第九章双向方差

第九章方差分析（二）：

双向方差分析第一节随机区组设计的两因素方差分析随机化区组设计(randomizedblockdesign)：将全部受试对象按某一个重要的属性（即区组因素）分组，把条件最接近的a个受试对象分在同一个区组内，然后用完全随机的方法，将每个区组中的全部受试对象分配到a个组中去。例9.1采用随机区组设计方案，以窝作为区组标志，给断奶后的小鼠喂以三种不同的营养素A、B和C。四周后检查各种营养素组的小鼠所增体重（g）。资料见下表，试比较不同营养素对小鼠体重增加的差别。

三种营养素喂养四周后各小鼠所增体重（g）营养素分组（i）按区组求和1（A）2（B）3（C）njXij

157.064.876.03197.8255.066.674.53196.1362.169.576.53208.1474.561.186.63222.2586.791.894.73273.2642.051.843.23137.0771.969.261.13202.2851.548.654.43154.5ni88824

Xij500.7523.4567.01591.1Xi62.665.370.966.3Xij232783.435459.142205.0110447.5

i区组（j）jj1.变异的分解

SS总=（Xij-X）2

=（Xij-Xi-Xj+X+Xi-X+Xj-X）2=（Xi-X）2+（Xj-X）2

+（Xij-Xi-Xj+X

）2ijijijijij===SS处理SS区组SS误差其中：X=（Xij）/N，N=na

Xi=（Xij）/n，i=1，2，

···，aXj=（Xij）/a，j=1，2，

···，n总=N-1=（a-1）+（n-1）+(a-1)(n-1)ijji===处理区组误差2.分析计算步骤（1）建立检验假设和确定检验水准H0：三种营养素喂养的小鼠体重增量相等H1：三种营养素喂养的小鼠体重增量不全相等=0.05（2）计算F值SS总=（Xij-X）2=Xij2-=110447.51-1591.12/24=4964.21

SS处理

=（Xi-X）2=ni（Xi-X）2=-

=(500.72+523.42+567.02)/8-1591.12/24=283.83

SS区组

=（Xj-X）2=（Xj-X）2=-

=（197.82+196.1+···+154.52)/3-1591.12/24=3990.31SS误差=SS总-SS处理-SS区组=4964.21-283.83-3990.31=690.07ijijijiijji(Xij）

2ijNi(Xij）2

jn(Xij）

2ijN(Xij）2

iaj(Xij）

2ijN总=N-1=24-1=23处理=a-1=3-1=2区组=n-1=8-1=7误差=(a-1)(n-1)=27=14MS处理=SS处理/

处理=283.83/2=141.92MS误差=SS误差/

误差=690.07/14=49.29F=MS处理/

MS误差=141.92/49.29=2.88（3）确定P值和作出推断结论：

F0.05（2，14）=3.74，F=2.88<F0.05（2，14），P>0.05。在=0.05水准上不拒绝H0，尚不能认为三种营养素喂养的小鼠体重增量有差别。区组间差别的检验：H0：8个区组的小白鼠体重增量相等H1：8个区组的小白鼠体重增量不全相等=0.05MS区组=SS区组/

区组=3990.31/7=570.04F=MS区组/

MS误差=570.04/49.29=11.56F0.05（7，14）=2.77，F0.01（7，14）=4.28，F=11.56>F0.01（7，14），P<0.01。在=0.05水准上拒绝H0，接受H1，可以认为8个区组的小白鼠体重增量不全相等。SPSS演示随机区组设计资料的方差分析:例9.1

ViewVariable:ViewData:AnalyzeGeneralLinearModelUnivariate…DependentVariable:xFixedFactors:abModel…SpecifyModel:CustomBuildTerms:MaineffectsModel:abContinuePostHoc…PostHocTestsfor:a

EqualVariancesAssumed:S-N-KContinueOKUnivariateAnalysisofVariance第二节数据变换一.对数变换(logarithmtransformation)Y=lgX常用于：1）使服从对数正态分布的数据正态化。如生长率、变化速度、抗体滴度等。2）使数据达到方差齐性，特别是各样本的标准差与均数成比例时。例：为了诊断某种疾病需要测量一项指标，现用4种不同的方式来测量这一指标，以增加诊断的可靠性。表1是对4名健康人测得的数据。试检验4种测量方式有无差异？表1用4种方式对4人测得的某指标值测量方式A1A2A3A4对象123440000001500000100000001000002200013000300008500600034001600052007807201900550均数标准差39000004374928.6183759568.876505671.9987.5616.1表2表1资料的方差分析变异来源SSMSF临界值测量方式间测量对象间误差总4.5410131.4510134.29101310.281013339151.5110134.8310124.7710123.171.01F0.05=3.50表3经对数变换后的数据测量方式A1A2A3A4对象12346.606.187.005.006.200.864.344.114.483.934.220.243.783.534.203.723.810.282.892.863.282.742.940.23均数标准差表4表2资料的方差分析变异来源SSMSF临界值测量方式间测量对象间误差总25.5622.731.701.13339157.580.570.1358.314.38F0.01=6.99F0.05=3.86二.平方根变换(squareroottransformation)Y=X常用于：1）使服从Poisson分布的计数资料正态化，如水中细菌数的分布、放射性物质在单位时间内放射的次数等。2）当各样本的方差与均数呈正相关时，可使数据达到方差齐性。例：下面的表1资料是3组小白鼠在注射某种同位素24h后脾脏蛋白质中放射性强度的测定，试问芥子气和电离辐射对同位素进入脾蛋白质是否起抑制作用？表1小白鼠注射某种同位素后脾脏蛋白质中放射性的测定窝别XY=X对照组芥子气中毒组电离辐射组对照组芥子气中毒组电离辐射组12345678910Xs23817671181076.88.816053476634.15.413031254522.62.91.732.831.002.652.452.653.322.833.162.652.530.4701.002.450.002.241.732.002.652.452.451.731.870.6741.001.730.001.731.001.412.242.002.241.411.480.468表2方差分析结果变异来源自由度SSMSFF0.01P处理间窝别间误差总的2918295.63814.0200.48720.1462.8191.5580.027104.4157.706.013.60<0.01<0.01用LSD法进行多重比较：LSD0.05/2=2.101=0.1542×0.02710LSD0.01/2=2.878=0.2112×0.02710表3处理组均数与对照组均数比较处理均数与对照组的差异P反变换为平方对照组芥子气中毒组电离辐射组2.531.871.480.661.05<0.01<0.016.403.502.19三.倒数变换Y=X常用于数据两端波动较大的资料。1四.平方根反正弦变换(arcsinesquareroottransformation)X=sin-1X常用于服从二项分布的率或百分比的资料，如发病率、治愈率、病死率、有效率等。表1不同温度对玫瑰花瓣形成率（%）的影响病员编号低温（4-6ºC）室温（20-25ºC）高温（30-37ºC）Psin-1

