第5章振动与波动

振动状态的传播的过程——波动第五章 振动与波动（Vibrationandwavemotion）定义：一个物理量在某一数值附近往复变化时，则称为振动。力学量电磁量§5.1简谐运动的基本特征及其描述1.定义(1)平衡位置(Equilibriumposition)：平衡不动时物体的位置，(O)之点。(2)恢复力(Restoringforce)：振动物体偏离平衡位置时，受到的使它回到平衡位置的力。(3)简谐运动(Simpleharmonicmotion)：相对平衡位置的位移x

按余弦(或正弦)规律随时间变化的物体的运动。——简谐运动的运动方程5.1.1简谐运动(SimpleHarmonicMotion(SHM))

2．描述谐振的三个特征量(1)振幅(A)(Amplitute)振动过程中离开平衡位置的最大距离定义：意义：求法：由初条件定(2)周期(T)(Period)频率(n)

(Frequency)振动往返一次所经历的时间(s)单位时间内振动往返的次数(Hz)角频率

(w)(Angularfrequency)

2p

秒内振动的次数(rad/s)只一个独立意义：描述周期性(1)振幅(A)(Amplitute)2．描述谐振的三个特征量(3)相位(wt+j)(Phase)反映任一时刻t的运动状态x=Acos(wt+j)v=-Awsin(wt+j)a=-Aw2cos(wt+j)vOOv，则则(2)周期(T)(Period)频率(n)

(Frequency)角频率

(w)(Angularfrequency)(1)振幅(A)(Amplitute)2．描述谐振的三个特征量初相(j)(InitialPhase)决定

t=0时振动状态由初条件定Ax0-v0/wj必须同时满足(3)相位(wt+j)——反映任一时刻t的运动状态(2)周期(T)、频率(n)、角频率

(w)(1)振幅(A)2．描述谐振的三个特征量初相(j)(InitialPhase)决定

t=0时振动状态由初条件定(3)相位(wt+j)——反映任一时刻t的运动状态(2)周期(T)、频率(n)、角频率

(w)(1)振幅(A)2．描述谐振的三个特征量负+A-A0IIIpIVIII-p0负正正1.振动曲线j

>0(I)A、w、j描述谐振动txATTx0-x0-AbabaccO分析比较baba不同态不同态vavbc同态c同态(wtc+j)-(wtb+j)=w(tc

-

tb)=wT=2p(wtc+j)-(wtb+j)=w(tc

-

tb)=w(2T)=4p两相同态所对应的相位差为2p

或2p的整数倍5.1.2简谐运动的描述方法2.旋转矢量图参考圆(CircleofReference)t

时刻，与

x

轴夹(wt+j)P

的位移变速直线运动xMOM0jwtPxw(t=0)匀速圆周运动之参考圆谐振动A矢长振幅w角速圆频wt+j与

x

轴夹角相位xA

在

x

轴投影位移vwA在

x

轴投影速度aan=

w2A

在

x

轴投影加速度vmt11xx234567891012345678910111[例](1)t=0

时，x0=A/2，v0>0，求j；

(2)已知w，求x=A/2x=-A/2

的最短时间。解：(1)(2)qv0xMOA/2wMA-A/2-A应用(1)求初相

j、相位

wt+j[例]已知：谐振动的曲线；

求：该系统的

w、T。xOQPj1j0解：t=0x0=A/2v0>0t=1sx1=0v1<0Dt=1sx(m)t(s)6.0O-6.03.0-3.0123(2)求相位差QxN(2)O

