第六章频率特性法主编修改版

第六章频率特性分析法

版本2.0

2011年6月主编修改版华南理工大学自动化科学与工程学院制作:罗家祥审校:胥布工第六章频率特性分析6.1引言6.2频率特性的基本概念6.3频率特性图示法6.4系统的开环频率特性6.5奈奎斯特稳定判据6.6稳定裕度6.7基于开环对数频率特性的系统性能分析6.8闭环频率特性与系统性能指标6.9利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析6.10小结基本要求1.正确理解频率特性的概念。2.熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。3.熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。4.熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。返回子目录5.熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用。6.熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。7.理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。8.理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。Part6.1

引言频率特性：是指一个系统对不同频率的正弦波输入时的响应特性频域分析法：用研究频率特性的方法研究控制系统的方法频域分析法的优点：1）不必特征根，采用图解方法就可研究系统的稳定性；2）系统的频率特性可用实验方法测出，具有明确的物理意义；3）可推广应用于某些非线性系统；4）用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声的系统。6.2频率特性的基本概念6.2.1频率响应与频率特性的定义线性定常系统的频率响应：在零初始条件下，系统对正弦输入信号的稳态响应。线性定常系统的频率特性：输入：正弦信号；输出：正弦信号，频率不变，幅值和相位发生变化。若采用极坐标将系统的正弦输入信号和正弦输出响应表示为复数，则系统的频率特性定义为：系统的输出与输入之复数比。

.1频率特性的基本概念(174页)1.1频率特性的定义RC网络的传递函数输入正弦信号拉氏反变换，得电容端电压输出电压瞬态分量稳态分量时，第一项趋于零，RC网络的稳态响应表示为RC网络的微分方程RCi(t)u1(t)u2(t)输出的稳态响应与输入是同频率的正弦信号，输出幅值和相角取决于频率。输入正弦信号与输出稳态分量关系图输出稳态分量和输入复数比稳态输出与输入频率相同，振幅和相角不同6.2频率特性的基本概念分析：该电路起到了低通滤波的作用。1）当频率较低时，稳态输出电压和输入电压幅值几乎相等，且相位滞后较小，电路主要表现出电阻特性（=0时，输入与稳态输出均为大小相等的直流电压）。2）随着增大，稳态输出电压的幅值迅速减小，相位滞后随之增大，电路电容特性增强。3）当+，输出电压的幅值接近0，而相位滞后接近90°，电路近似为一电容。

幅频特性相频特性实频特性虚特性称为系统的频率特性，描述系统在正弦输入时，稳态输出的幅值和相角随输入频率变化的规律。频率特性表达式传递函数表达式即频率特性的描述课程小结（1）

1.频率响应频率特性定义一：定义二：定义三：

频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。

(ω)大于零时称相角超前，小于零时称相角滞后。频率特性的物理意义幅值A()随着频率升高而衰减例:低频信号高频信号频率特性反映了系统的内在性质,与外界因素无关!!频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。

传递函数的一般形式为传函的极点。输入输出的拉氏变换待定系数系统输出的稳态响应时，瞬态分量为零当稳定系统，极点实部为负求拉氏反变换，得系统输出频率特性的一般形式

设系统稳定，正弦输入时的输出为：∵系统稳定，∴频率特性的推导

频率特性也是描述系统的动态数学模型，频率响应法从频率特性出发研究系统。系统对不同频率输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性；幅频特性相频特性系统稳态输出对不同频率输入信号的相位滞后（或超前）特性。理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在，不稳定系统的频率特性观察不到。稳定的线性定常系统，正弦信号的作用下输出的稳态分量也是正弦信号，和输入频率相同;

振幅与输入信号振幅之比为幅频特性；相位与输入信号相位差为相频特性。

输出稳态分量与输入正弦信号的复数比得频率特性。三种数学模型的关系如图频率特性的定义:

几点说明①[][][]ej输出幅值与输入幅值之比为幅频特性

A(ω)

=为相频特性φ(ω)=Φ(jω)=称为频率特性输出相角与输入相角之差②Φer(s)=E(s)R(s),当系统稳定时[]终值定理与解析条件[]＋系统稳定？[]26.2频率特性的基本概念频率特性的实验测量方法按频率特性的定义，系统（或元件）的频率特性也可方便地通过实验方法求得，能通过实验方法来建立系统的数学模型是频率特性法的突出特点。在所关心的频率范围，按一定间隔改变输入信号的频率值，分别测得对应的幅值比和相位差即可求得系统的频率特性曲线。

