第三章二维随机变量及其分布

第三章二维随机变量及其分布第一节二维随机变量及其联合分布第二节边缘分布与随机变量的独立性第三节两个随机变量的函数的分布(X,Y)A实际问题中往往需要同时研究多个随机变量.例如抽样调查15-18岁青少年的身高

X

和体重

Y

以研究该年龄段青少年的身体发育情况,此时不仅要探究

X

和

Y

各自的性质,还要探究它们间的相互关系.有序对

(X,

Y)称为二维随机变(向)量,它是平面上的随机点:性质(1)F(x,

y)

分别关于

x,

y

单调不减.(2)F(x,

y)

分别关于

x,

y

左连续.(3)0

F(x,

y)

1,且F(,

y)

=

F(x,

)

=

F(,

)

=

0,F(+,

+)

=

1.二维随机变量(X,

Y)的联合分布函数:

F(x,

y)

=

P{X

<

x,

Y

<

y}.(x,

y)xy(X,

Y)随机点落在矩形域的概率 P{x1

X

x2,

y1

Y

y2} =

F(x2,

y2)

F(x2,

y1)

F(x1,

y2)

+

F(x1,

y1).(x2,

y2)(x1,

y1)二维离散型随机变量(X,

Y)

的可能取值是有限或可列无限个实数对.(X,

Y)的联合概率分布(分布律):P{X

=

xi,

Y

=

yj}

=

pij,(i,

j

=

1,

2,

3,

…).YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………性质(1)0

pij1;(2)i,j

pij=

1.例1袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个.X,

Y分别为第一,二次取到的球上的数字,求(X,

Y)的联合分布列.解(X,

Y)的可能取值为(1,

2),(2,

1),(2,

2).P{X

=

1,

Y

=

2}

=

(1/3)(2/2)

=

1/3,P{X

=

2,

Y

=

1}

=

(2/3)(1/2)

=

1/3,P{X

=

2,

Y

=

2}

=

(2/3)(1/2)

=

1/3,YX12101/321/31/3例2设二维随机变量(X,

Y)可能取值为

(0,

0),

(1,

1),(1,

1/3),

(2,

0)

且取这些值的概率依次为求(X,

Y)的分布列.解(X,

Y)

的联合分布律

Y

X01/3101/600101/121/325/1200二元连续型随机变量(X,

Y)的分布函数其中

f

(x,

y)

称为

(X,

Y)的(联合)概率密度(分布密度).性质(1)f

(x,

y)

0;(2)(3)在连续点处(4)(X,

Y)落在区域

D

的概率F(+,

+)

=

1f

(x,

y)xy例3设

(X,

Y)

的概率密度为(1)确定常数

k; (2)求(X,

Y)的分布函数;(3)求

P{0

<

X

4,

0

<

Y

1}; (4)求

P{X

<

y}.解(1)k

=

6,因为

(2)当

x

0

或

y

0

时,F(x,

y)

=

0.当

x

>

0

且

y

>

0

时,所以(3)41或(4)

x

x

o224例4已知

(X,

Y)

的密度求概率(1)

P{X

<

1,

Y

<

3};(2)

P{X

+

Y

<

3}.解13(2)12243x

+

y

=

3区域

D

上的均匀分布

例设(X,

Y)服从区域

D

上的均匀分布,D

为

x

轴,

y

轴及直线

y

=

2x

+

1

所围成的三角形区域.求

P{Y

<

1/2}.答:区域

D

上的均匀分布y

=

2x

+

1D1D1思考设

(X,

Y)服从

D

上的均匀分布,D

为

x

轴,y

轴及直线

y

=

2x

+

1

所围成的三角形区域.求其分布函数.解(X,

Y)的密度函数分布函数(1)当

x

1/2

或

y

0

时,F(x,

y)

=

P(}

=

0.y

=

2x

+

11/2(2)当

1/2

<

x

0

且

0

<

y

2x

+

1

时,y

=

2x

+

11/2(3)当

1/2

<

x

0

且

y

>

2x

+

1

时,(4)当

x

>

0

且

0

<

y

1

时,y

=

2x

+

11/2(5)当

x

>

0

且

y

>

1

时,综上,所求的分布函数为二维正态分布

N(1,

2,

12,

22,

):其中

1>

0,

2>

0,

1

<

<

1.最常见的二维连续型分布第三章二维随机变量及其分布第一节二维随机变量及其联合分布第二节边缘分布与独立性第三节两个随机变量的函数的分布不在教学范围内:三.条件分布(conditionaldistribution)pp61-64边缘分布随机变量的独立性二维随机变量(X,

