第三章数据分布特征的描述

2023/2/6版权所有BY统计学课程组1第一节集中趋势——数值平均数第二节集中趋势——位置平均数第三节离中趋势的测度第四节偏度与峰度的测度第三章数据分布特征的描述2023/2/6版权所有BY统计学课程组2本章重点与难点重点:

了解和掌握算术平均数、众数、中位数、方差、标准差、标准分数的含义及其计算方法；正确使用离散系数比较不同均值的代表性。难点:

是偏度和峰度的含义及其计算方法。2023/2/6版权所有BY统计学课程组3学习目标

正确理解平均指标与变异指标的概念的、意义与作用，明确其种类和区别；掌握平均指标和变异指标的计算方法，以及应用的原则和条件；掌握偏度和峰度的含义及其计算方法；了解各种分位数的概念与意义。2023/2/6版权所有BY统计学课程组4数据分布的特征：一、集中趋势:反映数据向其中心靠拢或聚集程度；二、离中趋势；数据远离中心的趋势(又称离散程度)；三、偏态和峰态；偏态是对数据分布对称性的度量；峰度是指数据分布的平峰或尖峰程度（形状）。2023/2/65数据分布的特征集中趋势:反映数据向其中心靠拢或聚集程度

(位置)偏态和峰态；偏态：反映数据偏斜程度；峰度：数据分布的平峰或尖峰程度（形状）离中趋势；数据远离中心的趋势

(分散程度)2023/2/66数据分布特征的测度1.集中趋势算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数。2.离散程度全距、异众比率、四分位差、平均差、方差和标准差、离散系数、标准分数。3.分布的形状偏态系数、峰态系数。2023/2/6版权所有BY统计学课程组7第一节集中趋势——数值平均数

p75

一、算术平均数二、调和平均数三、几何平均数数值型数据的平均数2023/2/6版权所有BY统计学课程组8集中趋势

(centraltendency)一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值注意：低层次数据的测度方法也适用于高层次的数据，但高层次数据的测度方法往往不适用于低层次的数据。2023/2/6版权所有BY统计学课程组9一、算术平均数

均值（算术平均数）定义：将一组数据相加后除以数据的个数所得到的一个数值，称为算术平均数（average）或均值（mean)。

算术平均数，又有简单算术平均数和加权平均数之分。算术平均数公式的应用条件（1）各变量值相互独立；（2）变量名称和计量单位相同；（3）截面数据。2023/2/6版权所有BY统计学课程组10

一、算术平均数

设一组数据为：x1，x2，…，xn

未分组数据各组的组中值为：x1，x2，…，xk

组距分组数据

相应的频数为：f1，f2，…，fk简单算术平均数加权算术平均数2023/2/6版权所有BY统计学课程组11【例3.1】根据表3-1中的数据，计算职工通信费用支出额平均水平。p72解：2023/2/6版权所有BY统计学课程组12

身高组中值人数比重（cm）xi（cm)fi（人）（%）

150-155152.533.61155-160157.51113.25160-165162.53440.96165-170167.52428.92170以上172.51113.25

总计-83100.00

例3.2分组资料均值的计算：某年级83名女生身高资料组距数据次数f频率f/∑f变量值x加权算术平均数2023/2/6版权所有BY统计学课程组13【例3.3】依据整理得表3-4中的数据，计算职工通信费用支出额平均水平。p74解：或2023/2/6版权所有BY统计学课程组14

计算算术平均数，

注意：用各组的组中值代表其实际数据计算算术平均数时，通常假定各组数据在组内是均匀分布的，相应的组中值近似等于各组的平均数。权数：衡量变量值相对重要性的数值。各个变量值的权数要起作用必须具备两个条件：一是各个变量值之间有差异；二是各个变量值的权数有差异。简单算术平均数是加权算术平均数在权数相等时的特例。2023/2/6版权所有BY统计学课程组15

算术平均数的性质p75-76

1．各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即

2023/2/6版权所有BY统计学课程组16算术平均数的性质2023/2/6版权所有BY统计学课程组17集中趋势的最常用测度值；一组数据的均衡点所在；易受极端值的影响；由组距分组资料计算的均值有近似值性质；5、用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据算术平均数（均值）特征：2023/2/6版权所有BY统计学课程组18

二、调和平均数

调和平均数也称“倒数平均数”，它是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，以表示。根据掌握的资料不同，调和平均数也有简单调和平均数和加权平均数两种形式。其计算公式为：