pPsin-1

pPsin-1

p12345总和均数40.034.034.034.534.539.2335.6735.6735.9735.97182.5136.5048.058.049.065.555.543.8549.6044.4354.0348.16240.0748.0149.036.040.016.015.044.4336.8739.2323.5822.79166.9033.38例：某医学院病理生理教研组研究不同温度对淋巴细胞玫瑰花瓣形成率的影响，结果见表1，试作方差分析和多重比较。表2方差分析结果变异来源自由度SSMSFF0.05P温度间病人间误差总的24814594.04583.866371.1331049.044297.0220.9746.396.400.454.463.84<0.05>0.05用q检验法对各温度的形成率进行两两比较：Sd

=46.39/5=3.046将3个样本均数从大到小依次排列，组次123均数48.0136.5033.38组别室温低温高温表3两两比较计算表对比组两均数之差标准误q值组数q界值PA与BXA-XBSd=0.05=0.011与31与22与314.6311.513.123.0463.0463.0464.8033.7791.0243224.043.263.265.644.754.75<0.05<0.05>0.05第三节析因设计的方差分析如果试验所涉及的处理因素的个数2，当各因素在试验中所处的地位基本平等，而且因素之间存在交互作用时，需选用析因设计(factorialdesign)。一.2×2析因设计例用A、B两药治疗12名贫血病人，性别、年龄一致，随机分成4组，治疗后1个月测得血中红细胞增加数（1012/L），结果如表，问A、B两药的治疗效果如何？两药是否存在交互效应？A、B两药治疗后病人红细胞增加数（1012/L）A药B药用不用用不用2.12.22.00.91.11.01.31.21.10.80.90.7（1）建立检验假设和确定检验水准对于有重复的两因素设计资料方差分析，可以作3个原假设。H0：A药无效；或H0：B药无效；或H0：A、B两药无交互作用。=0.05（2）计算F值1）列表计算各种X、X2。

A药B药用（i=1）不用（i=2）合计用（j=1）不用（j=2）合计X=6.3X2=13.25X=3.6X2=4.34X=9.9X2=17.59X=3.0X2=3.02X=2.4X2=1.94X=5.4X2=4.96X=9.3X2=16.27X=6.0X2=6.28X=15.3X2=22.552）校正数C=（X）2/n=15.32/12=19.513）总的离均差平方和SS总=X2-C

=22.55-19.51=3.044）总的处理离均差平方和

SS总处

==6.32/3+3.02/3+3.62/3+2.42/3-19.51=2.965）A药的离均差平方和SSA

=（X）ij2nij-C（X）i2niiji-C=9.92/6+5.42/6-19.51=1.696）B药的离均差平方和SSB

=（X）j2njj-C=9.32/6+6.02/6-19.51=0.917）A药和B药的交互作用SSAB

=SS总处

-SSA

-SSB

=2.96-1.69-0.91=0.368）误差离均差平方和SS误差

=SS总

-SS总处

=3.04-2.96=0.089）计算与上述各种离均差平方和相对应的自由度总=n-1=12-1=11总处=（A的水平数×B的水平数）-1=2×2-1=3A=A的水平数-1=2-1=1B=B的水平数-1=2-1=1AB=总处-A-B=3-1-1=1误差=总-总处=11-3=8

10）列方差分析表变异来源SSMSF临界值总处理ABAB误差总2.961.690.910.360.083.0431118111.690.910.360.013611.3（3）确定P值并作出推断结论本例分析交互作用时，P<0.01，认为交互作用有统计学意义。表明A因素处于不同水平时，B因素的作用是不同的，反之亦然。因此，不能笼统地分析A因素和B因素的作用。四种处理的样本均数

A药B药用不用用不用2.11.21.00.8由此算出，在不用B药时，A1-A2=1.2-0.8=0.4；用B药时，A1-A2=2.1-1.0=1.1。即B药能加强A药的作用。同理，A药能加强B药的作用。本例中A、B两药的交互作用有统计学意义，实际上就是说A、B两药同时用的效果更好，有协同作用。SPSS演示两因素析因设计的方差分析：

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