第六章平均指标与标志变异指标

第六章

平均指标和标志变异指标本章内容

第一节平均指标——集中程度第二节标志变异指标——离散程度第三节是非标志的集中程度与离散程度第一节平均指标——集中程度

一、平均指标概述二、数值平均指标（算术、调和、几何）三、位置平均指标（众数、中位数）一、平均指标概述

1、概念2、特点3、作用4、种类1、平均指标的概念平均指标（AverageIndicator）是反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的综合指标，是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值。2、平均指标的特点1）平均指标是反映总体内涵的质量指标，其数值不会随着总体外延范围的大小而增减。（对比总量指标）2)平均指标是把某种数量标志在同一总体内各单位之间数值差异抽象化了的结果。3)平均指标是一个代表值3、平均指标的作用可以消除因总体不同而带来的总体数量上的差异，从而使不同的总体可以对比。（两个区域粮食总产量，播种面积）利用平均指标可以对比同一现象在不同时间的一般水平，反映这类现象发展变化的规律性。（不同时期职工工资水平：工资总额、职工人数）利用平均指标可以分析现象之间的依存关系。在对现象进行分组的基础上，结合应用平均指标，就可以分析现象之间的依存关系。（施肥量、单位面积产量）利用平均指标可以估计和推算其他有关指标。（平均值-总量）4、平均指标的种类平均指标数据标志变异指标集中程度离散程度数值平均数算术平均数位置平均数几何平均数调和平均数众数中位数二、数值平均指标

（一）算术平均数

（二）调和平均数

（三）几何平均数（四）三者关系（一）算术平均数（arithmeticmean）

1、概念2、种类及计算3、数学性质4、注意问题1、算术平均数的概念2）基本公式：1）定义：3）注意：分子、分母属于同一总体：分子：分母具有的标志值；分母：分子的承担者

是一种运用最广泛、最频繁的平均数，它是将总体各单位某一数量标志值之和求得标志总量后，除以总体单位总数。1、算术平均数的概念4）与强度相对指标的区别

计量单位

同标志值

复合单位算术平均数强度相对指标概念

比率：不同总体比率：同一总体作用

密度、强度、普遍程度总体的一般水平分子分母依存关系性质不同，经济内容上有联系例如职工平均工资、农民人均粮食产量人均收入、人均粮食产量2、算术平均数的种类及计算未分组算术平均数简单算术平均数加权算术平均数未分组数据：简单算术平均数例6-1：某生产小组有8名工人，日产某种零件分别为47、40、38、37、32、53、39、44（单位：件），则该组8名工人的平均日产量为：工人平均日产量=（47+40+38+37+32+53+39+44）/8=39(件)2、算术平均数的种类及计算未分组算术平均数分组简单算术平均数加权算术平均数绝对权数：次数相对权数：频率权数：变量数列中各组标志值出现的次数。

权衡变量值的重要性（重要：高权数，次要：低权数）权数不相等时权数才有效果，相等时：简单=加权

影响平均数结果：不是权数的绝对大小，是互相之间的权数相对比重权数的意义分组数据：加权算术平均数（1）以绝对数为权数计算算术平均数（2）以相对数为权数计算算术平均数（3）组距式数列计算算术平均数（4）由相对数数列和平均数数列计算算术平均数（1）以绝对数为权数计算算术平均数

例6-2：调查某社区的1000个家庭人数统计资料如下表，求该社区每户的平均人数。表6-1某社区家庭人数统计家庭人数x家庭数f人数合计xf1858521322643220660433213285140700665390726182合计10003609已知：分组单项式数列，x(标志值)，f（次数、权数）求加权算术平均数。平均数受两个因素影响：x(标志值)，f（权数）

讨论：x=0,f=1???

（2）以相对数为权数计算算术平均数

已知：x,

家庭人数x家庭数f各组家庭数占家庭总数的比重每个家庭平均人数1850.0850.08521320.1320.26432200.220.6643320.3321.32851400.140.76650.0650.397260.0260.182合计100013.609（3）组距式数列计算算术平均数

例6-3：根据某班学生踢脚线考试成绩的调查资料编制组距式数列如表6-3，计算学生平均成绩。已知：分组组距式数列，x(标志值)—组中值，f（权数）求加权算术平均数成绩/分学生人数f/人组中值xxf60以下75538560-702265143070-802675195080-902185178590-100495380合计80...5930（4）由相对数数列和平均数数列计算算术平均数