6.2频率特性的基本概念pass将图6-5所示控制系统视为信号处理单元，分别对输入和输出作傅立叶反变换得分析：T(j)为反馈控制系统的闭环频率特性。从快速性和准确性的角度出发，最理想的情况为y(t)r(t)，T(j)=1。理想的闭环曲线为矩形，矩形频段内的相位为0：1）通常系统的有效信号往往集中于中低频段，要求T(j)=1。2）高频段：|R(j)|0，如虚线所示。系统高频段需滤除噪声，也要求|T(j)|0。6.2.3反馈控制系统的典型频率特性6.2频率特性的基本概念理想的矩形闭环频率特性很难实现，而闭环控制系统的典型频率特性如图6-7：闭环频域性能指标：M(0):零频振幅比

Mr:谐振峰值

r:谐振频率

b:带宽频率闭环控制系统的幅频特性M()=|T(j)|曲线有以下特点：（1）低频部分幅值M()=变化比较平缓；（2）由于典型的闭环系统往往设计成欠阻尼的，有一对共轭主导极点，对某个频率的输入信号由最大值，M()出现峰值；（3）在峰值之后，曲线以较大的陡度衰减直至为零，即实际控制系统通常具有低通作用，因而存在一定的带宽。6.2频率特性的基本概念闭环系统的带宽取决于对重现信号能力的要求（对应于时域响应速度）和对高频噪声过滤的要求两者的折衷。例如，考虑两个2阶闭环系统如下：两个闭环系统响应曲线的峰值时间分别为：

6.2频率特性的基本概念可见，系统带宽越大，时域响应的速度越快。

系统的频率响应很难直接求解时域响应，因而直接在频域内分析系统；频率分析法的主要任务就是研究系统频率响应与时域响应之间的关系，建立频域指标与时域指标之间的定量关系。采用频率响应来分析控制系统时域响应的基本思路：

频率特性分析设计系统用几何曲线表示，这些曲线有：6.3频率特性图示法幅相频率特性曲线对数频率特性曲线对数幅相特性曲线6.3频率特性图示法P():实频特性Q():虚频特性A():幅频特性:相频特性G(j)复平面上的表示G(j)在复平面上滑过的轨迹用极坐标和直角坐标表示频率特性：6.3频率特性图示法6.3.1幅相频率特性曲线奈奎斯特曲线：(幅相频率特性曲线，极坐标曲线）G(j)随从0变至+在复平面上连续变化而形成一条曲线，

曲线特征:极坐标：A(),,=0（或者0）；+，箭头表明增大时轨迹的走向

特点：P()和A()为的偶函数,Q()和()关于的奇函数，因此关于实轴对称；负频率部分奈奎斯特曲线通常以虚线形式表示，无物理意义，有几何意义。

为变量，幅值和相角表示在同一复数平面图上，时，向量的端点在复平面上的运动轨迹即的幅相频率特性曲线。绘制幅相特性曲线有两种方法对每一个值计算幅值和相角，然后将这些点连成光滑曲线；对每一个值计算，

然后连接成光滑曲线。图示是惯性环节的幅相曲线，为半圆。正实轴方向相角为零度线，逆时针方向正角度，顺时针方向负角度。曲线上标注增大的方向。1.幅相频率特性曲线：简称幅相曲线（乃氏曲线、极坐标图）6.3频率特性图示法6.3.2对数频率特性曲线（伯德图，对数坐标曲线）横坐标：lg()的均匀刻度，但直接标注，单位：rad/s十倍频程：变化10倍称一个十倍频程(记dec）；特点：1）两个频率间的几何距离为：lg2-lg1，而不是2-

1。2）横坐标采用对数刻度，相对展宽了低频段而压缩了高频段，既有利于刻画更广频率范围的系统特性，又突出了低频段的特性细节。

6.3频率特性图示法纵坐标：1)对数幅值，纵坐标均匀刻度，单位是分贝(dB）。2)对数相频特性的纵坐标为相角，单位是度(°)。优点：1)将乘除运算转化为加减运算，故可通过简单的图像叠加快速绘制高阶系统的伯德图；若考虑G(j)=A1()ej1()+A2()ej2()，则有|G(j)|=lgA1()+lgA2()2)伯德图还可通过实验方法绘制，经分段直线近似整理后，很容易得到实验对象的频率特性表达式或传递函数.

