp7

在本节中，我们讨论第一个问题，位移法的基本未知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题，后面讨论。

为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁，可以在原刚架的结点上引入某些附加约束如：附加的刚臂（阻止结点转动的约束）或附加链杆（阻止结点线位移的约束），使其变成固定端或铰支端，所得的结构即为位移法计算时的基本结构。而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为基本结构时所附加的刚臂和附加链杆数目之和。这样，在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本未知量的数目。如：8附加刚臂一个基本未知量基本结构附加链杆两个基本未知量基本结构三个基本未知量基本结构9基本结构三个基本未知量EAEA两个基本未知量基本结构若：EA=？0个基本未知量10

超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。

力法的特点：基本未知量——多余未知力基本体系——静定结构基本方程——位移条件（变形协调条件）

位移法的特点：基本未知量——

基本体系——

基本方程——

独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁11基本未知量的选取2、结构独立线位移：（1）忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。

CDABCD12每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：1、结点角位移数：结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。12线位移数也可以用几何方法确定。140

将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。13§15.5等截面直杆的转角位移方程（物理方程）

前面曾提到，位移法分析刚架的基本计算单元为单跨超静定梁，因此，需事先知道这种梁在杆端位移和荷载作用下的杆端内力情况。1杆端位移引起的杆端力

如图(a)所示两端固定梁AB，已知A端位移是vA、A，B端位移是vB、B，求该梁的杆端力MAB、QAB、MBA、QBA。图中的位移方向均为正方向。把变形分解，首先考虑杆端弯矩作用下的杆端转角，如图(b)所示。(a)上式中，称为杆的线刚度。其次，因杆端线位移引起的杆端转角为(b)图(a)ABxyAvABvBA’B’vAvB’’MABFQABFQBAMBAMABMBA图(b)14则杆端的最终转角为(c)由上式解得(d)由静力平衡条件可求得杆端剪力为(e)为了便于后面应用，下面讨论在B端具有不同支承条件时的杆端位移与杆端力的关系。15(1)B端为铰支，如图(c)所示FQAB图(c)ABxyMABFQBA此时，在(c)的第一式中，令得由平衡条件得(h)(f)(c)16(e)(d)(2)B端为定向支承，如图(d)所示。

图(d)ABxyMABMBA此时，,且在(e)的得由(d)式得(i)172荷载引起的杆端力

书中P117179页表7-1给出了常见约束情况下荷载引起的杆端弯矩（顺时针为正）和杆端剪力（对杆内任一点产生顺时针矩的为正）的大小，使用时可直接查表（该表是用前面的力法求得的）杆端弯矩用MFAB、MFBA表示；杆端剪力用FFQAB、FFQBA表示。如：ABMABMBAFQABFQBAFpa/2a/2183等截面单跨超静定梁的转角位移方程

若等截面梁同时承受已知的杆端位移和荷载共同作用，则由叠加原理易求得最终的杆端力为(1)两端为固定

(17-1)这就是两端固定等截面直杆的转角位移方程。ABxMABMBAFQABFQBAy19(2)A端为固定，B端铰支

(17-2)这就是A端为固定、B端铰支等截面直杆的转角位移方程。(3)A端为固定，B端定向FQABABxyMABFQBAABxyMABMBA(17-3)这就是A端为固定、B端定向等截面直杆的转角位移方程。20位移法要点：1）位移法的基本未知量是结点位移；2）位移法以单根杆件为计算单元；3）根据平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。4）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。这就将复杂结构的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。位移法计算刚架时的特点：1）基本未知量是结点位移；2）计算单元是一组单跨超静定梁；3）位移法方程是根据平衡条件建立的。应用位移法求解刚架需要解决三个问题：①单跨超静定梁的内力分析；②位移法基本未知量的确定；③位移法方程的建立与求解。①把结构拆成杆件（物理条件）②把杆件装成结构（变形协调、平衡）21由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i－i022由跨间荷载引起的载常数单跨超静定梁简图mABmBAAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABPAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABl/2l/2P23↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m25kN.m32kN4m4m2m2mABCDE2EIEIEIEI2i=111直接平衡法的计算步骤：1）确定位移法的基本未知量。（铰结点、铰支座的转角，定向支座的侧移不作为基本未知量）。2）由转角位移方程列杆端弯矩表达式。3）由平衡条件列位移法方程。4）解方程，求结点位移。5）将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。6）校核（平衡条件）24§15.4位移法典型方程1无侧移刚架的计算

