第2章逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础

现实生活中完全对立的矛盾状态的实例逻辑变量X取值所代表的具体含义01速度的“快”与“慢”“慢”（小于100公里/小时）“快”（大于200公里/小时）面积的“大”与“小”“小”（小于10平方米）“大”（大于20平方米）人类行为的“非”与“是”“非”“是”某件事情的“真”与“假”“假”“真”信号的“有”与“无”“无”“有”开关的“断”与“通”“断”“通”灯泡的“灭”与“亮”“灭”“亮”电位的“高”与“低”“低”“高”电容器的“放电”与“充电”“放电”“充电”晶体三极管的“截止”与“导通”“导通”“截止”逻辑代数逻辑代数就是研究上述因果关系问题的一个数学分支逻辑代数：LogicAlgebra开关函数：SwitchFunction布尔代数：BooleanAlgebra以上是逻辑代数的不同名称本章研究内容：公理、定理、各种表达方式、化简方法等是本门课程的数学基础，必须掌握逻辑“与”运算灯泡F有两个状态：亮、灭开关A、B也有两个状态：通、断灯泡F的状态受开关A、B的状态控制设灯泡亮为状态1，灭为状态0开关通为状态1，断为状态0则有该真值表定义了一个逻辑关系~ABF

A

B

F00001010 0111真值表Truthtable逻辑函数A、B为逻辑自变量、逻辑变量，又称为输入变量、输入F为逻辑因变量、是A、B的逻辑函数，输出变量、输出与数学中的函数的区别：可以枚举所有输入变量组合：两输入变量共有4种组合，均列入真值表中n输入变量共有2n种组合真值表定义了所有输入组合所对应的输出值A

B

F00001010 0111真值表逻辑“与”运算真值表定义了逻辑“与”（AND）运算：“全1出1”，或“有0出0”逻辑表达式：F=A∧B=A∩B=A&B=A․B=AB逻辑符号：波形图（低电平为逻辑0，高电平为逻辑1）：A

B

F00001010 0111真值表ABFBAF几种表达方式?五种表达方式,表示的是同一个逻辑关系由一种表达方式应能得到任意其它方式逻辑“或”运算仍假设设灯泡亮为状态1，灭为状态0；开关通为状态1，断为状态0则得真值表该表定义了逻辑“或”（OR）运算：“有1出1”，或“全0出0”A

B

F00001110 1111真值表~ABF逻辑“或”运算真值表逻辑表达式：F=A∨B=A∪B=A|B=A+B逻辑符号：波形图A

B

F00001110 1111ABFBAF逻辑“非”运算仍假设设灯泡亮为状态1，灭为状态0；开关通为状态1，断为状态0则得真值表该表定义了逻辑“非”（NOT）运算：对输入变量求反，“入1出0”，“入0出1”逻辑表达式：F=A逻辑符号：波形图略ARF~AF0110真值表FA基本逻辑运算与、或、非五种描述方法：运算名称、真值表、逻辑表达式、逻辑符号、波形图正、负逻辑前面假设高电平为状态1，低电平为状态0，得到的逻辑关系为正逻辑由真值表知，这是“与”如果设高电平为状态0，低电平为状态1，则得到负逻辑该真值表是或逻辑，称为“负或”“负或”的逻辑符号：同一电路,两种真值表,如何解释除特殊说明，本课程采用正逻辑，即高电平为逻辑1，低电平为逻辑0A

B

F11110101 1000真值表ABFA

B

FLLLLHLHL LHHH电平关系表A

B

F00001010 0111一般逻辑函数一般的逻辑函数由“与”、“或”、“非”这三种基本逻辑运算组合而成如：F=A+B（C+D）逻辑运算的优先级：非、与、或逻辑代数公理

0․0=0 0+0=00․1=1․0=0 1+0=0+1=11․1=1 1+1=11=0 0=1基本定律

自等律 A․1=A A+0=A0-1律 A․0=0 A+1=1互补律 A․A=0 A+A=1交换律 A․B=B․A A+B=B+A结合律 (AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+(B+C)分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)基本定律(续)重叠律 AA=A A+A=A反演律 AB=A+B A+B=AB还原律 A=A基本定律的证明用真值表证明关系式，是最基本，也是最根本的证明方法反演律[又称狄摩根（DE․MORGAN）定理]的证明：AB=A+B左边的真值表等于右边的真值表所以二者相等ABABABABA+B0001111010110110010111110000如果两个函数的真值表相同，则称它们等价或相等三个重要规则