（一）算术平均数（arithmeticmean）1、概念2、种类及计算

3、数学性质4、注意问题3、算术平均数的数学性质1）算术平均数×总体单位数=∑总体各单位标志值。2）每个变量值±A，算术平均数±

A。3）每个变量值×/÷

A，算术平均数×/÷

A。4）∑（各个变量值-算术平均数）=零5）∑（各个变量值-算术平均数）2=最小值。4、算术平均数的注意的问题1）极端值的影响2）各组平均数与总平均数结合应用p95

（二）调和平均数（Harmonic

mean）

1、概念2、种类及计算

3、应用4、特点1、调和平均数的概念（倒数平均数）调和平均数（HarmonicMean）也称“倒数平均数”，它是对变量的倒数求平均数，然后再取倒数而得到的平均数，常用符号

表示。计算步骤：⑴首先计算各个变量值的倒数；⑵计算各个变量的倒数的算术平均数；⑶计算各变量的倒数算术平均数的倒数。2、调和平均数的种类及计算未分组调和平均数简单调和平均数加权调和平均数2、调和平均数的种类及计算未分组调和平均数分组简单调和平均数加权调和平均数式中:Xi为第i组的变量值；mi为第i组的标志总量(权数)。权数相等3、调和平均数的特点⑴调和平均数经过两次倒数计算得出，所以又称为“倒数平均数”；⑵如果数列中有一个标志值等于零，那么调和平均数将无法计算；⑶从应用范围来看，如果掌握了各组标志值和各组标志值总量，而各组单数未知时，就应采用调和平均数公式计算平均指标；如果掌握了各组标志值和各组单位数，应采用算术平均数公式计算平均指标；⑷加权调和平均数是加权算术平均数的变形计算。⑸它作为一种数值平均数，受所有标志值的影响，它受极小值的影响大于受极大值的影响，但较之算术平均数，

受极端值的影响要小一些。（三）几何平均数（Geometric

mean）

1、概念2、种类及计算

3、应注意的问题1、几何平均数的概念几何平均数(GeometricMean)是n

个变量值得连乘积的n次方根，其中n

是变量值的个数，这个平均数说明事物在一段时间按几何级数规律变化的量的平均水平，它是一种具有特殊用途的平均数，适用于计算标志值的连乘积等于总比率或总速度的社会经济现象的平均比率或平均速度。常用符号

表示。

2、几何平均数的种类及计算未分组几何平均数简单几何平均数加权几何平均数2、几何平均数的种类及计算未分组几何平均数分组简单几何平均数加权几何平均数式中:Xi为第i组的变量值；f为每个标志值出现的次数(权数)。

1、简单几何平均数p972、加权几何平均数p973、几何平均数的计算时应注意的问题（1）几何平均数是变量值连乘积后开个数次方，因此，由于计算上的问题，可以转换成对数形式来计算；p98公式⑵实际计算中，简单几何平均数公式适用于未经分组资料；加权几何平均数公式适合于分组资料；⑶几何平均数适用于计算社会经济现象的平均比率或平均速度，即变量值的连乘积等于总比率或总速度的现象适用；⑷几何平均数的应用受限制。它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数；几何平均数受极端值的影响，但较算术平均数的影响要小。（四）三者关系>0三、位置平均指标

（一）众数

（二）中位数

（三）算术平均数、众数、中位数的关系（一）众数（Mode）

1、概念2、种类及计算

3、特点1、众数的概念1）定义：一组数据中出现次数最多的变量值，Mo

2）存在条件：总体单位数——较多；各标志值的次数分配——明显集中趋势

3）适用：无法计算

4）优点：不受极端值影响。5）类型没有众数

原始数据: 10.3 4.9 8.9 11.7 6.3 7.7一个众数

原始数据: 6.3 4.9 8.9 6.3 4.9

4.9不止一个众数

原始数据: 21 28 28 41 43 431、众数的概念2、众数的计算未分组众数分组单项式数列组距数列直接观察法2、众数的计算未分组众数分组单项式数列组距数列直接观察法组距下限上限与上一组次数（频率）之差与下一组次数（频率）之差2、由组距数列确定众数（3）特点

⑴众数与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值及开口组的影响，具有稳健性；⑵众数对总体单位数有一定的要求。只有总体的单位数较多，各标志值的次数分布又有明显的集中趋势时才有众数；若总体单位数较少，各标志值的次数分布又无明显集中趋势时则没有众数；⑶若在组距数列中，当变量数列为不等距分组时，则众数的位置不好确定。（二）中位数（Median

