第六节Rn 的标准正交基

向量空间的基第六节Rn的标准正交基向量的长度向量的内积标准正交基正交矩阵1.基的定义定义2.16在Rn中，称任意n个线性无关的向量1,2,…,n为Rn

的一组基.显然Rn中的向量组1=(1,0,…,0)T,2=(0,1,…,0)T,…,n=(0,…,0,1)T为Rn的一组基，一般称1,2,…,n为Rn的标准基或自然基.类似地，1=(1,0,…,0)T,2=(1,1,…,0)T,…,n=(1,1,…,1)T也是Rn的一组基.一、向量空间的基2.向量在基下的坐标定义2.17设1,2,…,n为Rn

的一组基，则对于任意Rn，可以表为1,2,…,n的线性组合，且表示法唯一，使=a11+a22+…+ann即存在a1,a2,…,anR,

则称组合系数a1,a2,…,an为在基1,2,…,n下的坐标，记作(a1,a2,…,an).例1分别求向量=(d1,d2,…,dn)T

Rn，在标准基1,2,…,n和基1=(1,0,…,0)T,2=(1,1,…,0)T,…,n=(1,1,…,1)T下的坐标.二、向量的内积1.内积的定义定义2.18设

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2…,bn)T为Rn中的两个向量，则称为向量与的内积.2.内积的性质(1)T=T;(2)(k)T=kT;(3)(+)T=T

+T;(4)T0

,且T=0

=0

.三、向量的长度1.长度的定义定义2.19设

=(a1,a2,…,an)T

Rn

，称

为向量的长度(或模)，记作||||.即如果||||=1，则称为单位向量.2.长度的性质(1)||||0

,且||||=0

=0

;(2)||k||=|k|·||||;(3)

|T|||||·||||,且|T|=||||·||||

,线性相关.其中

,为Rn中的向量，kR.3.非零向量的单位化若0，则为单位向量或标准化向量.四、标准正交基1.正交向量组的定义定义2.20

设,Rn,如果T=0，则称向量,正交.定义2.21

如果一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零向量)

1

,2

,

…,s

(s2)中的向量两两正交，则称

1

,2

,

…,s为一个正交向量组.如果一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为正交单位向量组.显然,(1)Rn中的零向量与任意向量都正交(2)T=0

=0(3)T=0

cos=0或即与

相互垂直.2.正交向量组的性质定理2.17

设

1

,2

,

…,s是一个正交向量组，则

1

,2

,

…,s线性无关.3.标准正交基的定义定义2.22

如果Rn中的n个向量1

,2

,…,n满足以下两个条件：(1)1

,2

,

…,n中任意两个向量都正交；(2)||j||=1,j=1,2,…,n,则称1

,2

,

…,n为Rn的一个标准正交基.4.标准正交基的求法定理2.18

设

1

,2

,…,s(s

2)是Rn中的一个线性无关的向量组，令则1

,2,…,s

是一个正交向量组，并且满足{1

,2,…,s

}{1

,2

,…,s

}.1

,2,…,n标准化(或单位化)，即令就得到Rn的一组标准正交基1

,2,…,n.例2利用schmidt正交化方法将下列向量组化为正交单位向量组1

=(1,1,1,1)T,2

=(3,3,-1,-1)T,3

=(-2,0,6,8)T

五、正交矩阵1.定义定义2.23

设A为一个n阶实矩阵，如果A满足ATA=E则称A为一个n阶正交矩阵.2.矩阵为正交矩阵的条件定理2.19n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A可逆，并且A-1=AT.推论

n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是AAT=E.n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是