2023/2/6版权所有BY统计学课程组19

例题分析【例3.4]假设甲、乙、丙三种苹果的价格分别为每斤2.4元、1.8元及1.5元（1）若三种苹果各买1元，试问所购苹果的平均价格又为多少？（2）如果甲、乙、丙三种苹果分别购买5元、8元和10元，试问其平均价格为多少？解：计算平均价格的是用所付金额除以所购数量。（1）（2）2023/2/6版权所有BY统计学课程组20

计算调和平均数，注意：

从数学定义角度看算术平均数与调和平均数是不一样的，但在社会经济应用领域，调和平均数实际上只是算术平均数的另一种表现形式，二者本质上是一致的，唯一的区别是计算时使用了不同的数据。2023/2/6版权所有BY统计学课程组21三、几何平均数(geometricmean)p78几何平均数也称几何均值，它是n个变量值乘积的n次方根。几何平均法是计算平均比率或平均发展速度最适用的一种方法。如果分布数列中各变量值呈几何级数变化或频率分布极不对称，也常采用几何平均法来计算平均数。根据统计资料的不同，几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数之分。

2023/2/6版权所有BY统计学课程组22几何平均数的计算公式

用途：适用于对比率数据的平均。主要用于计算平均发展速度、平均增长率、平均比率对于未分组的资料，几何平均数的计算公式为2023/2/6版权所有BY统计学课程组23例题分析【例3.7】已知某市2008～2012年国内生产总值的发展速度（以上年为100）依次分别为112%、108%、114%、116%和113%。试计算这5年国内生产总值的平均发展速度。

如果已知的是各年的增长速度，要计算若干年的平均增长速度，则需要先将增长率加上100%得到发展速度，再根据上述方法计算平均发展速度，最后用平均发展速度减100%则得到平均增长速度。2023/2/6版权所有BY统计学课程组24例题分析【例3.8】甲投资银行某项投资的年利率是按复利计算的，若将过去20年的年利率资料如表3-8所示.要求：试计算20年的平均年利率。2023/2/6版权所有BY统计学课程组25应用几何平均数时注意几何平均数在实际应用中受到很多限制；如果被平均的变量值中有一个为零，则不能计算几何平均数；如果变量值为负数，开偶次根会形成虚根，失去意义；几何平均数在实际应用中的范围比算术平均数要窄。2023/2/6版权所有BY统计学课程组26第二节集中趋势—位置平均数p80一、众数Mo二、中位数Me三、四分位数QU、QL2023/2/6版权所有BY统计学课程组27集中趋势—位置平均数位置平均数：根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的代表值；对于整个总体来说，具有非常直观的代表性，常用来反映分布的集中趋势；常用的位置平均数有众数和中位数。2023/2/6版权所有BY统计学课程组28一、众数p80（一）众数的含义众数是指一组数据中出现次数最多的变量值，用表示。众数直观地说明分布的集中趋势，并用它作为反映变量值一般水平的代表值。在某些场合只有众数才适合作为总体的代表值。2023/2/6版权所有BY统计学课程组29（二）众数的计算方法1．观察法求众数如果数据已按单个变量值整理成频率分布表或者是分类数据表，则次数出现最多或频率最大的那个变量值即为众数。【例3.9】某制鞋厂要了解消费者最需要哪种型号的男皮鞋，调查了某百货商场2009年3月男皮鞋的销售情况，得到资料如表3-9所示。2023/2/6版权所有BY统计学课程组30众数的计算--例题分析要求：试根据上表资料计算男皮鞋销售量的众数。解：销售量最多的是规格为25.5厘米的鞋号，销售量320双，占32%，故众数为25.5公分。2023/2/6版权所有BY统计学课程组31众数的计算--例题分析p81【例3.10】某高校电影院在安排2010年影片放映计划时，分别按性别随机抽取200名男女学生，登记其对影片类型的取向。统计结果如表3-10所示。要求：试分析学生对影片取向的集中趋势。解：

7种类型的影片中，男生最喜欢看动作片，人数为48人，占24%，众数即为动作片这种影片类型；女生最喜欢看言情片，人数为46人，占23%，众数即为言情片这种影片类型；男女生对影片类型的取向，综合而言是动作片，众数为动作片这种影片类型。