指无结点线位移（不包括支座处）的刚架。

无侧移刚架：首先我们来分析最简单的无侧移刚架位移法典型方程的建立。a/2EI2EI1Fpa/2a图(a)Z1Fp1图(b)基本结构=

FpR1p1图(c)约束结点+R11图(d)放松结点1Z1

显然位移法的基本未知量仅有一个，1号结点的转角Z1。在1号结点引入刚臂得位移法基本结构如图(b)所示。第一步：约束刚臂使沿Z1方向上无转动，在荷载的作用下，此时附加刚臂上将产生反力矩R1p，如图(c)所示。第二步：使基本结构的1结点发生与原结构相同的转角Z1，此时附加刚臂上的力矩为R11，如图(d)所示。应用叠加原理，(c)+(d)，则刚臂上的约束力矩为25设：沿Z1方向上单位转角时，刚臂上的力矩为r11，则代入(a)式得(a)(17-4)这就是一个基本未知量时的位移法典型方程。r1111Z1Fp1图(b)基本结构=FpR1p1图(c)约束结点+R11图(d)放松结点1Z126对于本题：图(e)图32EI/a4EI/a2EI/a4EI/ar1132EI/aFpR1p1图(f)Mp图3Fpa/16R1p-3Fpa/16代入典型方程得求出结点1的转角后，任一截面的内力和反力由叠加原理得(17-5)27例1如图示两跨连续梁，做M图(EI=常数)。解：一个基本未知量Z1图(b)基本结构位移法基本方程为设q=2kN/mFp=20kNABC图(a)3m3m6m图(c)

图4i2i3i∵图(d)Mp图15159930∴28由得最终M图如图(e)所示。图(e)M图(kN.m)11.5793016.71图(c)

图4i2i3i图(d)Mp图1515993011.5793016.71图(e)M图(kN.m)29例

用位移法计算图示连续梁，EI=常数。解：（1）有一个基本未知量，基本体系如图（2）位移法方程2i3i（3）求系数项和自由项4i（4）求解位移法方程（5）作内力图作Q图2位移法典型方程的一般形式

对于具有n个基本未知量的刚架，用完全相同的方法，可以得到相应的n个基本未知量的典型方程为(17-7)写成矩阵的形式为(17-8)上式中，{Z}为结点位移列向量；{Rp}为荷载列向量；[r]为刚度系数矩阵。32注意：(1)rij的物理意义为沿第j个位移Zj方向上单位位移（其余的位移分量全为零）时，在Zi方向上所产生的约束反力；(2)

rij=

rji

满足反力互等定理；(3)

rii>0。33例2如图示刚架，做M图。解：基本未知量2个，基本结构如图(b)所示。位移法典型方程为令：i=EI/l

Fp图(b)基本结构5Fp

Z1

Z2

Fp=2kN图(a)EIEIEI

EI=

kM

l=4m

l/2

l/2

llABCDE5Fp

图(e)Mp图0.57.57.5R1p

R2p

求系数已知：EI=常数，34代入典型方程得图(c)图r11

r21

图(d)

图4i2ir12

r22

2i4i4i2i3i3i解之得；叠加法求任一截面的弯矩35最终M图如图(f)所示。图(f)M图（kN.m）0.0950.050.170.190.367.647.6410图(c)图2i4i4i2i3i3i图(d)

图4i2i图(e)Mp图0.57.57.5ABCDE；0.0950.050.170.190.367.647.6410图(f)M图（kN.m）36qll/2l/2EI=常数qllqlqlZ1Z2=1R2R1R1=0R2=0Z1=1r12r21r22r11qlqlR1PR2PM2MPM1r11r12R1Pr21r22R2P例37例1.作M图ll/2lllEI1.5EIEIEIZ1Z2R2R1R1=0R2=0解:38ll/2lllEI1.5EIEIEIZ1Z2R2R1Z1=1r11r21M1Z2=1r22r12M2R1PR2PMPr11r12R1Pr21r22R2P39ll/2lllEI1.5EIEIEIZ1=1r11r21M1Z2=1r22r12M2R1PR2PMPM校核平衡条件40例2.作M图Z2R2R1=0R2=0解:lEIPllEIEI2EIR1Z1Pr21r11Z1=1Z2=1r22r12R2PR1PP3i/l12i/l12i/l3i/lM18i4i3iM2MPr11r12R1PPr21r22R2P0.24Pl0.13Pl0.39PlM41例3.作M图，EI=常数R1=0解:PllllZ1R1PM14iZ1=1r112i3iiMPR1PPPlr11R1PPM42例4.作M图，EI=常数R1=0解:R2=0PlllPllllPPZ2Z143R1=0解:PlllPZ2Z1M1r11Z1=1r21M211=+R2PPR1PMPR2=0r22r12AR2PAPr12r22Z2=144例5.作M图解:PlllEIlEIEIEIEIPZ2Z1Z1=1M1M2Z2=1r11r21r22PMP45作M图，EI=常数R1=0练习1:M14iZ1=1r112i3iir11llllZ1R1PMPR1PM46作M图，EI=常数R1=0练习2:Plllll/2l/2lP/2P/2P/2Z1=1M1MPP/2Z147作M图R1=0练习3:lllEIEI2EIZ1M16i/lZ1=1MP481)建立位移法基本体系,列出典型方程EI=常数练习4:llllZ4Z2Z3Z12)求出典型方程中系数r14,r32,R4P。492)求出典型方程中系数r14,r32,R4P。Z4Z2Z3Z13i/lZ4=1r146i/l3i/l6i/lM4R4P=-ql/23ir324i3i6i/lM2Z2=12ir14=-3i/lR4PMPr32=2i5016.7211.57915159F1P159F1P=15－9=6Δ1=12i4i3ik114i

3i

k11=4i+3i=7i30M