2．对数频率特性曲线（对数坐标图或伯德图）包括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线。频率特性对数幅频特性对数相频特性定义：横坐标是频率，采用对数分度，单位是[rad/s]。对数幅频特性曲线的纵坐标为对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是[dB]。对数相频特性曲线的纵坐标为相频特性的函数值，均匀分度，单位是[°]。绘制伯德图时需要用半对数坐标纸。幅值相乘变为相加，简化作图。对数坐标系对数坐标系§频率特性的基本概念（4）

§5.1.3频率特性G(jw)的表示方法以为例。幅频相频Ⅰ.频率特性Ⅱ.幅相特性(Nyquist)Ⅲ.对数频率特性(Bode)Ⅳ.对数幅相特性(Nichols)对数幅频对数相频6.3频率特性图示法6.3.3对数幅相特性曲线（尼科尔斯（N.B.Nichols）曲线）横坐标为相位()纵坐标为对数幅值L()=20lgA()绘制过程：从伯德图中分别读取各频率下L()和()的值，在尼科尔斯坐标系中确定相应的点并将频率作为参变量标于各点旁，然后以光滑曲线连接各点即可得到尼科尔斯曲线。

比例环节微分环节积分环节一阶微分二阶微分惯性环节振荡环节6.4系统的开环频率特性典型环节重点熟练掌握典型环节的频率特性及几何图形。6.4系统的开环频率特性n阶线性定常系统的开环频率特性一般可表示为如下形式：下面考虑四种基本因式的频率特性:满足上述系数要求的系统（6-17）为最小相位系统（定义见6.4.4节）。注意到控制系统开环不稳定，但闭环可以是稳定的。显然，需要扩展式（6-17）中因式的类型。

幅相特性G(s)=K1比例环节对数频率特性与频率ω无关。是实轴上的一个点，坐标为（k，j0）。K>1时，分贝数为正；K<1时，分贝数为负。幅频曲线升高或降低相频曲线不变改变K

幅相曲线一个负的纯虚矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0矢量的模随着ω的增大而减小G(s)=s12积分环节①G(s)=1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20dB/dec][-20dB/dec][-20dB/dec]②G(s)=10s1③

G(s)=5s90000-900相角均为-900是一条直线，斜率-20dB/dec积分环节对数频率特性曲线

对数曲线求斜率ωL(ω)dB0dBabLaLbωaωb斜率=对边邻边=La-Lbωa-ωb×lgωa-lgωb

例5.1求交接频率ωcωc=0.4L(ω)dBω0dB-7.96-21.94ωc15斜率=-7.96lg1∴∵ω=1时,则有令=1得：–(-21.94)–lg5L(1)=-7.96=20lgk,∴k=0.4

幅相曲线G(s)=s一个纯虚矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]01234矢量的模随着ω的增大而增大3微分环节①G(s)=s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20dB/dec][+20dB/dec]微分环节对数频率特性曲线②G(s)=2s③G(s)=0.1s相角均为900[+20dB/dec]90000-900是一条直线，斜率+20dB/dec

4惯性环节0.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.-68.2-76-840.450.370.240.05幅相曲线幅相频率特性(Nyquist)（3）

§5.2.1典型环节的幅相频率特性证明：惯性环节的幅相特性为半圆（下半圆）幅相频率特性(Nyquist)（4）

幅相特性例3系统的幅相曲线如图所试，求系统的传递函数。由曲线形状有由起点：由j0：

惯性环节对数幅频渐近曲线的分析水平线低频渐近线斜率[-20dB/dec]的斜线高频渐近线①G(s)=10.5s+1②G(s)=100s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100惯性环节对数频率特性曲线[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90oω=1/T为惯性环节的交接频率交接频率ω=5交接频率ω=24段直线方程怎么求得？

用渐近线的方式表示幅频特性,必然存在误差。最大误差发生在交接频率处，最大误差为利用误差曲线对近似曲线修正即得精确曲线。（图示误差曲线）

幅相曲线实部衡为1，虚部随ω增大而增大的矢量矢量的模随着ω的增大从1变化到无穷G(s)=Ts+1jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0123415一阶微分①G(s)=0.5s+10.3②G(s)=(0.25s+0.1)L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-20201000o+30o+45o+60o+90o[+20][+20]ω=1/T为微分环节的交接频率与惯性环节以横轴互为镜像对称一阶微分对数频率特性曲线交接频率ω=2交接频率ω=0.4增益K=0.0320lg0.03=-30dB§5.2幅相频率特性(Nyquist)（6）