jPw

jM(1)j>j比总超前j-

jP

比

Q

超前恒定的相位差P

比

Q

超前时间jMNtxxN(2)M(1)xp/2O应用(1)求初相

j、相位

wt+j1.Dj=2kp，k

=0，1，2，…同相2.Dj=(2k+1)p，k

=0，1，2，…反相3.Dj

≠2kp、(2k+1)p，k

=0，1，2，…Dj>0：x2

超前x1

振DjDj<0：x2

落后x1

振|Dj|Dj=3p/2-2p=-p/2-p

Dj

p

x2

落后x1振p/2

Dj=

3p/2x2x15.1.3相位差谐振动x、、相位差j1

j2

j3v

超前x

相位p/2a、x

反相vmamtaxxvv

a与位移成正比而反向使F

总指向平衡位置5.1.4简谐运动的研究

1.弹簧振子xPPOFx——“k+

m”动力学方面胡克定律回复力牛二定律加速度与位移成正比而反向简谐运动的运动学特征动力学定义简谐运动的微分运动方程式运动学方面运动学定义n

(w

)：固有(角)频率令1.弹簧振子——“k+

m”动力学方面*拉开的角度

q0

不是初相mlv0[例]t=0(a)lOq0(b)v0=0回复力(矩)与位移(角位移)正比反向。(角)加速度与(角)位移正比反向。题目类型证明是否为简谐运动求振动周期或角频率从简谐运动的特征入手选平衡位置；建坐标系，原点在平衡位置；让物体有一小的(角)位移，看回复力(矩)。解：

[例]液体比重计为

m，所测流体密度为

r，比重计上端圆管直径为

d，试证经推动(从平衡位置稍微压低或提高)后，比重计在竖直方向作简谐振动，并求周期。xdx向上浮力F向下重力mg设平衡时浸入液体中的体积为

V0合外力平衡时与位移成正比而反向∴该振动是简谐运动O回复力[例]细杆的小角度振动的角频率？解法一：

mgl,ml/2qEp=0OC解法二：机械能守恒sinq

q§5.2

简谐振动系统的能量1．以弹簧振子为例平衡位置时势能=0，总机械能 EpmaxEkmaxtEtxOO讨论(1)Ek、Ep随

t周期性交替变化平衡位置Ep

0Ekmax|x|最大max0(2)=恒定∴机械能守恒简谐运动是无阻尼自由振动(3)Ek、Ep

的变化频率=2w2．一周期

T内平均值3．w

——固有属性，A

——能量，j

——初条。振动波动适用于系统经典量子[例]作简谐运动的小球，速度最大值为vm=3厘米/秒，振幅A=2厘米，若从速度为正的最大值的某时刻开始计算时间，求：(1)振动的周期；(2)加速度的最大值；(3)振动表达式；(4)

t=

何值时，动能=势能。解：(1)(2)(3)(4)具体化§5.3简谐运动的合成5.3.1同方向简谐运动的合成数学分析法①②①2+②2②/①——同频率的简谐运动

旋转矢量图法xj1x2x1xjwwwNMM1M2x2PQabROj2讨论a)同相：k=0,1,2,…b)反相：k=0,1,2,…振动减弱c)

2kp

<Dj<(2k+1)p,k=0,1,2,…=2kp,

Dj=j2

-

j1cos(j2

-

j1)=1振动加强=(2k+1)p,Dj

=j2

-

j1cos(j2

-

j1)=-1若A1=A2,则A

=2A1,j=j1若A1=A2,则A

=0,质点静止相位差对合振动起着重要作用![例]某一质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，其振动规律为：

x1=0.4cos(3t+p/3)，x2=0.3cos(3t

-

p/6)(SI)。求：(1)合振动的表达式;(2)若另有一同方向、同频率的谐振动，

x3=0.5cos(3t+j3)

当j3

等于多少时，x1、x2、x3的合振幅最大？当j3

等于多少时，x1、x2、x3的合振幅最小？解：(1)解析法解：(1)相量图法xajp/6p/3O(2)当j3=j=0.12p,

当j3=j

-p=-0.88p

[例]某一质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，其振动规律为：

x1=0.4cos(3t+p/3)，x2=0.3cos(3t

-

p/6)(SI)。求：(1)合振动的表达式;(2)若另有一同方向、同频率的谐振动，

x3=0.5cos(3t+j3)

当j3

等于多少时，x1、x2、x3的合振幅最大？当j3

等于多少时，x1、x2、x3的合振幅最小？[例]已知：n个同向、同频、等幅a、相邻二振动相位差d，求：合振动。解：xCORddd2134a1an∴DCA1A2

等腰内接一个半径为R的圆。解：xCORdddndj2134wa1an等腰D的顶角

[例]已知：n个同向、同频、等幅a、相邻二振动相位差d，求：合振动。解：讨论a)d

=2kp,k=0,1,2,b)d

=2kp/n,k≠nk的整倍,p/2xCORdddndj2134wa1an[例]已知：n个同向、同频、等幅a、相邻二振动相位差d，求：合振动。5.5波动的基本特征平面简谐波的波函数1.行波(TravelingWave)一定扰动的传播称为波动，简称波。例如，机械波：机械扰动在介质中的传播。声波、超声波、次声、水波、地震波等。电磁波：变化电场和变化磁场在空间的传播。无线电波、光波、X射线、γ射线等。振动状态及能量都在传播叫行波。例如脉冲波、简谐波。注意介质并没有沿传播方向迁移。横波：质元运动方向波的传播方向纵波：质元运动方向//波的传播方向(Transverseandlongitudinalwaves)