2023/2/6版权所有BY统计学课程组32数值型数据众数的确定方法单变量值分组资料某年级83名女生身高资料

身高人数（CM）（人）

152115421552156415711582159216012161716281634

身高人数（CM）（人）

1643165816651673168716911705171217231741总计

83

STAT众数2023/2/6版权所有BY统计学课程组33

注意：

众数不仅适用于测度顺序数据和数值型数据的集中趋势，而且适用于测度不能计算平均数的分类数据的集中趋势。2023/2/6版权所有BY统计学课程组34众数的计算方法2．插值法求众数对于组距分组形成的分布数列，当频率分布属于完全对称分布，而众数所在组的变量值分布比较均匀时，可用观察法求众数，即以众数组的组中值作为所求的众数。完全对称分布不存在，众数组前后各组的次数不一定相等，众数就不等于组中值，因此需要采用插值法求众数。2023/2/6版权所有BY统计学课程组35组距分组数据，众数的计算步骤1、先找到众数所在的组；2、按该组次数与前后相邻两组分布次数之差所占的比重来推算众数值。如果众数组前一组的次数大于后一组的次数，则众数值小于其所在组的组中值；反之，众数值则大于其所在组的组中值；若众数组前后相邻组的次数相等，则众数值等于其所在组的组中值。3、计算众数有上限和下限公式之分。

2023/2/6版权所有BY统计学课程组36众数的计算方法2023/2/6版权所有BY统计学课程组37

身高人数比重（CM）（人）（%）

150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上1113.25

总计83100某年级83名女生身高资料③数值型数据众数的确定方法组距分组资料STAT众数组2023/2/6版权所有BY统计学课程组38

众数的特点1．众数不受分布数列的极大或极小值的影响，众数对分布数列有好的代表性。2．数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点，众数可能不存在；3.有两个或多个高峰点，可以有两个或多个众数。众数不具有唯一性。4．众数缺乏敏感性。2023/2/6版权所有BY统计学课程组39二、中位数Mep83（一）中位数的含义中位数是将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个变量值称为中位数。中位数用Me表示。2023/2/6版权所有BY统计学课程组40中位数的计算中位数概念：排序后处于中间位置上的值1．根据未分组数据计算中位数。Me50%50%2023/2/6版权所有BY统计学课程组41例题分析【例3.12】某班第一、二两个小组统计学期末考试成绩排序结果如表3-12所示。要求：分别计算两小组成绩的中位数解：两个学习小组的考试成绩已经分别按由低到高排列。第一小组有7个学生，第4位为中位数的位置，Me=75.

第二小组有8个学生，中位数的位置处于第四和第五个学生之间。2023/2/6版权所有BY统计学课程组42中位数的计算2．由分组资料确定中位数

如果由组距数列确定中位数，应先按的公式求出中位数所在组的位置，然后再按下限公式或上限公式确定中位数。2023/2/6版权所有BY统计学课程组43组距分组数据中位数的确定方法

身高fi人数累计（CM）（人）人数

150-15533155-1601114160-1653448165-1702472170以上1183

总计83某年级83名女生身高资料STAT中位数组2023/2/6版权所有BY统计学课程组44

中位数的特点1．不受分布数列的极大或极小值影响。2．有些离散型变量的单项式数列，当次数分布偏态时，中位数的代表性会受到影响。3．中位数缺乏敏感性。

2023/2/6版权所有BY统计学课程组45三、四分位数p85

中位数是根据其在数列中所处的位置来确定的一个平均数，作为各变量值的一个代表值，以反映分布数列的集中趋势。为了进一步了解一组数据分布的内部结构，观察变量值在各个区间的一般水平，还可以计算四分位数、十分位数和百分位数。

2023/2/6版权所有BY统计学课程组46

四分位数四分位数是通过3个点将全部数据等分为四个部分，其中每部分包含25%的数据。

QLMeQU25%25%25%25%处于25%和75%位置上的值即四分位数特点：不受极端值的影响要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据（各种分位数可由spss计算）2023/2/6版权所有BY统计学课程组47四分位数的计算1.根据未分组数据计算四分位数时，先对数据进行排序，然后再确定四分位数所在的位置当四分位数的位置不是整数时，可根据四分位数的位置，按比例分摊四分位数所在位置两侧变量值之差的数值。2023/2/6版权所有BY统计学课程组48四分位数的计算—例题分析【例3.14】将例3.12中两个学习小组的统计学考试成绩合并如下：

要求：

(1）计算前15个学生统计学考试成绩的四分位数；（2）如果增加一个学生的成绩95分，试计算16个学生统计学考试成绩的四分位数。2023/2/6版权所有BY统计学课程组49四分位数的计算—例题分析2023/2/6版权所有BY统计学课程组50四分位数的计算2.根据组距数列计算四分位数