）

1、概念2、计算

3、特点1、中位数的概念中位数(Median)是将数列中的标志值按大小顺序排序，处于中间位置的那个标志值。中位数把全部标志值分为两个部分，即两端的标志值个数相等。中位数不受极端值的影响，当数列中出现极大标志值或极小标志值时，中位数比数值平均数更具有代表性。2、中位数的计算未分组中位数从小到大排序：奇数项：中间项的数值；偶数项：中间两项数值的平均数中位数位次：2、中位数的计算未分组中位数分组单项式数列1、计算向上、下累计次数：2、确定中位数组：累计次数中所在的组3、该组变量值即为中位数2、中位数的计算未分组中位数分组单项式数列组距数列1、计算向上、下累计次数：2、确定中位数组：累计次数中所在的组3、中位数（插值法）：向上累计（下限公式）：向下累计（上限公式）：

组距下限上限以前各组的累计次数以后各组的累计次数次数总次数（3）特点⑴中位数不受数列中极端标志值的影响⑵中位数作为平均数的代表性较数值平均数更强。⑶计算中位数时，假定中位数所在组的次(频)数的分布均匀。众数、中位数和均值的关系p104对称分布

均值=中位数=众数左偏分布均值

中位数

众数右偏分布众数

中位数

均值偏态程度越大，差异越大。适当偏态>Me>M0

<Me<M0

=Me=M0

第二节标志变异指标——离散程度

一、标志变异指标概述二、离散的绝对程度（全距、平均差、标准差）三、离散的相对程度（变异系数）一、标志变异指标概述

1、概念2、作用3、种类1、标志变异指标的概念标志变异指标（MeasuresofDispersion）又称为标志变动度指标，综合反映总体各单位标志值的差异程度或离散程度，这是总体分布的另一个重要特征值。标志变异指标平均指标分布特征、代表性

+2、标志变异指标的作用⑴统计平均数是总体中数量标志的代表值，它反映着社会现象的集中趋势。标志变异指标衡量平均数代表性大小的尺度。成反比⑵标志变异指标说明现象变动的均匀性或稳定程度。⑶标志变异指标对于抽样调查与推断具有重要意义。标志变动度小，可以少抽些单位，标志变动大，必须多抽些单位。3、标志变异指标的种类平均指标数据标志变异指标集中程度离散程度绝对程度相对程度全距平均差标准差标志变异系数全距系数平均差系数标准差系数二、离散的绝对程度

1、全距2、平均差3、标准差1、全距

1）概念2）计算3）特点1）全距（极差）的概念全距是指总体各单位标志值中最大标志值和最小标志值之差。若将研究总体中各个单位，按某一数量标志值的大小顺序排列起来，则最大值和最小值分别处于数列的两极，所以全距又称极差，用来表示总体标志值的差异范围的大小，通常用R表示。2）全距（极差）的计算p105（1）未分组资料（2）分组资料3）全距（极差）特点：优点:简单、易懂；缺点:易受极端值影响，准确程度差适用：生产过程的质量控制，编制组距数列时，还可确定组距2、平均差

1）概念2）种类及计算3）特点1）平均差（平均离差、MD）的概念平均差（MeanDeviation）是总体各单位标志值对其算术平均数的离差的绝对值的算术平均数，又称为平均离差，它是测定标志值变异程度的一种指标，通常用MD

表示。平均差的作用主要是综合反映总体中各单位标志值的差异程度。平均差越大，标志变异程度越大，平均数的代表性越小；反之，平均差越小，标志变异程度越小，平均数的代表性越大。2）平均差的种类及计算p106未分组平均差简单平均差加权平均差分组优点:计算依据：所有变量；不受极值影响缺点:不便于数学处理，应用受限。3、平均差的特点3、标准差

1）概念2）种类及计算3)标准差的数学性质4）特点

1）标准差（均方差、SD、ϭ）的概念标准差（standarddeviation）又称均方差，是总体各单位的标志值对算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。是测定标志变异最主要的指标，用符号SD

或σ表示。标准差的平方称为方差，用符号σ2

表示。2）标准差的种类及计算p109未分组标准差简单标准差加权标准差分组3）标准差的数学性质⑴变量的方差等于变量平方的平均数减变量平均数的平方。⑵变量对算术平均数的方差小于对任意常数的方差。⑶将原变量x乘以一个任意常数b，则新变量y=bx的标准差和方差分别为原来的|b|倍和b2倍。⑷

个同质独立变量的方差等于各个变量方差的和。

⑸n个同性质独立变量平均数的方差等于各变量方差平均数的1/n。4）特点优点：方便用于数学处理，不受极值影响。缺陷：不能反映相对差异用标准差比较两个水平差异很大的总