数学描述：取行波的传播方向为x

轴，当波经过原点时，起初处于原点的质元发生位移y0，它与时间t

的函数关系为y0=f(t)。设波沿+x

方向以速度u

传播,坐标为

x

的点在

t

时刻的位移

y

为t–x/u

的函数，即它可以表示任意位置的质元在任意时刻的位移，称为波函数(wavefunction)

。（沿+x

传播）（沿–x

传播）若波以速度u沿–x

方向传播，则波函数为2.惠更斯原理(Huygens’principle)(1)波线和波面(wavelineandsurface)波传播方向的直线形象地称为波线。波传播过程中相位相同的点组成的平面叫波面。波传播时最前面的波面称为波阵面或波前。一般情况下，波线垂直于波面。波面是平面的波叫做平面波。u波面波线S1S2波面是球面的波叫做球面波。OS1S2r1r2波面波线(2)惠更斯原理惠更斯原理是有关波的传播方向的规律：波阵面上的各点都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻的波阵面就是这些子波的包迹(包络面)。平面波在某一时刻的波前是平面，在下一时刻的波前仍是平面。新的波前球面波在某一时刻的波前是球面，在下一时刻的波前仍是球面。新的波前(3)利用惠更斯原理解释波传播的一些现象a.衍射：波遇到障碍物而改变传播方向。障碍物b.波的反射定律：入射角等于反射角，i=i/

。ABCDii/i/ic.波的折射定律：ABCiu1rrDiu2n1n2两式相除，得

n21

称为第二种介质相对于第一种介质的相对折射率。n1,n2

为绝对折射率。90oq12全反射以90o

入射角从介质1向界面入射，折射角θ

为全反射的临界角介质2中大于q的入射波有全反射。3.简谐波(SimpleHarmonicWave)简谐振动的传播叫做简谐波，它是最简单的波。···t=T/4·····················t=T···············t=T/2··

·············t=01471316

·········10····

··

···波峰波谷波形曲线以横波为例·······t=3T/4···········4.平面简谐波的波函数设原点振动函数为，则沿+x

方向传播的平面简谐波的波函数为沿–x

方向传播的平面简谐波的波函数为其中A,w,u

分别为简谐波的振幅、角频率和传播速度(相速度，或波速)。(amplitude,angularfrequency)可理解为x

点振动相位比原点振动相位落后

wx/u可理解为x

点振动相位比原点振动相位超前

wx/u讨论(1)波函数变形形式：其中，表征时间周期性的量有周期频率表征空间周期性的量有波长波数PeriodFrequencyWavelengthWaveNumber(2)在空间某位置x=x1，有它表示x=x1

处的振动函数，其中为初相。(3)在某时刻t=t1，有它表示t=t1

时刻的波形。yxOt1t2Dx=u(t2-

t1)(4)质元运动速度与u

无直接关系。波速

u由媒质定：弹性性质惯性性质弹性模量密度例如：在固体中，横波波速和纵波波速分别为切变模量杨氏模量质元运动加速度(5)如果在x=x1

点处有一个简谐波源，其振动函数为则该波源引起的简谐波的波函数为源4.波动方程行波波函数的一般形式为将y

分别对

x

和t

求二阶偏导数，则有比较以上两式，可得——波动方程任何物理量y(x,t),只要波动方程,则这一物理量就以波的形式传播，而且波的传播速度可由波动方程的系数求得。例1一列平面简谐波以波速u