Y)是把两个随机变量视为一个整体,讨论其联合取值规律:F(x,

y)

=

P{X

<

x,

Y

<

y}.边缘分布问题:由二维随机变量(X,

Y)的分布来确定两个一维随机变量

X,

Y

各自的分布.marginaldistribution设二维随机变量(X,

Y)的分布函数为F(x,

y),则FX(x)

=

P{X

<

x}

=

P{X

<

x,

Y

<

+}

=

F(x,

+),FY(y)

=

P{Y

<

y}

=

P{X

<

+,

Y

<

y}

=

F(+,

y)依次称为

(X,

Y)

关于

X

和

Y

的边缘分布函数.marginaldistributionFX(x)

=

P{X

<

x}

=

F(x,

+)FY(y)

=

P{Y

<

y}

=

F(+,

y)二维离散型的边缘分布若二维离散型随机变量(X,

Y)的联合分布律为P{X

=

xi,

Y

=

yj}

=

pij,(i,

j

=

1,

2,

3,

…),则称

pi.=

P{X

=

xi}

=jpij为关于

X

的边缘分布,p.j

=

P{Y

=

yj}

=ipij为关于

Y

的边缘分布.YXy1y2…yj…pi.x1p11p12…p1j…p1.x2p21p22…p2j…p2.………………xipi1pi2…pij…p.i………………p.jp.1p.2…p.j…=1关于

X

的边缘分布关于

Y

的边缘分布Xx1x2…xi…概率p1.p2.…pi.…Yy1y2…yj…概率p.1p,2…p.j…例1设二维离散型随机变量(X,

Y)的联合分布律为YX011/3101/31/1201/60025/1200求关于

X,

Y的边缘分布.关于

Y

的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解关于

X

的边缘分布X102概率5/121/65/12二维连续型随机变量的边缘分布

其中,关于

X

的边缘概率密度其中,关于

Y

的边缘概率密度关于

X

的边缘分布函数关于

Y

的边缘分布函数例2设(X,

Y)的联合密度为求

k

值和两个边缘分布密度.解由得当

x

[0,1]时,关于

X

的边缘分布密度113当x

[0,

1]时,fX(x)=0.故关于X的边缘分布密度113故,关于

Y

的边缘分布密度当

y

[1,

3]

时,fY(y)

=

0.当

y

[1,

3]

时,关于Y的边缘分布密度例3设(X,

Y)的联合分布密度(1)求

k;(2)求关于

X

和

Y

的边缘密度;(3)求概率P{X

+

Y

<

1}

和

P{X

>

1/2}.均匀分布解(1)由得-11(2)当

x

[1,

1]

时,当

x

[1,

1]

时,fX(x)

=

0.故

X

的边缘密度11当

y

[1,

1]

时,当

y

[1,

1]

时,fY(y)

=

0.故

Y

的边缘密度(3)若

(X,

Y)

~

N(1,

2,

12,

22,

)†,则两个边缘分布分别服从正态分布:X

~

N(1,

12),Y

~

N(2,

22),与相关系数

无关.一般地,

联合分布可确定边缘分布,但边缘分布未必能确定联合分布.随机变量

X

和

Y

相互独立:F(x,

y)

FX(x)FY(y).对于离散型和连续型的随机变量,该定义分别等价于pij

pi•p•jf

(x,

y)

fX(x)fY(y).†在很多实际问题中,随机变量的相互独立性是不难判断的.‡相互独立时,边缘分布可确定联合分布.二随机变量的独立性例1设(X,

Y)的分布律为证明:X,

Y

相互独立.证逐个验证等式pij

pi•p•j,故

X,

Y

相互独立.YX1021/22/201/202/2012/201/202/2024/202/204/20pi•1/41/42/41p•j2/51/52/5例2设(X,

Y)的概率密度为求(1)P{0

X

1,

0

Y

1};(2)(X,

Y)

的边缘密度;(3)判断

X,

Y

是否独立.解(1)A11(2)边缘密度函数当x

0

时,当x

<

0

时,fX(x)