2023/2/6版权所有BY统计学课程组51四分位数的计算2023/2/6版权所有BY统计学课程组52

算术平均数简评算术平均数：算术平均数符合上述六个条件，应用范围最广。易受极端值的影响。当分布数列中存在开口组时，会影响平均数的准确性。算术平均数适用于数值型数据。2023/2/6版权所有BY统计学课程组53（三）众数、中位数和算术平均数的关系

在数据分布呈完全对称的正态分布时，算术平均数、众数和中位数三者相等。在次数分布非对称时，算术平均数、众数和中位数三者不相等，但具有相对固定的关系。在尾巴拖在右边的正偏态（或右偏态）分布中，众数最小，中位数适中，算术平均数最大。2023/2/6版权所有BY统计学课程组54

众数、中位数和平均数的关系

左偏分布均值

中位数

众数对称分布

均值=中位数=

众数右偏分布众数

中位数均值对何种数据而言的？2023/2/6版权所有BY统计学课程组55第三节离中趋势的测度

p85数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度)从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表性注意：数据的离散程度越大，集中趋势的测度对该组数据的代表性越差；数据的离散程度越小，集中趋势的测度值对该组数据的代表性越好。不同类型的数据有不同的离散程度测度值2023/2/6版权所有BY统计学课程组56下面是两个总体关于年龄分布的数据,相对而言,那个总体的年龄分布分散,差异大些?46、47、48、49、50、51、52、53、548、15、20、30、5070、80、85、92总体1总体22023/2/6版权所有BY统计学课程组57离中趋势；数据远离中心的趋势

(分散程度)总体2总体12023/2/658数值型数据：①全距(或称极差)（range

）②平均差（meandeviation）③方差和标准差（Varianceandstandarddeviation）④相对离散程度：离散系数（CoefficientofVariation

）分类数据：异众比率（variationratio）顺序数据：四分位差（quartilerange

）离散程度的测度2023/2/6版权所有BY统计学课程组59一、全距（Range）

全距也称为极差，是指一组数据的最大值与最小值之差，用R表示。即：R＝最大变量值－最小变量值没有开口组的组距分布数列计算全距，可以用最大组的上限值减去最小组的下限值，得到全距的近似值。全距可以反映一组数据的差异范围。2023/2/6版权所有BY统计学课程组60全距的计算【例3.16】表3-14是两组人口关于年龄分布的数据,要求计算全距。解：第一组全距第二组全距

注意：如果组距分布数列中有开口组，则不能计算全距。全距计算简单，易理解，易受极端值的影响;不能反映中间数据分散状况，不能准确描述数据的分散程度。2023/2/661

二、异众比率

（variationratio）① 非众数组的频数占总频数的比率②计算公式为③用于对分类数据离散程度的测度

④用于衡量众数的代表性2023/2/6版权所有BY统计学课程组62异众比率

异众比率主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性就越差；异众比率越小，说明非众数组的频数占总频数的比重越小，众数的代表性越好。异众比率适合测度分类数据、测度顺序数据和数值型数据的离散程度。2023/2/6版权所有BY统计学课程组63异众比率的应用

p89【例3.17】根据例3.10的数据计算学生对影片取向的异众比率。【解】根据公式得说明：比较上面的三个异众比率，全部样本学生的异众比率最大，说明其众数的代表性最差；男生的异众比率略小于女生的异众比率，说明男生对影片取向的众数的代表性略好于女生对影片取向的众数的代表性。2023/2/6版权所有BY统计学课程组64三、四分位差p89

注意：①上四分位数与下四分位数之差

Qd=QU

–QL反映了中间50%数据的离散程度②对顺序数据离散程度的测度③不受极端值的影响④用于衡量中位数的代表性2023/2/6版权所有BY统计学课程组65四分位差的应用注意：四分位差不易受极端值的影响，可以测量含有开口组的数据分布的差异程度，但不能反映所有变量值的差异程度。【例】依据前面例3.16中两组人口年龄的四分位差：

结论：第一、第二组的中位数均为50岁，但其代表性不同。第一小组的中位数代表性相对高些，因为相对而言，四分位差小，数据分布集中。第二组年龄中位数代表性低些，因为该组年龄差异大，年龄分布相对分散。2023/2/6版权所有BY统计学课程组66四、平均差（AverageDeviation）平均差就是各个变量值与其算术平均数离差的绝对值的平均数，以AD表示。它综合反映了各变量值的变动程度，是各个离差的代表值。平均差越大，则表示变量值的离散程度越大，说明平均数的代表性越小；平均差越小，则表示变量值的离散程度越小，说明平均数的代表性越大。2023/2/6版权所有BY统计学课程组67