沿+x

方向传播，波长l，已知在x0=l/4处质元的振动函数为y0=Acoswt。写出波函数，并画出t=T

和t=5T/4时的波形图。解：x0

处的质元在早些时刻(x–x0)/u=(x–l/4)/u的振动位移为相应的相位在经过时间(x–l/4)/u后传至x

点，因此这就是x

处t

时刻的振动函数，即波函数其中用到t=0时刻的波形为根据波的时间周期性，t=T

时刻的波形与此相同。在t=5T/4时刻，波形较t=T

时刻的波形移动了距离T5T/4l/2l3l/22lxyOu例3平面简谐波以u=20m/s向右传播，已知点A

振动

y=3cos(4pt–p)m，已知D

在A

右

9m处，分别对以下两种情况写出波函数和D

点振动函数：(1)x

轴向左,

A

为原点；(2)x

轴向右，以A

左方5m处O

点为原点xAD0–9xxAD5140Ox解：(1)x

点相位比A

点领先所以x

点振动函数即波函数为D

点振动函数(2)x

点相位比A

点落后u§5.6波的能量1.波的能量传播特征：平面简谐纵波在弹性介质中传播，质元dV

的速度为则其振动动能为xxdxdV媒质r、E、Sdm=rdV受到外力的物体，形状或体积都会发生变化，称为形变。去掉外力，形状或体积仍能复原，这样的形变叫做弹性形变。lDlSFF线应变Dl/l，伸缩应力F/S胡克定律：弹性限度内Y——杨氏模量当外力不太大时，Dl较小，S

基本不变，因而k=ES/l

近似为常数。材料发生线应变时，具有弹性势能xyl无波传输，质元处于平衡位置传输纵波，质元偏离平衡位置由杨氏模量的定义胡克定律有该质元的弹性势能为又可见，在平面简谐波中，同一质元每时每刻都具有相同的动能和势能，这是参与波动的质元不同于孤立振动系统的一个重要特点。xyλ无波传输，质元处于平衡位置传输纵波，质元偏离平衡位置wx2.能量密度：波动中的介质单位体积内的总机械能质元机械能不守恒，时大时小，体现了波的传播。平均能量密度：3.能流：单位时间内通过垂直于波速的平面的能量能流密度：P/S=wu平均能流密度(波的强度)：u波面波线S1S2根据能量守恒，T内通过S1和S2面的能量相等，则I1S1T=I2S2T，所以A1=A2

，即在均匀的不吸收能量的介质中传播的平面波的振幅保持不变。例：在各向同性、均匀、无吸收媒质中的平面波的振幅。例：在各向同性、均匀、无吸收媒质中的球面波OS1S2r1r2波面波线一定时间内通过S1

和S2

面的能量相等，即因而有A1r1=A2r2，球面简谐波的波函数为实际的波由于介质的吸收等原因，其强度及振幅都要沿传播方向逐渐减小。球面波振幅与到点波源的距离成反比。§5.7波的叠加1.波的叠加原理(superpositionprincipleofwaves)波在传播过程中相遇，各自独立，互不干扰（振幅、频率、波长、振动方向、传播方向都不变）。任一点的位移,为各个波单独在该点产生的位移的合成。这个规律叫做波的叠加原理或波的独立传播原理。满足条件的波为较弱波和经典波。2.波的干涉(1)现象：波相遇时，空间上周期性地出现加强或减弱的现象，而且图案不随时间而改变。(2)条件(相干条件)：频率相同、相位差恒定、振动方向相同；振幅相差不大。相应的波叫相干波。(3)规律：两列平面简谐波在某点引起振动，r1,r2

为各自振源到该点的距离根据同频同向简谐振动的合成规律，仍得简谐振动当Dj=±2kp

时，A=A1+A2，振动互相加强；当Dj

=±(2k+1)p

时，A=|A1–A2|，振动互相减弱。若j1=j2,则波程差加强减弱例S1,S2

为两相干波源，坐标如图，它们在x1=9cm,x2=12cm处产生相邻的干涉极小，求波长，以及波源的最小正相位差。O91230xS1x1x2S2解：设波源S1,S2

振动函数分别为则它们发出两列波的波函数为由x1

点干涉极小得由x2

点干涉极小得两式相减得波长而波源的相位差为最小为p3.驻波(StandingWave)同一介质中两列频率、振动方向、振幅都相同的简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时形成驻波。相加得驻波表达式x=0,y=2Acoswtx=l/6,y=

Acoswtx=

l/4,y=

0x=

l/3,y=

–Acoswt

=Acos(wt+p)x=

l/2,y=

–2Acoswt=2Acos(wt+p)

y2A–2AOx波节λ4波腹(2)由驻波表达式得波腹波节讨论(1)驻波振幅随x

周期性变化，同波腹内质元振动同相，相邻波腹内的质元反相。所以相邻两波