⑹振荡环节§5.2.1典型环节的幅相特性曲线振荡环节的幅相频率特性曲线起始于点（1,j0），终止于点(0,j0)。曲线与虚轴的交点坐标为，此时的频率为ωn，其曲线如图5-16所示。§5.2幅相频率特性(Nyquist)（7）

谐振频率wr

和谐振峰值Mr

例4:当，时§5.2幅相频率特性(Nyquist)（8）

谐振频率谐振峰值wr,Mr不存在面积一定，垂直的两边之积最小§5.2幅相频率特性(Nyquist)（9）

幅相特性例5系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。由曲线形状有由起点：由j(w0)：由|G(w0)|：

振荡环节L(ω)渐近线分析振荡环节L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]-90o0o-180oφ(ω)o

较小时，在ω=ωn附近，A(ω)出现峰值，即产生谐振。出现谐振的条件是

0.707谐振峰值Mr对应的频率为谐振频率ωr。

振荡环节再分析0dBL(ω)dBω20lgkωnωr[-40]?2nn22nS2Sk(s)Gw+w+w=ω=r(0＜ξ＜0.707)0＜ξ＜0.5

0.5＜ξ＜1

ξ=0.5

友情提醒:φ(ωn)=-90o

幅相曲线矢量的虚部始终为正Tω<1时，实部为正，矢量在第一象限Tω＝1时，实部为零，矢量在正虚轴上Tω>1时，实部为负，矢量在第二象限jIm[G(jω)]Re[G(jω)]017二阶微分G(s)=T2s2+2ξTs+1

二阶微分的对数频率特性对数幅频渐近曲线0dBL(ω)dB[+40]ωn0<ξ<0.707时有峰值：

对数坐标图的对比

(dB)10110ω

0.11040-20

40dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω20-40二阶微分与振荡环节1/jω和jωω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jω积分与微分环节ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T1+jT和1/(1+jT)(o)90-9000.1110ω一阶微分与惯性环节动画§5.2幅相频率特性(Nyquist)（12）

⑻延迟环节§5.3.1开环系统的幅相频率特性（1）§5.3.1开环幅相特性曲线的绘制§5.3.1开环系统的幅相频率特性（2）

§5.2.2开环系统幅相特性曲线的绘制例6起点

终点

§5.3.1开环系统的幅相频率特性（3）

例7§5.3.1开环系统的幅相频率特性（4）例8A:

B:§5.3.1开环系统的幅相频率特性（5）

例9，画G(jw)曲线。解渐近线：与实轴交点：

例5.2解：求交点：

曲线如图所示：0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]开环幅相曲线的绘制无实数解，所以与虚轴无交点频率特性MATLAB绘制的图

例5.5绘制开环幅相曲线。解：曲线位于第三象限①②曲线位于第二象限§5.3.2开环系统对数频率特性(Bode)（1）§5.3.2开环系统Bode图的绘制100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][0][-20]例5.6已知绘制其开环对数频率特性曲线。20lgKL1L1L3K比例环节积分环节惯性环节[-20]解：三个典型环节：比例K、积分和惯性环节，各典型环节对数频率特性曲线，如图示。

[-40]100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][0][-20]例5.6已知绘制其开环对数频率特性曲线。20lgKL1L1φ1L3φ3φ1K比例环节φ(ω)-90o-180o-45o0o积分环节惯性环节[-20]解：三个典型环节：比例K、积分和惯性环节，各典型环节对数频率特性曲线，如图示。

[-40]

（1）低频段斜率为-20vdB/dec，v是开环系统中积分环节的个数；（2）时，低频段或延长线（的频率范围内有交接频率）的分贝值是。低频段或延长线与零分贝线的交点频率为。（3）典型环节交接频率处，斜率变化。遇到环节，斜率改变±20dB/dec；遇到环节，斜率改变±40dB/dec。分析

绘制对数幅频特性曲线的步骤：（1）将开环传递函数化成典型环节串联组成的标准形式；（2）根据开环增益K，计算20lgK的分贝值；（3）在ω=1处，标出L(1)=20lgK点，过（20lgK，1）点绘制斜率为-20vdB/dec的低频段；（4）根据交接频率绘制出相应线段；（5）若有必要，利用误差修正曲线，对交接频率附近的曲线修正，得到精确的特性曲线。100.210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]低频段：时为38db时为52db转折频率：0.5230斜率：

-40

-20-40[-20][-40]5238514-100.5302绘制的L(ω)曲线例5.7

绘制的对数曲线。解：对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。例5.8-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o对数幅频：低频段：20/s[-20]转折频率：1510斜率：-400-40修正值：各环节角度：低频段：20/s[-20]转折频率：1510斜率：-400-40-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o[-20][-40][-40]ω0dB20dB-20dBL(ω)-90o-120o-150o-180oφ(ω)1510绘制曲线

