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文档简介

什么是边值问题？如何构建边值问题？边值问题的类型边值问题的唯一性及唯一性定理边值问题的求解方法什么是边值问题？边值型问题分布型问题已知：①场域V内的源（电荷或电流）分布——场方程②边界面S上的场分布——边界条件如：如：或或边值问题的构成

边值问题的类型

已知

第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知已知

第三类边值问题（或混合边值问题）

第二类边值问题（或纽曼问题）如：（第一类边值问题）（第三类边值问题）如：自然边界条件（无界空间）周期边界条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如如如解的惟一性问题

在给定的边界条件下，泊松方程（或拉普拉斯方程）在场域V是否具有惟一解？

给定场域V内的自由电荷分布和电介质特性，同时给定边界面S上的或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有惟一解。

静电场的惟一性定理或

惟一性定理的证明反证法：假设解不惟一，即有两个位函数和在场域V内满足同样的方程，即且在边界面S上有令，则在场域V内且在边界面S上满足同样的边界条件。或或或由格林第一恒等式可得到对于第一类边界条件：对于第二类边界条件：若和取同一点Q为参考点，则对于第三类边界条件：或

给定场域V内的传导电流分布和磁介质特性，同时给定边界面S上的矢量磁位或磁场强度的切向分量，则域V内的磁场分布是惟一的。

恒定磁场的惟一性定理或

惟一性定理的证明且在边界面S上有且在边界面S上反证法：假设解不惟一，即在场域V内有两个解和，则令，则或

在以闭曲面S为边界的有界区域V内，如果给定t=0时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在t

0时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在t>0时，区域V内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。

时变电磁场的惟一性定理或

惟一性定理的证明

利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟一的，那么至少存在两组解、和、满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。则在区域V内和的初始值为零；在边界面S上电场强度的切向分量为零或磁场强度的切向分量为零，且和满足麦克斯韦方程令根据坡印廷定理，应有所以由于场的初始值为零，将上式两边对t积分，可得根据和的边界条件，上式左端的被积函数为上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有（证

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