生猪出售时间综述

生猪出售的最佳时间本案例源于MarkM.Meerschaert《MathematicalModeling》(SecondEdition)Step1.提出问题Step2.选择建模方法Step3.推导模型的数学表达式Step4.求解模型Step5.回答问题数学建模5步方法一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分，猪的市场价格为65美分/磅，每天下降1%，求生猪出售的最佳时间。例1：生猪出售时间问题Step1.变量、假设、目标的确定变量t

=时间(天)w

=猪的重量(磅)p

=猪的价格(美元/磅)C=饲养t天的花费(美元)R

=售出猪的收益(美元)Q=净收益(美元)假设w=200＋5tp=0.65－0.01tC=0.45tR=p·wQ=R－

Ct≥0目标求净收益(Q)的最大值单变量优化问题，或极大(小)化问题若实值函数y=f(x)在某区间的一内点x处可微，且在x点达到极大或极小，则

f’(x)=0.只要f’(x)=0的x点不太多，此方法很有效。Step2.选择建模方法Q=(0.65－0.01t)·(200＋5t)

－

0.45t(t≥0)即f(x)=(0.65－0.01x)·(200＋5x)

－

0.45x(x≥0).Step3.推导模型的公式f’(x)=0.8－0.1x.

f’(8)=0.则Qmax=f(8)=133.20.Step4.求解模型Step5.回答问题第8天出售，可获得净收益133.20美元。Step1.提出问题Step2.选择建模方法Step3.推导模型的数学表达式Step4.求解模型Step5.回答问题数学建模5步骤a.列出问题中涉及的变量(包括单位)；b.不要混淆变量与参量；c.列出对变量的全部假设；d.检查单位保证你的假设有意义；e.用准确的数学表达式给出问题的目标.根据个人的经验、技巧或查找相关文献，选择解决问题的一个建模方法；a.将Step1中得到的问题重新表达成Step2选定的建模方法所需的形式；b.可能需要将Step1的一些变量名改成与Step2一致；c.记下任何补充假设，这些假设使Step1的问题与Step2的模型相匹配。a.注意检查推导过程和结果是否有意义；b.采用适当的数学软件技术扩大解决问题的范围，尽可能避免计算错误。a.用非技术的语言将Step4的结果重新表述；b.避免数学符号与术语；c.能理解最初提出问题的人应该能理解你给出的解答。灵敏性分析只要Step1的假设成立，则结果正确。解决农民决定何时出售他所饲养的生猪在Step1会有风险因素存在，有必要一些不同的可能，此过程称为“灵敏性分析”。生猪的重量、现在的价格、每天的饲养花费，有相当大的确定性；猪的生长速率(每天增重5磅)则不那么确定，生猪价格的下降速率(每天下降1%)确定性更低。记r为价格下降速率，此前

r=0.01,

p

=0.65－0.01t.现将r视为未知参数，则

p

=0.65－r·t

f(x)=(0.65－r·x)·(200＋5x)

－

0.45x.x≥0则

f

’(x)=2.8－200r－10r·x=0可得

x=7/(25r)－20.若只要x≥0，即0<r≤0.14,上式即为最佳出售时间；若

r>

0.14，则x∈[0,+∞),f

’(x)<0，最佳出售时间x=0.最佳售猪时间关于价格的下降速率的曲线rx记g为猪的生长速率，此前

g=5(磅/天),

w

=200＋5t.现将g视为未知参数，则

w

=200＋g·t

f(x)=(0.65－0.01x)·(200＋g·x)

－

0.45x.x≥0则

f

’(x)=－2.45＋0.65g－0.02g·x=0可得

x=32.5－245/(2g).若只要x≥0，即g>49/13,上式即为最佳出售时间；若

0<g≤49/13，则x∈[0,+∞),f

’(x)<0，最佳出售时间x=0.gx最佳售猪时间关于价格的下降速率的曲线将灵敏性数据表示成相对改变量的形式更加实用。r的10%的下降导致了x的39%的增加，而g的10%的下降导致了x的34%的下降。若x的改变量为△x，则x的相对改变量为△x/x,若r改变了△r，导致x有△x

的改变量，则相对改变量的比值被称为x对r的灵敏性，记为S(x,r).若r增加1%，则x下降3.5%；若g增加1%，则x增加约3%.生猪价格下跌速率增加1%，则出售时间应提前3.5%.猪生长率增加1%，出售时间应后延约3%.灵敏性分析的成功应用通常要有较好的判断力，需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏性分析本例，通常认为猪的生长率g比价格的下降率r更可靠。根据生活常识，g的误差一般不大，而r则可能存在较大的偏差。灵敏性分析是一种根据数据提出的假设来评估模型稳健性的方法。稳定性与稳健性数学模型力求接近完美；模型的稳健性：模型的结果不完全精确但足够近似，从而使模型具备实用价值。本例主要假设猪的重量w和价格p都是关于时间t的线性函数，这是“简化”，不可能严格满足；更实际的模型应既考虑这些函数的非线性性，又考虑随时间推移的不确定性的增加。Q=pw-0.45t若模型的初始数据和假设没有与实际相差太大，则生猪的最佳出售时间为Q’=0，得

p’w+pw’=0.45其中左侧代表猪价的增长率，解读：1)若猪价比饲养的费用增长快，应暂不出售；2)p’w：因价格下降而损失的价值；3)pw’：由于猪增重而增加的价值；4)实际的p’和w’在不断的变化，因此p和w不是时间的线性函数，但是只要在一段时间内变化不大，则模型的结果是可接受的。考虑猪的生长情况的结果解读最佳售猪时间x对猪的生长率w’改变的灵敏性为3，假设在下几周内猪的实际生长率在每天4.5~5.5磅(预期值5磅的10%内)，则最佳售猪时间为5~11天(预计值8天的30%内)，而仍在第8天卖出所导致的收益损失不超过1美元。考虑生猪价格的结果解读假设今后几周时间内价格的变动p’=-0.01,即每天下降1美分。现实的情况是有可能在今后会下降速度减缓，甚至达到p’=0。结论是：至少等8天再出售。由于模型对较长的时间不再有效，因此建议：将猪饲养一周之后，重新评估p

、w，p’和w’，再用模型重新计算。对每天的饲养花费做灵敏性分析，分别考虑最佳售猪时间和相应收益的影响。若有新的饲养方式，每天饲养花费60美分，会使猪按照7磅/天增重，应改变饲养方式吗？并求出值得改变饲养方式的最小增重率。思考题(1)思考题(2)原来的价格函数为

p=0.65-0.01*t(eq1)现假设猪的价格保持稳定，设

p=0.65-0.01*t+0.00004*t*t(eq2)(1)，画图对比价格函数eq1和eq2，解释为什么eq1可以作为eq2在t接近0时的近似；(2)，利用五步方法，求最佳的售猪时间；(3)，参数0.00004表示价格的平稳率，对这个参数求其灵敏性，分别考虑最佳的售猪时间和相应的收益；(4)，对比(2)的结果和例题中所得的最优解，讨论关于价格的假设的稳健性。思考题(3)考虑收益率(美元/天)最大化,，假设猪已经养了90天，已为这头猪