④交接频率:ω1=0.2，ω2=1，ω3=5；ω=0.2，斜率[-20]变为[-40]；ω=1，斜率[-40]变为[-20]；ω=5，斜率[-20]变为[-60]。②，。例5.9绘制对数幅频特性曲线。解①整理成典型环节的串联③低频段渐近线ω=1,L(1)=6.02dB，过（6.02，1）点画-20dB/dec的直线。⑤对曲线进行必要的修正。曲线如图§5.3.3由对数频率特性曲线确定开环传递函数

（1）例4

已知Bode图，确定G(s)。解解法Ⅱ解法Ⅰ解法Ⅲ证明：含义：40是斜率，H是高度§5.3.3由对数频率特性曲线确定开环传递函数

（2）例5

已知L(w)，写出G(s)，绘制j(w),G(jw)。解⑴III⑵叠加作图如右⑶6.4系统的开环频率特性6.4.4最小相位系统和非最小相位系统

考虑线性定常系统的传递函数，若在右半s平面上既无零点也无极点，则称其为最小相位传递函数，否则，称其为非最小相位传递函数；对应的系统分别称为最小相位系统和非最小相位系统。

最小相位的概念来源于网络理论，其含义是：在ω(0,+∞)上具有完全相同幅频特性的一类系统中，当ω从0至无穷大变化时，最小相位系统的相角变化量最小，故而得名。1．最小相位和非最小相位传递函数6.4系统的开环频率特性对比可见，非最小相位系统对阶跃响应相对变化滞后。这是由于相对于正向叠加s，反向叠加s起到了延缓输出变化的作用。当输入信号变化迅速，其微分作用较大，反向叠加会导致输出出现反向响应。6.4系统的开环频率特性例6-5已知最小相位系统的对数幅频特性渐近线如图6-36所示。试写出其传递函数。由最小相位系统的幅频特性，能唯一确定其相频特性，反之亦然。转折频率：1=2,2=10渐近线斜率：6.4系统的开环频率特性2．延迟环节幅相频率特性：圆：圆心为原点,半径为1；当=0+∞，相角不断变负，即特性由(1,j0)开始，顺时针周而复始地转动，且τ越大，转动越快。对数频率特性:渐近线与横坐标(0dB线)重合；=0+∞，相角不断变负。延迟环节本身以及任何含有延迟环节的系统均为非最小相位系统。越大，滞后越大。这种滞后对反馈系统的稳定性非常不利，具有大延迟时间的对象也因此被认为是难以控制的。例题

-20ω0L(ω)203[+20][-20]ω0L(ω)[-20][-40]1002000ωL(ω)-203.06[+40]-28最小相角系统，由L(ω)求G(s)例ω0L(ω)[-20][-40]114202.93

1L(ω)dBω0dB40-1.9424.08[-20][-40][-40][-20]8最小相角系统，由L(ω)求G(s)例ω3ω1ω2

30509.490.780.147.2L(ω)dBω0dB[-20][-40][-40][-20]最小相角系统，由L(ω)求G(s)例ω4ω3-4.4ω143.4

最小相角系统，由L(ω)求G(s)例ω→∞时曲线斜率均为-20(n-m)dB/dec；ω→∞时的相角是否等于-90°(n-m)，判断系统是否为最小相位系统。只有比例、积分、微分、惯性、振荡、一阶微分和二阶微分环节的系统是最小相位系统。6.5奈奎斯特稳定判据系统稳定的充要条件

—

全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题代数稳定判据

—

Ruoth判据

由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性

可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题频域稳定判据

—

Nyquist

判据

对数稳定判据

通过F(s)函数映射，在F(s)平面有封闭曲线ΓF2．幅角原理（证明略）s平面任选一点s=σ+jω，通过F(s)映射,在F(s)平面找到相应的象。（如图）任选一条不过F(s)零极点的封闭曲线ΓS，包围F（s)一个零点,其他零极点在ΓS外F(s)零、极点分布F(s)映射研究s在[s]平面上沿封闭曲线ΓS顺时针运动旋转一周，ΓF包围坐标原点的次数和运动方向。F(s)为s的有理分式，分子分母同阶