代入规则反演规则对偶规则代入规则代入规则：任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的同一个逻辑变量都代之以同一个逻辑表达式，则该逻辑等式仍然成立代入规则也叫代入定理逻辑代数的代入规则和普通代数的代入规则的形式类似如果A+B=A+C，则(D+E)+B=(D+E)+C如果将等式两端的相同变量代以相同的表达式，则相等关系仍然成立反演律反演律的扩展：AB=A+BABC=A+BC=A+B+CA+B=ABA+B+C=ABC同理，反演律可扩展到n变量反函数ABFG0001011010101110F=A+BG=A+B=FG为或非运算G与F互补(反)反函数若两个逻辑函数F和G的输入变量相同，而且F和G对于任意的一组输入变量取值都有相反的函数值，则称这两个函数互反（或称互补），记作：F=G或G=FG叫做F的反函数（或补函数）；而F(或)也叫G的反函数（或补函数），F和G互为反函数注意：这里所说的“反函数”概念与普通代数里的反函数概念是不一样的反演规则如果将F中的

․+，+․

10，01AA，AA则得到F的反函数F利用反演律可直接求出一个函数的反函数反演规则对于任意的逻辑函数F，如果把F的表达式中所有的“·”运算符换成“+”运算符，同时把所有的“+”运算符换成“·”运算符把F的原表达式中所有的逻辑常量“0”换成逻辑常量“1”，而把所有的逻辑常量“1”换成逻辑常量“0”把F的原表达式中所有的原变量换成反变量，再把所有的反变量换成原变量。则由此所得到的新的逻辑表达式就是逻辑函数F的反函数的逻辑表达式反演规则的应用设F=AB+(A+C)(C+DE)则F=(A+B)[AC+C(D+E)]直接求F时应注意:绝对不能打乱原表达式(F)的运算顺序；不属于单变量上的非号应保持不变。设F=A+B+C则F=ABC对偶如果将逻辑函数F中的

․+，+․

10，01则得到F的对偶函数F＇与反演律的区别是不需对变量求反设F=AB+(A+C)(C+DE)则F’=(A+B)[AC+C(D+E)]对偶对于任意的逻辑函数F，如果把原表达式中所有的“·”运算符换成“+”运算符，同时把所有的“+”运算符换成“·”运算符；把原表达式中所有的逻辑常量“0”换成逻辑常量“1”，而把所有的逻辑常量“1”换成逻辑常量“0”；则由此所得到的新逻辑表达式就是原逻辑函数F表达式的对偶式（对偶函数），记作：F＇。对偶律对偶律：如果两个函数相等，则它们的对偶函数（对偶式）也相等既：如果F=G,则F＇=G＇对偶律的应用：证明关系式、化简函数等已知AB+AB=A两边取对偶，则(A+B)(A+B)=A与或式或与式基本定理

合并定理AB+AB=A (A+B)(A+B)=A吸收定理A+AB=A A(A+B)=A A+AB=A+B A(A+B)=AB添加项定理AB+AC+BC=AB+AC (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC=AB+AC (A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)基本定理的证明添加项定理AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC =AB+ABC+AC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+ACAB+AC+BCDEFG=?基本定理的证明AB+AC=AB+ACAB+AC=(A+B)(A+C) =A(A+C)+B(A+C) =AA+AC+AB+BC =0+AB+AC+BC =AB+AC常用复合逻辑运算“与非”：F=AB“或非”：F=A+B“与或非”运算：F=AB+CDABFABFFABCDFABCD常用复合逻辑运算与非、或非、与或非是最常用、最重要的复合运算做一下它们的真值表。异或运算表达式：F=A⊕B=AB+AB相异时输出1，相同时输出0逻辑符号特性：0⊕0=0，0⊕1=1⊕0=1，1⊕1=0，A⊕A=0，A⊕A=10⊕A=A，1⊕A=A，可用做可控反相器A

B

F00001110 1110真值表F=ACtrlA，Ctrl=0A，Ctrl=1同或运算表达式：F=A⊙B=AB+AB相同时输出1，相异时输出0逻辑符号特性：0⊙0=1，0⊙1=1⊙0=0，1⊙1=1，A⊙A=1，A⊙A=00⊙A=A，1⊙A=A，也可用做可控反相器A