=

0.所以同理可得(3)因所以

X

与

Y

相互独立.例3设

(X,

Y)服从区域

D

上的均匀分布,D

为

x

轴,y轴及直线

y

=

2x

+

1

所围成的三角形区域.判断

X,

Y是否相互独立.解(X,

Y)的密度函数为1y

=

2x

+

1D当1/2

<

x

0

时,所以关于

X

的边缘分布密度当

x

1/2

或

x

>

0

时,fX(x)

=

0.1y

=

2x

+

1D所以关于

Y

的边缘分布密度当

y

0

或

y

>

1

时,fY(y)

=

0.当

0

<

y

1

时,所以,X

与

Y

不独立.1y

=

2x

+

1D例4设(X,

Y)服从矩形域{(x,

y)|a

x

b,

c

d}

上的均匀分布,求证

X

与

Y

相互独立.证当

a

x

b

时当

x(a,

b)时fX(x)

=

0.于是Aacbd类似地可见f

(x,

y)

fX(x)·fY(y),即

X

与

Y

相互独立.设

(X,

Y)

~

N(1,

2,

12,

22,

),则

X,

Y

相互独立

=

0.此时

X

~

N(1,

12),Y

~

N(2,

22):证见p60例4.第三章二维随机变量及其分布第一节二维随机变量及其联合分布第二节边缘分布与独立性第三节两个随机变量的函数的分布第三节两个随机变量的函数的分布已知二维随机变量(X,

Y)的分布,求

Z

=

g(X,

Y)的分布.Z

的分布函数FZ(z)

=

P{Z

<

z}

=

P{g(X,

Y)

<

z}.简介二维离散型随机变量的函数的分布设二维离散型随机变量(X,

Y)的联合分布列为P{X

=

ai,

Y

=

bj}

=

pij,(i

=

1,

2,

…

;

j

=

1,

2,

…).则

Z

=

(X,

Y)是一维离散型随机变量,其分布列为P{Z

=

g(ai,

bj)}

=

pij,(i

=

1,

2,

…

;

j

=

1,

2,

…).†对于g(ai,

bj)

的相同的值,合并相应的概率.例1设(X,

Y)的联合分布列为

YX210-11/121/123/1202/121/12012/1202/12分别求(1)X

+

Y,(2)X

Y,(3)X2+

Y

2

的分布列.解

由(X,

Y)的联合分布列可得如下表格(X,Y)(1,2)(1,1)(1,

0)(0,2)(0,1)(1,2)(1,

0)概率1/121/123/122/121/122/122/12X+

Y321

2

1

11X

Y10

12131X2+

Y

+

21230113X

+

Y3211概率1/123/126/122/12X

Y

10123概率3/121/124/122/122/12X2+

Y

20123概率2/124/121/125/12例2证明:如果

X

与

Y

相互独立,且

X

~

B(m,

p),Y

~

B(n,

p),则

X

+

Y

~

B(m

+

n,p).证X

+

Y

可能取值为

0,

1,

…

,

m

+

n.例3设随机变量

X1,

X2,

…,

Xn相互独立且每个都服从同一个0-1分布

B(1,

p):(1)证明

Yn=

X1+

X2+

…

+

Xn服从二项分布

B(n,

p);(2)证明如果

X

与

Y

相互独立,且

X

~

B(m,

p),Y

~

B(n,

p),则

X

+

Y

~

B(m

+

n,p).证(1)

Yn只能取0,

1,

…

,

n.{Yn=

i}

就是

X1,

…

,

Xn中恰有

i

个取

1

而其余取

0,

共有

Cni种方式,这些方式两两互斥.因诸

Xi的相互独立,故每种方式出现的概率都为

pi(1p)ni.因此P{Yn=

i}

=

Cnipi(1

p)ni,(i

=

0,

1,

…

,

n).即

Yn~

B(n,

p).(2)令 X

=

X1+

…

+

Xm,Y

=

Y1+

…

+

Yn,其中诸

Xi,

Yj相互独立且都服从

B(1,

p)

分布.故X

+

Y

=

(X1+

…

+

Xm)

+

(Y1+

…

+

Yn)

~

B(n,p).X01P1-pp二维连续型随机变量的函数的分布设二维连续型随机变量

(X,

Y)

的联合密度为f

(x,

y)