若s平面上Гs包围F(s)的Z个零点，和P个极点，且Гs不通过F(s)的任一零、极点；当s沿Гs顺时针旋转一圈时，F(s)的相角变化为F(s)相角为若Гs包围了F(s)一个零点，F(s)的其它零极点都位于Гs之外,当s在[s]平面上沿Гs顺时针运动一周时，向量s-zi相角变化-2π，其他向量相角变化为零，则F(s)的相角变化-2π；即F(s)曲线在[F]平面绕原点顺时针转一圈；2．幅角原理（续）

幅角原理（续）若s平面上的封闭曲线Гs包围F(s)的Z个零点、P个极点，且不通过F(s)的任一零点和极点,当s沿Гs顺时针旋转一圈时，F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数为N=Z-P

表示曲线逆时针包围平面坐标原点的周数，表示不包围坐标原点。表示曲线顺时针包围平面坐标原点的周数，注意：F(s)的Z个零点个数必须为0，否则不稳定；因为F(s)的零点就是闭环的极点

6.5.2幅角原理的应用顺时针方向包围s平面整个右半平面，由虚轴和半径R半圆组成。幅角原理中的Z和P表示F（s

）位于右半s平面的零极点数。s沿正虚轴变化,通过映射到平面,是开环频率特性的极坐标图;s沿半径无穷大的半圆变化，因n≥m,当时,，映射到平面上即坐标原点；曲线由三部分组成

(1)正虚轴，即，从0到;(2)半径为无穷大的右半圆;(3)负虚轴,即，从

变化到0。s沿的负虚轴变化，在平面映射是极坐标图关于实轴的镜像

闭环系统稳定的充分必要条件为Z=0，即N

=P。若闭环系统临界稳定，奈氏曲线穿过临界点，这时奈氏曲线逆时针包围临界点的周数不定。N——奈氏曲线[即s沿虚轴到取值，频率特性的幅相曲线]逆时针包围临界点的周数；N=P-Z

P——辅助函数右半s平面极点数；（开环的极点在右半s平面）Z——辅助函数右半s平面零点数。（闭环的极点在右半s平面）系统稳定的充要条件:奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)的周数R等于开环传递函数右半S平面极点数P，即N

=P；否则闭环系统不稳定。闭环正实部特征根个数Z按下式确定奈氏判据可表述如下：N=P-Z

奈奎斯特稳定判据（续）

例5.11

应用奈氏判据系统的稳定性，下面是开环传函解系统①①②ω由0→+∞变化,开环幅相特性曲线与负实轴的交点为如图中的实线所示。以实轴对称轴，绘出时的幅相曲线，图中虚线。奈氏曲线顺时针包原点2周，闭环系统在右半s平面的极点数为闭环系统不稳定

例5.12

系统②开环频率特性ω由0→+∞变化,开环幅相特性曲线与负实轴的交点为图中的实线。以实轴为对称轴，绘出的幅相曲线，图中的虚线。奈氏曲线（图中的虚线和实线合成的曲线）不包围(-1,j0),闭环系统在右半s平面的极点数闭环系统稳定解：

解:绘制ω=0→+∞幅相曲线,如图中实线;绘制ω=-∞→0幅相曲线，如图中虚线.G(s)H(s)在右半S平面的极点数为1，即P=1由奈氏判据求出闭环系统在右半s平面的极点数为奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点1周，即R=1。闭环系统稳定例5.13开环传递函数为,判断闭环系统的稳定性。

6.5.3奈奎斯特稳定判据的应用1．0型开环系统例6-6判断两个单位反馈系统的稳定性起点：0型系统，其奈奎斯特曲线起始于点(K,j0);终点：以(n

m)90=180方向终止于坐标原点。因此其奈奎斯特曲线不可能包围(1,j0)点。N=0。Z=N+P=0，系统稳定。6.5奈奎斯特稳定判据6.5奈奎斯特稳定判据起点：0型系统，其奈奎斯特曲线起始于点(K,j0);终点：以(n

m)90=270方向终止于坐标原点。当=0时，奈奎斯特曲线与负实轴的交点随着K的增大向左移动，当K较少时，曲线不包围(1,j0)点。Z=N+P=0，系统稳定;当K较大时，曲线包围(1,j0)点。Z=2+0=2，系统不稳定。F(s)在右半s平面有两个零点(T(s)在右半s平面2个极点)。6.5奈奎斯特稳定判据比较：两者区别仅在于后者添加了一个小惯性环节，两者的频率特性在低频段几乎没有差别。但当开环系数K较大时，闭环系统的稳定性却有本质区别。情况（2）中的小惯性环节引入了附加相位滞后，使其奈奎斯特曲线穿过负实轴进入了第二象限，因而在开环系数较大时，可能包围临界点(1,j0)。在一些实际控制系统中，传感、执行、放大等环节的时间常数相对于对象的时间常数而言非常小，建模时常被忽略。可能得到错误结果。6.5奈奎斯特稳定判据例6-7某反馈系统的开环传递函数为，

