第4章张量(清华大学张量,你值得拥有)

第4章曲线坐标张量分析

2023年2月6日主要内容基矢量的导数，Christoffel符号张量场函数对矢径的导数、梯度张量分量对坐标的协变导数张量场函数的散度和旋度积分定理Riemann-Christoffel张量（曲率张量）张量方程的曲线坐标分量表示方法非完整系与物理分量正交曲线坐标系中的物理分量

基矢量的导数，Christoffel符号张量场函数：T(r)T(r)之所以被称为场函数，是因为它是矢径r的函数。在曲线坐标系下，基矢量gi并不是常矢量，如何描述gi随坐标的变化而变化？基矢量本身重要！是坐标的非线性函数基矢量的导数，Christoffel符号基矢量的导数与Christoffel符号协变基矢量的导数与第二类Christoffel符号从定义式，可探讨性质：由于定义式可证明，共有18个独立的分量，且不是张量分量。基矢量的导数，Christoffel符号基矢量的导数与Christoffel符号第一类Christoffel符号性质：定义式：比较：Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！基矢量的导数，Christoffel符号基矢量的导数与Christoffel符号Christoffel的计算式：用gij来计算基矢量的导数，Christoffel符号基矢量的导数与Christoffel符号逆变基矢量的导数

对坐标的导数，的计算公式张量场函数对矢径的导数、梯度标量场函数f(r)的梯度其中，定义为f(r)的梯度；即。因此，梯度的几何意义！取弧元ds，有方向导数：张量场函数对矢径的导数、梯度张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得从而可得右梯度和左梯度：由此可得：张量分量对坐标的协变导数为了计算，则必须引入协变导数★矢量场函数的梯度矢量分量的协变导数张量分量对坐标的协变导数★矢量场函数的梯度引入新符号来表示矢量分量的协变导数则右梯度：左梯度：张量分量对坐标的协变导数★矢量场函数的梯度注：只有在笛卡尔坐标系下才有特殊矢量：矢径r，有张量分量对坐标的协变导数★张量场函数的梯度右梯度：左梯度：张量分量对坐标的协变导数★张量场函数的梯度其中四者之间满足指标升降关系。张量分量对坐标的协变导数★张量场函数的梯度特殊张量1：度量张量G但是一般来说，特殊张量2：置换张量两个张量的并AB的协变导数张量场函数的散度和旋度从梯度开始理解散度和旋度梯度(gradient)★矢量场函数F(r)的散度散度(divergence)旋度(curl)张量场函数的散度和旋度★张量场函数T(r)的散度张量场函数的散度和旋度矢量场函数巨漂亮的结果场论中的有势场满足，其中U为势函数。定义Laplace算子：即先求梯度，再计算散度。张量场函数的散度和旋度若矢量，为标量，则而，可推导出因此，可得张量场函数的散度和旋度因此，Laplace算子的计算式：Euclid空间，只有一个最基本的一阶矢量微分算子，即梯度算子。Euclid空间，只有一个最基本的二阶标量微分算子，即Laplace算子。张量场函数的散度和旋度★矢量场函数F(r)的旋度张量场函数的散度和旋度★矢量场函数F(r)的旋度张量场函数的散度和旋度★张量场函数T(r)的旋度★协变导数符号的灵活运用积分定理从牛顿-莱布尼兹公式说起微分阶次降了一阶域内转换到边界向二维扩展：Green定理积分定理向二维扩展：Green定理若，则环量若一个场无旋（有势，积分与路径无关），则满足Cauchy条件：一个定理之所以称为定理，一定与坐标无关。积分定理奥高定理（闭合曲面）奥高定理虽然是数学上的结论，但是对与力学和物理学来说，就是守恒律。积分定理Stokes定理若，则有旋运动（涡通量）守恒于边界线上的环量。积分定理奥高定理（从矢量向张量推广）散度定理是一切积分定理的基础！φ为任意张量证明其它定理时，假设

