第五章测量误差基本知识

第五章测量误差基本知识第五章测量误差基本知识

学习要点◆测量误差的概念◆偶然误差的统计规律◆偶然误差的分布◆衡量精度的数字指标◆精度数字指标的实际计算方法◆误差传播定律

◆误差传播定律应用

5-1测量误差的概念一、什么是测量误差

1.真误差-----真值、观测值

2.精度：反映误差密集程度的指标。

二、测量误差产生的原因2、测量设备的因素1、观测者的因素3、观测环境的因素观测条件不等精度观测等精度观测三、测量误差的分类1.系统误差——若观测过程中，观测误差在符号或大小上表现出一定的规律性，在相同观测条件下，该规律保持不变或变化可预测，则具有这种性质的误差称为系统误差。处理方法：（1）、模型改正法----加改正数（2）、观测程序法----采用适当的观测方法（3）、检校仪器2.偶然误差——在相同观测条件下，取得一系列等精度观测值，若误差的大小、符号没有任何规律，即在一定限度内，不能对可能出现的误差作任何预测，则这一类的误差就称为偶然误差，又称随机误差。3.粗差——特别大的误差（错误）四、测量误差的处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差5-2、偶然误差的统计规律性例如：对同一量观测了n次观测值为l1,l2,l3,….ln如何取值？如何评价数据的精度？例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=i+i+i-180其结果如表5-1，图5-1,分析三角形内角和的误差I的规律。误差区间负误差正误差误差绝对值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表2-1偶然误差的统计

误差分布特点：参见课本P100（3点）5-3偶然误差的分布-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d频率直方图偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。5-4衡量精度的数字指标一、方差和标准差（中误差）2.标准差：3.实际意义：参见课本P114

4.方差：1.正态分布概率密度函数：

二、相对中误差（补充内容）

某些观测值的误差与其本身大小有关用观测值的中误差与观测值之比的形式描述观测的质量，称为相对误差（全称“相对中误差”）

例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的前者的相对中误差为0．02／200＝1／10000

而后者则为0．02／40＝l／2000

前者的量距精度高于后者。三、容许误差（补充内容）标准差常用m表示，在测绘界称为中误差。5-5、精度数字指标的实际计算方法中误差：

注意：是一个定义式，难以实际应用，所以测量工作中是采用观测值改正数来估算中误差。按观测值的真误差计算中误差

二、多余观测数：设必要观测数为t，实际观测数为n，则称r＝n－t为多余观测数。

三、不符值：测量上将由于误差导致观测值不满足函数关系，而产生的与理论值的差值，称之为不符值，也称为闭合差，通常用表示。四、观测值改正数：观测值经平差方法处理后，能得到符合最优估值条件的平差值，设观测值为，平差值为，则称为观测值改正数。

一、必要观测数:根据每确定一个待定量，需要一个观测值的原则，要解算出全部的待定量，必须有数量足够，函数独立的观测值，称为必要观测值。其个数叫必要观测数。如：γ=180º-（α+β）五、等精度观测值改正数计算中误差其证明见下8张PPT(一)集中趋势的测度（最优值）1.中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。2.众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。3.切尾平均数：去掉lmax,lmin以后的平均数。4.调和平均数：5.算术平均数：满足最小二乘原则的最优解证明中误差的公式证明（x是最或然值）nnlXlXlX-=D-=D-=D2211将上列等式相加，并除以n,得到证明中误差的公式（二）观测值的改正值若被观测对象的真值不知，则取平均数为最优解x改正值的特性：定义改正值：证明中误差的公式标准差可按下式计算：中误差：证明中误差的公式下面开始证明：证明：将上列左右两式方便相减，得证明中误差的公式取和证明中误差的公式计算标准差例子证明中误差的公式小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则二、中误差二、中误差证明中误差的公式5-6误差传播定律

误差传播定律：测量学中阐述观测值中误差与其函数中误差之间数学关系的定律称为中误差传播定律。已知：mx1,mx2,---mxn求：my=?式中f´有正有负全微分：

my2m12m22

mn2中误差关系式：小结：第一步：写出函数式第二步：写出全微分式第三步：写出中误差关系式注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。一、线性函数

二、非线性函数由观测值中误差求其函数的中误差的步骤如下：（1）、按问题的要求，写出观测值与其函数的关系式：（2）、若函数是非线性的，则对其求全微分以观测量近似值（j=1,2,…,n）代入全微分式，得到常系数（3）、应用误差传播定律（5－12），由观测值中误差求其函数中误差：5.7、误差传播定律应用一、距离测量的中误差结论：距离丈量结果的中误差与所用尺段数的平方根成正比。二、水准测量高差的中误差结论：在假设每站观测高差精度相等的前提下，水准测量高差的中误差等于一站观测高差中误差的倍，即与测站数的平方根成正比三、算术平均值及其中误差算术平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx误差传播定律

补充举例1观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差hSvhD误差传播定律

补充举例2观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离DSvhD例1:在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离S=163.6mm，其中误差ms=0.2mm。求A、B两点实地距离D及其中误差mD。解：D=MS=500×163.6(mm)=81.8(m)(M为比例尺分母)∴D=81.1±0.1(m)mD=MmS=500×0.2(mm)=±0.1(m)例2

某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h1=18.316m±5mm,h2=-8.171m±4mm，h3=6.625m±3mm，试求该水准路线高差及其中误差。∴h=16.882m±7.1mm解h=h1+h2+h3=16.862(ｍ)

m2h=m21+m22＋m23=52+42+32

mh=±7.1(mm)例3：用三角形内角和求测角中误差

例4：在O点观测了3个方向，测得方向值l1、l2、l3，设各方向的中误差均为m，求、和。

例5：一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml，则周长中误差是多少？

误差传播定律应用举例

1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超过40秒；2、用DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的限差；3、两次仪器高法的高差限差。

用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘左盘右观测同一方向的中误差为±6”。注意，6秒级经纬仪是指一个测回方向观测的平均值中误差，不是指读数的时候估读到6”。

即

假设盘左瞄准A点时读数为，盘右瞄准A点时读数为，那么瞄准A方向一个测回的平均读数应为