判断稳定性。当K>1时，奈奎斯特曲线逆时针（与最小相位传递函数情况不同）包围点(1,j0)一圈，由于P=1，Z=N+P=1+1=0，闭环系统稳定；当K<1时，则奈奎斯特曲线不包围点(1,j0)，P=1，Z=N+P=0+1=1，闭环系统不稳定。当K=1时，奈奎斯特曲线穿过(1,j0)，系统临界稳定。

幅角原理定义封闭曲线不穿过F(s)的任一零极点，原点有开环极点，不能直接应用封闭曲线在坐标原点以半径的半圆从右侧绕过开环极点所在的坐标原点，其它不变，如图示2．含有积分环节的开环系统图中小半圆的表达式逆时针方向在其平面上的映射为半径无穷大的圆弧顺时针方向从v90°经过0°转到-v90°若ΓS取图中实轴上半部，s沿四分之一无穷小圆弧逆时针变化，即ω=0~0+时，θ=0~+90°，G(s)H(s)曲线沿着半径为无穷大的圆弧顺时针方向转过v90°。

②从G(j0+)H(j0+)开始，逆时针补画R→∞，角度为v90°的圆弧，G(jω)H(jω)曲线的方向是顺时针，对应的ω是0~0+。将这两部分衔接起来，得到有积分环节的开环系统的幅相曲线。如图示综上所述，有积分环节幅相曲线的绘制：①绘制ω=0~0+以外的幅相曲线，其起点对应ω=0+；

通常只绘制ω=0~∞的幅相曲线，根据公式Z=0，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定;Z=闭环特征方程正实部根的个数实用方式:通过开环幅相曲线在（-1,j0）点左侧负实轴上的穿越次数获得N。ω增大时，曲线自上而下通过（-1,j0）点左侧的负实轴，为正穿越；(如图)ω增大时，曲线自下而上穿过（-1,j0）点左侧的负实轴，为负穿越。(如图)

z=p_2N闭环特征根在s右半平面的个数开环极点在s右半平面的个数自下向上为负穿越，用N－表示；自上向下为正穿越，用N＋表示；-1-1G(jω)H(jω)起于－1之左实轴，为半次穿越-1z=0系统稳定开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数-1N=N＋-N－

关于半次穿越j0-1

例5.14已知应用奈氏判据判断系统的稳定性。解:开环幅相曲线如图因N=0，P=0，所以Z=P-2N=0-0=0闭环系统稳定。

K变化时，曲线与负实轴的交点频率ω1、ω2、ω3不变，仅幅相曲线与负实轴的交点沿负实轴移动。例3.15确定图示系统稳定的K值范围。（K=10，P=0，v=1）已知1，2，3K=K1、K2和K3时，幅相曲线与负实轴的交点［（G(jω1),j0］，［（G(jω2),j0］，［G(jω3),j0）］位于（-1,j0）点。 解:三个交点频率为ω1，ω2，ω3，且ω3＞ω2＞ω1，开环传递函数的形式当K=10时求得即对应Ｋ值曲线如图稳定不稳定稳定不稳定闭环稳定K值范围

j-1ABCD0ωz=p2N在L(ω)>0dB的频段中，看φ(ω)穿越-π线的次数。从上向下为负穿越，从下向上为正穿越ωdL(ω)-90-180φ(ω)-2700dBωωωbωc0o单位圆对应0分贝线单位圆之外对应0分贝线以上单位圆之内对应0分贝线以下6.5.4对数频率稳定判据负实轴对应于-180°线。奈氏判据的另一种形式

正穿越对数相频特性曲线在ω增大时,从下向上穿越－180°线(相角滞后减小)；L(ω)>0范围内与－180°线的穿越点负穿越对数相频特性曲线在ω增大时，从上向下穿越－180°线(相角滞后增大)。(-1,j0)左侧实轴穿越点

