第8章系统的状态空间

8.1状态空间描述8.2连续系统状态空间方程的建立8.3矩阵函数

8.4连续系统状态方程求解8.5离散系统状态空间方程的解8.6系统函数矩阵与系统稳定性第八章系统的状态空间分析§8.1状态空间描述一、输入输出描述1.系统模型：实际系统的基本特性的抽象化描述；2.输入输出模型：利用系统输入输出关系建立的系统模型。

特点：用输入输出变量间的关系表征系统特性，不直接涉及系统内部情况。3.描述方式：解析方式——代数、微分、差分方程图示方式——电路图、方框图、信号流图第一节4.描述方程（数学模型）

*LTI瞬时系统：线性常系数代数方程（变量为t或k）；

*LTI动态系统：线性常系数微分、差分方程。二、状态描述1.单输入单输出一阶LTI系统

无记忆部分：代数方程式中a、b、c、d为常量记忆元件：或微分方程：积分方程：x(0)已知

第一节系统描述方程

①②注意：*式①是x(t)的一阶微分方程，若已知x(0)，可求x(t)。

*式②中，由x(t)和输入f(t)。可求得输出y(t)。

*按状态变量定义可选择记忆元件（积分器）输出变量作为系统的状态变量。2.多输入多输出n阶LTI系统

第一节状态模型：将系统划分为有记忆和无记忆两部分，选取独立记忆元件输出变量作为状态变量x(t)，并结合初始

状态x(0)、输入f(t)来确定其输出y(t)的一种分析模型。三、状态空间描述方程1.连续系统标准形式

(状态方程）（输出方程）

状态方程：x(t)的一阶矢量微分方程，描述有记忆部分输入输出关系，着重体现系统的动态特性。

输出方程：描述输出与状态变量和输入之间的关系，方程由无记忆部分的输入输出关系导出，是一组代数方程。第一节2.离散系统标准形式

(状态方程）（输出方程）四、状态空间分析步骤

（1）选择状态变量：按状态模型，可选记忆元件输出变量为状态变量；

（2）建立状态空间方程；

（3）由状态方程求得状态向量解；

（4）由输出方程求得系统输出。第一节§8.2连续系统状态空间方程的建立一、直接编写法思路与步骤：①按状态模型选各独立uc,il为状态变量；

状态变量数目＝电系统阶数＝独立uc

,il数目②对与状态变量相联系的C、L列写KCL、KVL方程③利用KCL、KVL、VCR消去“非法”变量，整理得状态方程

④用观察法写出输出方程。

第二节如左图电路：①取uc、il

为状态变量②对接C的节点b写KCL方程对含L的回路l1写KVL方程③消去非法变量i2④整理得状态方程第二节⑤输出方程第二节二、由信流图、方框图建立状态空间方程步骤：

（1）按状态模型，选积分器（或一阶子系统）输出为状态变量；（2）在积分器（或一阶子系统）输入端写出

状态方程；（3）在信流图（或方框图）输出端写出输出

方程。第二节例1：单输入单输出方程

因积分器输出信号＝相应输出节点信号故直接选诸积分器输出节点变量为状态变量由积分器输入端写出状态方程：

由系统输出端写出输出方程第二节例2：二输入二输出系统

*视S域信流图为t域信流图*积分器输出信号

＝输出节点信号直接选为状态变量

状态方程：输出方程：第二节例3：建立系统状态空间方程

*视S域信流图为t域信流图*积分器输出信号

≠输出节点信号状态方程：输出方程：第二节例4：建立系统状态空间方程*视S域方框图为t域方框图对应为t域信流图*选积分器或一阶

子系统输出为状态变量，利用积分器，一阶子系统输入输出关系写出状态方程。子系统①：子系统②：子系统③：输出方程：第二节三、由H(p)、H(s)建立状态空间方程步骤：①由H(p)、H(s)画出模拟信流图；

②采用二中方法建立状态空间方程。注意：①不同模拟信流图（直接、串并形式）将导致

不同形式的方程；

②应用直接形式Ⅱ时，积分器输出信号≠输出节点信号四、由微分（算子）方程建立状态空间方程步骤：①确定H(p)或H(s)；

②采用三中方法建立状态空间方程。

第二节五、离散系统状态空间方程的建立步骤如下

差分方程算子方程信流图方框图h(k)、H(E)H(z)选移位器输出为状态变量在移位器输入端写状态方程在系统输出端写出输出方程第二节例5：由方框图建立系统状态空间方程

(状态方程）（输出方程）第二节例6：由差分方程建立系统状态空间方程见教材P375

第二节§8.3矩阵函数一、矩阵的特征多项式、特征方程、特征根设n阶方阵A，则有特征多项式：

式中I为单位阵，λ为标量，det[·]表示取行列式。

特征方程：q(λ)=0特征根（值）：特征方程的根例：若设则有特征多项式特征方程：特征根：第三节二、凯莱－哈密顿定理内容：任一方阵A恒满足它的特征方阵，即验证：三、矩阵函数

1.定义：设标量函数f(x)可展开为收敛的幂级数第三节则称为矩阵A的函数，简称矩阵函数。正弦标量函数：正弦矩阵函数：指数矩阵函数：指数标量函数：2.重要定理：

n阶方阵A的矩阵函数f(A)可表示为一个次数不超过(n-1)的A的多项式，即式中βk

为标量。与f(A)相应的标量表达式：

式中各系数按下面两种情况确定：

case1.

A具有相异特征根

设n阶方阵A的特征根为λ1、λ2、…λn

。在式(3)中，分别令x＝λ1、λ2、…λn。得

联立求得β0、

β1、…、βn-1。case2.

A具有多重特征根设n阶方阵A在x＝λ1

处具有m重特征根，其余(n-m)个一阶特征根分别为

λm＋1、λm＋2、…λn。

在式(3)中，令x=λm+1，…λn得到(n-m)个独立方程。其余m个方程为：

联立求得β0、

β1、…、βn-1。3.f(A)计算步骤：

(1)求方阵A的特征根；(2)确定系数βk

(3)例1.已知求。解（1）A的特征根（2）计算系数

（3）例2.已知求。解（1）A的特征根（2）计算系数

（3）四、eAt的性质（P为非奇异矩阵）

§8.4连续系统状态方程求解状态空间方程的标准形式一、时域解

1.状态方程时域解

状态方程左乘e-At并移项整理得第四节0-～t积分

第四节2.输出方程时域解h(t):冲激响应矩阵例一：教材P395例二：教材P398第四节二、S域解

时域方程

设第四节1.状态方程S域解整理得第四节2.输出方程S域解H(s):系统函数矩阵第四节3.状态转移矩阵φ(t)与预解矩阵Φ(s)

eAt的S域计算方法其中第四节4.冲激响应矩阵H(t)与系统函数矩阵H(s)

第四节§8.5离散系统状态空间方程的解一、时域解

1.状态方程时域解用迭代法求解差分方程第五节式中

离散系统状态转移矩阵

2.输出方程时域解式中

单位响应矩阵

第五节二、Z域解设

1.状态方程S域解整理得第五节式中

预解矩阵

状态转移矩阵

↔提供一种Ak的z域求解方法第五节2.输出方程Z域解式中

系统函数矩阵

单位响应矩阵

↔第五节§8.6系统函数矩阵与系统稳定性一、连续系统

在输入输出描述中，对因果连续系统，当H(s)全部极点位于S平面左半平面时，系统是稳定的。

在状态空间描述中，系统函数矩阵可见，H(s)极点取决于系数矩阵A的特征值。

结论：当连续因果系统系数