平均差的计算①各变量值与其均值离差绝对值的平均数计算公式为未分组数据组距分组数据诸变量值与均值的偏差②能全面反映一组数据的离散程度③数学性质较差，实际中应用较少2023/2/6版权所有BY统计学课程组68

平均差的计算【例3.18】

要求：根据例3.16所给的资料分别计算第一、第二组人口年龄的平均差，并比较其平均年龄的代表性。解：结论：

比较两个平均差可知，两组人口年龄平均数均为50岁，第一组平均差小，人口年龄分布的差异小，平均年龄的代表性好；第二组平均差大，年龄分布的离散水平大，平均年龄的代表性差些。2023/2/6版权所有BY统计学课程组69

平均差的计算【例3.19】根据表的资料计算120名职工通信费用支出额的平均差。解：2023/2/6版权所有BY统计学课程组70平均差的含义：

每名职工通信费用支出额有高有低，与平均数165元相比，差异有大有小。平均差表明：以平均通信费用165元为中心，每名职工通信费用支出额与平均水平的平均差距为42.42元。注意：平均差易理解、计算简便，可以说明数据分布的离中趋势；但由于有绝对值及数理统计学的广泛应用，故其应用范围受到限制。2023/2/6版权所有BY统计学课程组71五、方差与标准差p92方差是各个数据与其算术平均数的离差平方的平均数，通常以表示总体方差，s2表示样本方差。标准差又称均方差，是方差的平方根，一般用表示总体标准差，以S表示样本标准差。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法。对于总体数据和样本数据，公式略有不同。

2023/2/6版权所有BY统计学课程组72方差与标准差注意：方差和标准差是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值；它能准确地反映出数据的离散程度；方差和标准差是应用最广泛的离散程度测度值。

2023/2/6版权所有BY统计学课程组73总体方差与标准差的计算公式总体标准差2023/2/6版权所有BY统计学课程组74样本方差和标准差（记住）p92

(simplevarianceandstandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!2023/2/6版权所有BY统计学课程组75方差与标准差的应用【例3.20】要求：根据表中的数据计算120名职工通信费用支出额的方差和标准差。2023/2/6版权所有BY统计学课程组76方差与标准差的计算【解】已知平均数为165元，因是随机抽取的样本资料，故依据样本方差及标准差的公式计算。计算结果表明，样本中每名职工月通信费用支出额与月平均通信费用支出额165元的水平相比，差异有大有小，但平均偏差是51.4元。2023/2/6版权所有BY统计学课程组77方差与标准差的应用【例3.21】考察一台机器的生产状况，利用抽样程序来检验其生产出来的产品质量是否稳定。据行业标准，如果样本零件尺寸的标准差大于0.3公分，则表明该零件的质量不稳定，需要对该机器进行停工检修。数据如下：要求：根据资料，判断该机器是否需要停工修。2023/2/6版权所有BY统计学课程组78方差与标准差的应用解：计算的样本标准差0.2126公分，小于0.3分，表明该台机器不需要停工检修。注意：标准差是一个重要的偏差，描述了各观察值与均值的平均距离。2023/2/6版权所有BY统计学课程组79六、离散系数p94离散系数（标准差系数或变异系数）通常是用标准差来计算的，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标，其计算公式为：式中：Vσ和Vs分别表示总体离散系数和样本离散系数。2023/2/6版权所有BY统计学课程组80离散系数的应用平均水平或计量单位不同的不同组别的变量值，不能直接用离散程度的测度值比较。平均水平或计量单位不同的不同组别进行比较，需计算离散系数。离散系数大的说明该组数据的离散程度也就大，离散系数小的说明该组数据的离散程度小。2023/2/6版权所有BY统计学课程组81离散系数的应用【例3.22】从某管理局所属的两家企业中各随机抽取10名职工，调查获得他们的年收入数据如表所示：要求：根据上表数据计算甲乙两企业抽样职工的平均收入以及离散系数，说明两组数据的离散程度及平均数的代表性。2023/2/6版权所有BY统计学课程组82结论：

因为v乙<v甲，所以乙企业职工年收入平均水平比的甲企业的更具有代表性。v甲=4667014354.25=30.76%v乙=5338015277.4=28.62%2023/2/6版权所有BY统计学课程组83第四节偏态与峰态的测度p98一