第六章相似原理

第六章

相似原理与应用实际问题的分析方法：理论方程：e.g.流速与流量的关系Q=v×A数值仿真：计算机模拟试验方法：未知复杂问题

量纲分析方法是一通过试验去探索事物规律的重要方法，特别是对那些很难从理论上进行分析的复杂现象，更能显示出该方法的优越性。第一节量纲分析法一、单位与量纲单位（unit）：量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。量纲（dimension）：是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和类别。如长度量纲为[L]。——“质”的表征。T:时间:小时、分、秒L:长度：米、厘米、毫米M:质量:吨、千克、克量纲诱导量纲：非独立量纲基本量纲：独立量纲L,M，T

一、单位与量纲诱导量纲P105-106量纲公式:

几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0，分类运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0

无量纲数（纯数，如雷诺准数）：

α=0,β=0,γ=0.即[x]=[1]。

特点:（1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；

（2）具有客观性；

（3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应无量纲数.

问题１：速度v，长度l，重力加速度g的无量纲集合是：A.B.ＣD.

答案：Ｄ问题２：

速度v,密度ρ,压强p的无量纲集合是：

ＡＢＣＤ

答案：Ｄ问题３：

速度v,l,时间t的无量纲集合是：A.

B.ＣＤ

答案：Ｄ问题４：压强△p,密度ρ,长度l,流量Q的无量纲集合ＡＢＣＤ

答案：Ａ

二、量纲和谐原理

量纲和谐原理（theoryofdimensionalhomogeneity）：凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。

量纲和谐原理的重要性：a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。

b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。

c.可用来建立物理方程式的结构形式。

判断：只有量纲相同的项才可以相加减。答案：对

三、量纲分析法

最常见的方法：雷利法

是量纲和谐原理的直接应用，其步骤为：①确定与所研究的物理现象有关的n个物理量；②写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：

③根据量纲和谐原理,即等式两端的量纲应该相同,确定物理量的指数x,y,z,a,代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。应用范围:一般情况下要求,相关变量未知数n小于等于4~5个。例子：课本106页第二节相似性与相似模拟原型：天然水流和实际建筑物称为原型。模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。模型和原型保证流动相似,应满足：几何相似运动相似动力相似初始条件和边界条件相似1.几何相似

几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。

长度比尺：

面积比尺：

体积比尺：2.

运动相似

运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

速度比尺：

加速度比尺：

3.动力相似

动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

力的比尺：

4.初始条件和边界条件的相似

初始条件：适用于非恒定流。边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零,自由液面上的压强为大气压强等

。第三节相似理论一、相似第一定律该定律规定了相似的必要条件，即相似现象必须具有的性质。定律：在相似的诸现象中，各相似准则数相等，或者说，在相似现象中，相似指标等于1。举例说明012012物体A，B的相似运动假设物体A、B各沿几何相似的路径作相似运动，如图所示。既然A，B运动相似，故在相应的点0，1，2。。。其速度必成比例，即：

设，由0到1所需时间分别为和，由1到2所需时间为和，它们也都成比例AB由于运动的几何路径相似，故从0点到1点的位移，由1到2点的位移。。。。也都成比例，即：任何物体的运动，其瞬间的速度都可以用如下微分方程来描述：故，对于物体A，其运动方程为：对于物体B，其运动方程为：这说明，在相似的两个现象A和B中，他们物理量之间的乘积在系统的相应点和相应时间上必然相等，即这就是两个现象相似准则显然，要保持相似，就必须在一个系统所有点上，以相同的倍数放大或缩小，因而，相似系数在相似系统的所有点上都保持恒定的数值，故有时候称其为相似常数。然而，当一个相似现象被另外一个相似现象取代时，其相似常数改变为另外一个值。如：三角形A和B相似，其三个边必须以相同倍数放大或缩小。当与三角形C相似时，又放大或缩小另外的倍数。相似准则数是用系统A中某点上的物理量组成的无因次数表示。这个无因次数在不同点上具有不同的值，当系统A变换到系统B时，其相应点上的无因次数保持恒定相同。2.相似第二定律凡具有同一现象，当单值性条件彼此相似，且由单值性条件的物理量组成的相似准则（决定性准则）在数值上相等，则这些现象必定相似。单值性条件、决定性准则同一方程描述的现象称之为同一特性的现象。方程确定了整个现象的进程，共同的规律，数学上叫“通解”，适合所有时间，地点与进程。通解具体化到个别现象上，就必须给方程加上原始的或限制性条件，对系统加以限制这些附加的，特点的限制条件与现象进程无关，称为单值性条件单值条件几何条件－流体管道流动中管道直径、长度等几何条件物理条件－物性参数，如流体粘性系数，热导系数等；边界条件－表征边界性质的物理量。第一类：给出已知函数；第二类：边界法向导数第三类：质量或能量的交换规律初始条件：用于不稳定的物理现象，表征初始条件对以后发展过程的约束条件。对于定常，初始条件失去意义。决定性单值条件单值性条件是唯一确定的，有时为了强调其对描述物理现象的决定性影响，也称为决定性单值条件。决定性量－－决定性单值条件中的物理量找到所有相似准则中决定性准则；决定性准则是相似的前提，其它相似准则是其相似的必然结果。相似准则例题－流体流动非定常不可压缩粘性流体的绝热流动中，可以用N－S方程描述（X方向）相似变换描述不可压缩粘性绝热流体相似准则为：表示两个不稳定流动在流速对时间关系上是否相似，反应的是流体不稳定程度表示流体的粘性力与惯性力比；反应的是粘性力对流动的影响表示流体的惯性力与重力比，反应重力对流动的影响；流体压力对惯性力比；反应压力对流动的影响相似准则例题－物体受力运动服从牛顿第二定律相似变换：则有：相似