，为标量，有再假设C为常张量，有积分定理奥高定理（从矢量向张量推广）因此，有标量形式的梯度定理张量形式的梯度定理张量形式的旋度定理积分定理奥高定理（从矢量向张量推广）罗列如下：积分定理Stokes定理（从矢量向张量推广）φ为任意张量积分定理整体化数理分析相较于局部化数理分析，即微元法，整体化数理分析不涉及坐标，并且可描述全域。平衡方程（积分形式）由于，则平衡方程（微分形式）例1：固体受力平衡积分定理积分形式例2：流体定常运动：定常流场流体定常运动的连续性方程微分形式力学的基本方程从笛卡尔坐标系中向曲线坐标系的扩展Riemann-Christoffel张量（曲率张量）R-C张量的起源猜想笛卡尔坐标系下，二元函数f(x,y)的二阶导数具有求导顺序的无关性。那么到了曲线坐标系以及高阶流形上，求导（协变导数）顺序的无关性还存在吗？基本没有！Riemann-Christoffel张量（曲率张量）Riemann其人爱因斯坦（1879-1955）黎曼（1826-1866）拉格朗日（1736-1813）高斯Riemann-Christoffel张量（曲率张量）R-C张量的起源猜想若有，空间形式为欧氏空间；反之，为黎曼空间。若能在一个空间中找到一笛卡尔坐标系，并且能找到一坐标变换，使得变换后满足，。那么这个空间就是欧氏的。如何知道空间形式是欧氏的还是黎曼的？若，Riemann-Christoffel张量（曲率张量）R-C张量的定义再来看矢量a，对于，有；对于与

，?首先来看标量φ，对于，有；对于，有。R-C张量的定义本人的建议：形式上的拓展，比较：Riemann-Christoffel张量（曲率张量）R-C张量的定义本人的建议：请验证是否一致：又有：用度量张量计算R由此推测：黎曼张量必然取决于度量张量！用度量张量计算R本人的建议：R-C张量的性质R的对称性（R=Rijklgigjgkgl）对于前两个指标反对称对于后两个指标反对称可构造二阶张量即：Riemann-Christoffel张量（曲率张量）R-C张量的性质R的对称性（R=Rijklgigjgkgl）对于前两个指标和后两个指标可交换综合上述三方面的对称性：Riemann-Christoffel张量（曲率张量）R（R=Rijklgigjgkgl）独立分量的计算：81个分量（i,j）中，3个0分量，3个独立分量，可能的、独立的非0组合为3个，即（1，2），（2，3），（3，1）。（k,l）中，3个0分量，3个独立分量，可能的、独立的非0组合也为3个，即（1，2），（2，3），（3，1）。于是（i,j,k,l）中，可能的、独立的非0组合为9个，即（1，2，1，2），（1，2，2，3），（1，2，3，1）（2，3，1，2），（2，3，2，3），（2，3，3，1）（3，1，1，2），（3，1，2，3），（3，1，3，1）Riemann-Christoffel张量（曲率张量）最终，R的独立分量只有6个，分别为：于是（i,j,k,l）中，可能的、独立的非0组合为9个，即（1，2，1，2），（1，2，2，3），（1，2，3，1）（2，3，1，2），（2，3，2，3），（2，3，3，1）（3，1，1，2），（3，1，2，3），（3，1，3，1）Riemann-Christoffel张量（曲率张量）Ricci公式标量场函数矢量场函数张量场函数（二阶）（三阶）Riemann-Christoffel张量（曲率张量）Bianchi恒等式令，代入对i,j,k做轮换对i,j,k做轮换再从出发，对xk求协变导数Riemann-Christoffel张量（曲率张量）Bianchi恒等式由于对比两组式子Riemann-Christoffel张量（曲率张量）Bianchi恒等式降指标后，得到从而得到Bianchi恒等式Riemann-Christoffel张量与变形协调方程连续介质力学中，小变形问题，位移场可确定唯一的应变场：位移矢量有三个独立分量，而应变张量有六个独立分量，故任意给定的应变张量一般不能对应一个连续的位移场，应变张量分量之间必然满足内在的约束关系。于是，有如下变形协调条件。采用Lagrange描述。变形前，连续体属