初中数学北师大版八年级上册第一章勾股定理“百校联赛”一等奖

第一章勾股定理第一课时探索勾股定理（1）教学目标：经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，有特例猜想勾股定理，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。能利用勾股定理解决简单的实际问题，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。重点难点：重点：探索勾股定理的过程，并能用它来解决一些简单的问题。难点：用数格子的方法探索勾股定理.教学过程创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题章前的图文：初识勾股定理，来学习“第1节探索勾股定理”。古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系，让我们一起去探索吧。做一做观察图1—2并回答：如图1－2，直角三角形三边的平方分别是多少，它们有怎样的数量关系？你是怎样得出上面的结果的？（可以用割补法求的正方形C的面积，既可以用补的方法，也可以用割的方法。）对于图1—3中的直角三角形，三边的平方是否还满足这样的关系？你又是怎样得出上面的结果的？总结：以直角三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。议一议图1—2、1—3中，用三角形的边长表示正方形的面积；能发现直角三角形三边长度的平方之间的关系；勾股定理：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c，那么a2＋b2＝c2。我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。利用勾股定理解决图1－1中的问题。1.求斜边的长度。8862.分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，求斜边的长度.随堂练习P3－1～2.3.错例辨析：△ABC的两边为3和4，求第三边。解：由于三角形的两边为3、4，所以它的第三边的c应满足＝25即：c＝5辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题△ABC并未说明它是否是直角三角形，所以不能用勾股定理求第三边。这个题目条件不足，第三边无法求得。作业课本P4习题——1、2、3、4第二课时探索勾股定理（2）教学目标：经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。掌握勾股定理和他的简单应用重点难点： 重点：运用拼图的方法（割补法）验证勾股定理，能用勾股定理解决简单问题.难点：用割补法、面积法验证勾股定理.教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了勾股定理，你能用图1-4说明勾股定理的正确性吗？书中p5图1—5，图1-6中：大正方形的面积可表示为什么？（用割补法）对于图1－5：（1）；（2）.把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来：＝，对上面的式子进行化简，得到：即＝这就可以从理论上说明勾股定理的正确性。请同学们用图1－6说明勾股定理的正确性。二、例题讲解【例】我方侦探员小王在距离东西向公路400米处侦查发现一辆敌方汽车在公路上疾驰。他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度么？分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如下图，图中△ABC的∠C＝90°，AC＝400米，AB＝500米，欲求敌方汽车的速度，就要知道汽车在10秒的时间里的路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC中AB＝500米，AC＝400米，这样的CB就可以通过勾股定理得出。这里一定要注意单位的换算。议一议观察图1—8）观察上图，应用割补法、数格子判断图中的三角形的三边长是否满足.总结：勾股定理只适用于直角三角形中，不是直角三角形（锐△、钝△）就不能使用勾股定理。随堂练习P6－1（两次应用勾股定理）作业：1、课本P6习题——1、2；2.选用作业：P6习题——3、4。第三课时探索勾股定理（3）课型：习题课【学习目标】通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能.【学习准备】1.若△ABC中，∠C＝90°，（1）若a＝5，b＝12，则c＝；（2）若a＝6，c＝10，则b＝；2.利用右图。你能证明勾股定理吗？【学习过程】勾股定理常见题型：题型一：直角三角形中，已知两边求第三边：例1：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，AC＝6cm,BC＝8求①△ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。归纳：通过这个问题的求解,你发现直角三角形的两条直角边的乘积与斜边及斜边上的高的乘积有什么关系?【练习一】1.在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边长的平方为2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12题型二：直角三角形中，勾股定理是列方程的重要依据;例2.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？【练习二】1.直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为ABCDEO2.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1ABCDEO3.如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠.OBD是三角形。若AB＝8cm,BC＝10cm,求:AO的长度和OBD第四课时一定是直角三角形吗教学目标：1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，进一步发展推理能力；并能进行简单应用；2.掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单的应用.教学重点：掌握勾股定理的逆定理，会通过三边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．教学难点：会辨析哪些问题应用哪个结论．教学过程：一、复习引入：1.提问：勾股定理；使用勾股定理的前提条件是什么？在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.2.提出问题：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？如果三角形的三边为，，，请猜想在什么条件下，以这三边组成的三角形是直角三角形？二、新课学习做一做当一个三角形满足较短两边的平方和等于最大边的平方时，这三边组成的三角形是直角三角形.1.画图验证的方法下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：3，4，5；5，12，13；6,8,10；8，15，17.（1）这三组数都满足a2＋b2＝c2；（2）分别以每组数为三边长作出三角形（应用已知三边长、尺规作法），用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？2.得出结论（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．我们把这个结论成为勾股定理的逆定理.（2）满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．例题讲解例1（P9-例1）一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？三、随堂练习：2.（选用）四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠A＝90°，求这个四边形的面积．3.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.⑴9，12，15⑵15，36，39⑶12，35，36⑷12，18，224.一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（）A．250B．150C．200D．不能确定5.如图4：在中，于，，则是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形图4图4图56.如图5，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.图5四、课堂小结：⒈勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c（c是最长边）满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．（且最长边所对的角是直角.）当已知一个三角形三边的长度时，就可以用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形。⒉满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同整数倍后，仍为勾股数．五、作业课本P10，题第1、2、3、4.第五课时勾股定理的应用教学目标1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题，发展应用意识.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.教学重点难点：重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.教学过程1.回顾复习（1）说出勾股定理的内容，在什么条件下应用勾股定理？应用勾股定理能解决什么样的问题？（2）说出勾股定理的逆定理的内容，应用勾股定理逆定理能解决什么样的问题？2.创设问题情境，引入新课：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？解：根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.3.讲授新课：蚂蚁怎么走最近：问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，有下列几种的走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B.哪条路线是最短呢？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.4.是否垂直（做一做）：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？5.例题讲解【例】如图是一个滑梯的示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知CE＝3cm,CD＝1cm，求滑道AC的长。本例体现：勾股定理的应用，方程思想.6.随堂练习：1.课本P14:甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB＝2×6＝12(千米)；乙到达C点，则AC＝1×5＝5(千米).在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132，所以BC＝13千米.即甲、乙两人相距132.如图，有一个高米，半径是1米的圆柱形桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在桶外的部分是米，问这根铁棒应有多长？分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.(1)x2＝＋22，x2＝，x＝。所以最长是＋＝3(米).(2)若x＝，则最短是＋＝2(米).答：这根铁棒的长应在2~3米之间(包含2米、3.试一试(课本P15-5)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x＋1)尺，由勾股定理可求得(x＋1)2＝x2＋52，x2＋2x＋1＝x2＋25解得x＝12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.课时小结：这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.1.在直角三角形中，课后作业：课本P14、习题第1、2、3.第六课时回顾与思考课型：复习课【学习目标】1、掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系;正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状.2.熟练地运用直角三角形的勾股定理、逆定理和其他性质解决实际问题.【学习过程】一．勾股定理的应用C例1.如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米C例2、如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm,BC＝10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CC【练习一】1.若三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶1∶1,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式中，成立的是（）A.B.C.D.2.在△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝10，BC∶AC＝3∶4，则BC＝（）8cmDACBA.