第4章线性规划

第四章线性规划模型4.1两个引例4.2

线性规划基本理论4.3

用MATLAB优化工具箱解线性规划

4.4加工奶制品的生产计划建模及Lingo软件求解问题一：

任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？4.1

两个引例解

设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型：

解答问题二：

某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？解设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,则应付检验员的工资为：因检验员错检而造成的损失为：故目标函数为：约束条件为：线性规划模型：解答返回1.线性规划的标准形式：用单纯法求解时，常将标准形式化为：2.线性规划的基本算法——单纯形法4.2

线性规划的基本理论引入松弛变量x3,x4,x5,将不等式化为等式,即单纯形标准形:

若可行基进一步满足:cN–cBB-1N≥0,即:cBB-1N-cN≤0则对一切可行解x,必有f(x)≥cBB-1b,此时称基可行解x=(B-1b,0)T为最优解.

3.最优解的存在性定理将A的列向量重排次序成A=(B,N),相应x=(xB,xN)T,c=(cB,cN)基对应的变量xB称为基变量,非基对应的变量xN称为非基变量.定理1如果线性规划(1)有可行解，那么一定有基可行解.定理2如果线性规划(1)有最优解，那么一定存在一个基可行解是最优解.4.3用MATLAB优化工具箱解线性规划minz=cX

1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）2、模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若没有不等式：存在，则令A=[]，b=[].3、模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]

x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）

注意：[1]若没有等式约束:,则令Aeq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始点4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.解编写M文件xxgh1.m如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMatlab(xxgh1)解:编写M文件xxgh2.m如下：c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMatlab(xxgh2)S.t.改写为：例3问题一的解答

问题编写M文件xxgh3.m如下:f=[1391011128];A=[0.41.110000000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[100100010010001001];beq=[400600500];vlb=zeros(6,1);vub=[];[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMatlab(xxgh3)结果:x=0.0000600.00000.0000400.00000.0000500.0000fval=1.3800e+004即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800。例2问题二的解答

问题改写为：编写M文件xxgh4.m如下：c=[40;36];A=[-5-3];b=[-45];Aeq=[];beq=[];vlb=zeros(2,1);vub=[9;15];%调用linprog函数：[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMatlab(xxgh4)结果为：x=9.00000.0000fval=360即只需聘用9个一级检验员。

注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数。故它是一个整数线性规划问题。这里把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数规划的最优解。若用线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解。返回企业生产计划

4.4

加工奶制品的生产计划建模及Lingo软件求解工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划.时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划.

加工奶制品的生产计划1桶牛奶

3kgA1

12h

8h

4kgA2

或获利24元/kg获利16元/kg50桶牛奶时间480h至多加工100kgA1

制订生产计划，使每天获利最大35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?A1的获利增加到30元/kg，应否改变生产计划？每天：问题1桶牛奶3kgA1

12h8h4kgA2

或获利24元/kg获利16元/kgx1桶牛奶生产A1

x2桶牛奶生产A2

获利24×3x1

获利16×4x2

原料供应

劳动时间

加工能力

决策变量

目标函数

每天获利约束条件非负约束

线性规划模型(LP)时间480h至多加工100kgA1

50桶牛奶每天基本模型模型分析与假设

比例性可加性连续性xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关xi取值连续A1,A2每千克的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工A1,A2的数量,时间是与各自产量无关的常数A1,A2每千克的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工A1,A2的数量,时间是与相互产量无关的常数加工A1,A2的牛奶桶数是实数线性规划模型模型求解

图解法

x1x2OABCDl1l2l3l4l5约束条件目标函数

z=0z=2400z=3360z=c(常数)~等值线c在B(20,30)点得到最优解.目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线最优解一定在凸多边形的某个顶点取得.模型求解

软件实现

LINGOmodel:max=72*x1+64*x2;[milk]x1+x2<50;[time]12*x1+8*x2<480;[cpct]3*x1<100;end

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2

VariableValueReducedCost

X120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000

20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元.结果解释

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000

MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000

model:max=72*x1+64*x2;[milk]x1+x2<50;[time]12*x1+8*x2<480;[cpct]3*x1<100;end三种资源“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）原料无剩余时间无剩余加工能力剩余40结果解释

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量影子价格35元可买到1桶牛奶，要买吗?35<48,应该买！聘用临时工人付出的工资最多每小时几元?2元！原料增加1单位,利润增长48时间增加1单位,利润增长2加工能力增长不影响利润Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX172.0000024.000008.000000X264.000008.00000016.00000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecreaseMILK50.0000010.000006.666667TIME480.000053.3333380.00000CPCT100.0000INFINITY40.00000

最优解不变时目标函数系数允许变化范围敏感性分析(“LINGO|Ranges”)

x1系数范围(64,96)

x2系数范围(48,72)

A1获利增加到30元/kg，应否改变生产计划?x1系