第4142节杆件的变形计算与刚度校核(一)

工程力学第八章杆件的变形计算与刚度校核（一）知识目标：杆件的变形计算与刚度校核1．轴向拉压杆的变形计算方法。2．实功与虚功的概念，平衡力系作用下变形体虚功原理的意义。3．虚力状态的建立，作荷载弯矩图和虚力状态弯矩图。能力目标：1．能够计算轴向拉压杆的变形。2．了解实功与虚功的区别。3．能够建立虚力状态，并绘制荷载弯矩图和虚力状态弯矩图。杆件的变形计算与刚度校核第一节概述一、变形的概念杆件或结构内的点或截面位置相对于其原来位置的移动量，称为位移。

线位移Δ单位：mm角位移ψ单位：rad杆件的变形计算与刚度校核二、计算变形或位移的目的和意义1．对杆件和结构进行刚度校核。

2．为杆件或结构的施工和使用提供理论数据。3．为超静定结构的计算打基础。杆件的变形计算与刚度校核三、杆件变形计算的基本公式1、轴向变形基本公式2、弯曲变形基本公式

杆件的变形计算与刚度校核第二节轴向拉压杆的变形计算(一)纵向变形1．纵向绝对变形l=l1-l杆件的变形计算与刚度校核实际计算中，当杆件的变形不超出弹性范围时，其变形的大小可由式(6-1)积分求得：

因而得轴向拉压杆的绝对变形(伸长量)计算公式为

式中，l＞0时表示杆件伸长，l＜0时表示杆件缩短。杆件的变形计算与刚度校核轴向拉压杆的绝对变形计算的一般公式

当杆件由内力不同或刚度不同的多个杆段组成时，则整个杆件的变形等于各杆件变形的代数和。即【例6-1】计算图6-5a所示方形截面阶梯形直杆的绝对变形。已知杆件各段材料的弹性模量E=80GPa，各段横截面的边长分别为aAB=500mm，aBC=400mm，aCD=300mm。杆件的变形计算与刚度校核(二)横向变形轴向拉压杆的横向绝对变形用Δa表示，相对变形又称为横向线应变，用ε′表示。横向绝对变形

横向相对变形

杆件的变形计算与刚度校核(三)纵向变形与横向变形之间的关系泊松系数

:实验证明，在弹性变形范围内，轴力杆的横向变形与纵向变形之比为一常数，若用m表示这一比例常数，则或

上式所示的比例关系称为泊松比，μ

称为泊松系数。常用工程材料的E、μ值如P185页表6-1所示。

杆件的变形计算与刚度校核第三节梁的变形计算和刚度校核一、平衡力系作用下变形体的虚功原理1．实功与虚功的概念力与该力作用下物体沿力作用线方向的位移的乘积，称为实功。杆件的变形计算与刚度校核F1在F2加载过程中沿F1方向产生的位移Δ12上所作的功可用图b所示的矩形OABC的面积表示，即

由于在功W12的两个因子中，位移不是作功的力所引起的，故称此功为虚功。杆件的变形计算与刚度校核实功与虚功的区别

(2)虚功的大小等于力与位移的乘积，实功的大小是力与位移乘积的一半。(1)作实功时力与位移相关，作虚功时力与位移无关。杆件的变形计算与刚度校核2．平衡力系作用下变形体的虚功原理作用于弹性变形体上的外力(包括荷载和约束力)在任给虚位移上所作的虚功，称为外力虚功；虚功原理：平衡力系作用下，变形体的外力虚功等于内力虚功。即变形体在外力作用的同时会产生内力和变形，则作用于变形体中的内力在虚变形上所作的虚功，称为内力虚功。W外=W内

杆件的变形计算与刚度校核二、荷载作用下结构位移计算公式1．荷载作用下结构计算的一般公式杆件的变形计算与刚度校核根据虚功原理可得把和代入上式得：当杆件是由多个杆段组成时，上式可改写为杆件的变形计算与刚度校核2．荷载作用下梁的位移计算简化公式不考虑轴向变形和剪切变形时，梁位移公式为

杆件的变形计算与刚度校核3．荷载作用下均质等截面直梁位移计算的图乘公式对于只有一个梁段的梁，位移计算图乘公式为

当梁由多个梁段组成时，则图乘公式为杆件的变形计算与刚度校核3．ωyc是代数量，其正负号取法为：当两个弯矩图位于杆件的同一侧时取正号，位于杆件的不同侧时则取负号。利用图乘法计算位移时必须注意以下三点：1．所计算的杆件各杆段必须是均质的等截面直杆；2．ω和yc是两个不同弯矩图上的弯矩值，且yc值必须取自于直线弯矩图；杆件的变形计算与刚度校核4．荷载作用下梁位移计算的一般步骤计算方法位移法图乘法建立两种状态一是受荷载作用的状态，即实际状态二是受单位荷载作用的状态，即虚力状态杆件的变形计算与刚度校核虚力状态中单位荷载的设置方法是：欲求K截面某方向的位移，就在K截面处沿需求位移的方向设一大小等于1的荷载。(1)求线位移时的单位荷载为集中力(以表示)，如上图a所示。(2)求角位移时的单位荷载为集中力偶(以表示)，如上图b所示。杆件的变形计算与刚度校核梁位移计算的步骤一般为：(1)以梁受荷载作用的状态为实际状态，且1)积分法求位移时，列出各杆段在荷载作用下的内力方程；2)图乘法求位移时，作出杆件结构在荷载作用下的内力图。(2)设立求位移的虚力状态，且1)积分法求位移时，列出各杆段单位荷载作用下的内力方程；2)用图乘法求位移时，作出杆件结构在单位荷载作用下的内力图。(3)选用相应的位移计算公式计算位移。

杆件的变形计算与刚度校核位移方向判断：计算结果为正，表明实际位移的方向与虚设单位荷载的方向相同；计算结果为负，表明实际位移方向与虚设单位荷载的方向相反。杆件的变形计算与刚度校核三、梁位移计算的图乘法【例6-3】用图乘法计算图a所示悬臂梁B截面的竖向线位移，EI=常数。弯矩