开环特征方程不稳定根，p=0,正负穿越数之和-1,闭环不稳定。p=0z=2Z=p-2N=０-２（－１）＝２

存在积分环节，在相频特性曲线处，逆时针方向补画相角v900虚线，v是积分环个数。计算正负穿越次数时，虚线看成曲线的一部分。综述如下：反馈系统，闭环特征方程正实部根的个数Z，根据开环传递函数右半平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的频率范围内，对数相频特性曲线与线的正负穿越数之差确定Z为零，闭环系统稳定。§6.5.4.对数稳定判据(2)例6已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。(不稳定)(稳定)(不稳定)§6.5.4对数稳定判据(3)例7已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。(不稳定)(稳定)(不稳定)§6.5.4对数稳定判据(6)注意问题闭环系统不稳定闭环系统稳定有误！2.N的最小单位为二分之一当[s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧；[G]平面对应要补充大圆弧3.闭环系统超稳定？

如图包围(-1,j0)点，不稳定阶跃响应c(t)发散过(-1,j0)点，临界稳定c(t)等幅振荡不包围(-1,j0)点，闭环稳定c(t)收敛c(t)收敛系统的相对稳定性即稳定裕度用幅值裕度Kg和相位裕度γ来度量。幅相曲线距(-1,j0)点越远。相对稳定性越好6.6稳定裕度不包围(-1,j0)点，闭环稳定

j01ωgG(jω)-16.6.1幅值裕度和相位裕度1.幅值裕度Kg相频特性为-180°时，其幅值的倒数定义为幅值裕度，对应的频率ωg为相位穿越频率。物理意义：闭环系统的开环增益再放大Kg倍，系统临界稳定。Kg＞1，即Kg(dB)＞0，幅值裕度为正系统稳定

Kg＜1，即Kg(dB)＜0，幅值裕度为负，系统不稳定一般选择幅值裕度Kg(dB)为（6～20）dBG(jωg)H(jωg)幅值裕度

j01ωcγG(jω)Ｈ(jωc)

∠G(jωc)Ｈ(jωc)

-12.相位裕度γ开环频率特性的幅值为1时，其相角与180°之和定义为相位裕度，对应的频率ωc为截止频率。物理意义：闭环稳定系统的开环相频特性再滞后γ度，则系统处于临界稳定状态。γ从负实轴算起，逆时针为正，顺时针为负；稳定系统，相位裕度为正，即γ＞0不稳定系统，相位裕度为负，即γ＜0γ越大，稳定性越好。但过大会影响系统其他性能，一般γ为30°～60°相位裕度动画

稳定性方面，幅值裕度大优于幅值裕度小的系统，但幅值裕度不能完全表示系统的稳定性，如图两个系统幅值裕度相同，但曲线A表示的系统比B表示的系统稳定性好。Kg相同,稳定程度不同有些系统仅用相位裕度γ证明稳定性即可，但有许多系统则不行。最小相位系统可以用相位裕度γ证明稳定性。0dB-180ocωgωcgγ=180o+∠G(jωc)Ｈ(jωc)伯德图对应的Ｋg和γ幅值裕度相位裕度z=1-=2不稳定对数判据例题

方法1：令开环频率特性虚部等于零，求得ωg，将ωg代入实部求与实轴的交点，可求解Kg。方法2：根据φ(ωg)=-180°，用试探法求ωg，可求解Kg。求取ωc是重点和难点,一般利用典型环节渐近特性。步骤为3.截止频率ωc的计算（1）分段写对数幅频特性曲线的渐近方程表达式，即(2)求Ai(ω)=1的解ω，考查ωi-1≤ω＜ωi是否成立。若成立，ωc=ω，停止计算；否则，令i=i+1，重新计算Ai(ω)=1。4.Kg的计算

,求K=1和K=20时的Kg(dB)和γ。例5.17已知解：P=0，开环系统稳定。K=1图示,闭环系统稳定。

(2)K=20，图示,闭环不稳定。

例5.24如图系统开环对数幅频特性曲线。求：(1)γ？(2)要求γ=30°时K=？解：最小相位系统，得得K=10(1)0.1＜ωc＜10，有得ωc=1（2）求γ=30°的ωc′，ωc′满足试探得ωc′=0.17γ=30°时的K′，又知0.1＜ωc′＜10，有

解:(1)

K=5，得20lg5=14dB。L(1)=14dB，ω1=1,ω2=10，例5.25(1)

K=5，绘制伯德图，求ωc和γ；(2)用频域法求临界稳定的K值。由图知，1＜ωc＜10,于是有，得ωc＝2.24（2)求临界稳定的K值，令试探法ωg=3.1，则幅值裕度所以，K增大为K=5×2.112=10.56时，系统临界稳定。开环伯德图ωc

例5.28

系统结构图如下，已知k=10,T=0.1,ωc=5。要求ω