B

F00101010 0111真值表F=ACtrlA，Ctrl=1A，Ctrl=0异或、同或运算的关系A⊕B=AB+AB=(A+B)(A+B)=AB+AB=A⊙B(A⊕B)'=(AB+AB)'=(A+B)(A+B)=A⊙B可见，异或、同或运算互为反函数，也互为对偶函数一般情况下，一个函数的反函数和对偶函数不相等A⊕B=AB+AB=(A+B)(A+B)A⊙B=AB+AB=(A+B)(A+B)与或式或与式与或式:何时取1?或与式:何时取0?异或、同或运算的规律二者均满足交换律、结合律和分配律：A⊕B=B⊕A A⊙B=B⊙AA⊕B⊕C=A⊕(B⊕C) A⊙B⊙C=A⊙(B⊙C)A(B⊕C)=AB⊕AC A+(B⊙C)=(A+B)⊙(A+C)异或运算分配律的证明A(B⊕C)=AB⊕ACA(B⊕C)=A(BC+BC)=ABC+ABCAB⊕AC=ABAC+ABAC =AB(A+C)+(A+B)AC =AAB+ABC+AAC+ABC =ABC+ABC左边=右边多变量异或运算A⊕B⊕C…异或逻辑门只有两个输入端多变量异或要用多个逻辑门实现CABF多变量异或运算的特性I根据1⊕1=0，0⊕A=A，0⊕1=1多变量相异或，结果取决与1的个数：当1的个数为奇数时结果为1；而当1的个数为偶数时结果为0奇偶校验就是用异或门完成的多变量异或运算的特性II如果 F=A1⊕A2⊕…⊕Ai⊕…

⊕An则F=A1⊕A2⊕…⊕Ai⊕…

⊕An依据：将F两边同时异或1，1⊕A=A多变量异或运算的特性III“异或”运算具有因果互换的关系。即，等式两边的逻辑变量可以互相交换位置而仍然保持等式的成立例如：若A=B⊕C成立则B=A⊕C成立证明：原式两边同时异或CC=A⊕B也成立多变量同或运算的特性I根据0⊙0=1，1⊙A=A，0⊙1=0有多变量相同或，结果取决与0的个数：当0的个数为奇数时结果为0；而当0的个数为偶数时结果为1多变量同或运算的特性II如果 F=A1⊙A2⊙…⊙Ai⊙…⊙An则 F=A1⊙A2⊙…⊙Ai⊙…⊙An依据：将F两边同时同或0，0⊙A=A多变量异或运算的特性III“同或”运算具有因果互换的关系。即，等式两边的逻辑变量可以互相交换位置而仍然保持等式的成立例如：若A=B⊙C成立则B=A⊙C成立证明：将上式两边同时同或C或C=A⊙B也成立多变量异或、同或运算的关系设F=A1⊕A2⊕…⊕Ai⊕…⊕AnG=A1⊙A2⊙…⊙Ai⊙…⊙An则当n=偶数时F=G，当n=奇数时F=G多变量异或、异或运算的关系当n为偶数时：如果F=1，则表明输入变量中有奇数个1那么就有奇数个0，所以G=0如果F=0，则表明输入变量中有偶数个1那么就有偶数个0，所以G=1所以F=G多变量异或、异或运算的关系当n=奇数时：如果F=1，则表明输入变量中有奇数个1那么就有偶数个0，所以G=1如果F=0，则表明输入变量中有偶数个1那么就有奇数个0，所以G=0所以F=G复合逻辑运算的完备性

集成电路发展的早期，各种门电路五花八门，给设计电路带来许多麻烦人们希望用尽可能少种类的门去完成尽可能多的逻辑功能，这样设计电路时只需采购一种集成电路即可“与非”、“或非”及“与或非”三种复合逻辑运算都可独立完成所有逻辑运算（功能），所以说它们是完备的与非运算的完备性F1=AB=AB=ABAB=AB1F2=A+B=A+B=AB=AABB=A1B1F3=A=A1=AAABF1AAF3A1F3AAF2BBA1F2B1ABF111个逻辑函数可写成不同的形式逻辑函数形式不同电路形式也不同不用输入端的处理与非运算的完备性上例说明：只用与非门可以单独完成三种基本逻辑运算，从而可以完成所有逻辑运算（以后讲）逻辑门多余输入端的处理方法或非门的完备性见教材P29与或非门的完备性做练习P78，2-20最小项（minterm）

在n个输入变量函数中，如果其中的一项满足：是与项包含所有输入变量每个输入变量或以原变量的形式出现，或以反变量的形式出现，且只出现一次则该项称为最小项例如：三变量函数中ABC，ABC，ABC是最小项而ABCA，AB，AC，B则不是最小项三变量最小项No.ABCABCABCABCABCABCABCABCABC000010000000100101000000201000100000301100010000410000001000510100000100611000000010711100000001最小项特点n变量函数共有2n个最小项对于任意的一个最小项，只有一组输入变量的取值使得它的值为“1”，而在其它各组变量取值时，这个最小项的值都是“0”最小项不同，使得它的值为“1”的那一组变量的取值也不同使得某一个最小项的值为“1”的那组输入变量取值为该最小项中的原变量取“1”、反变量取“0”最小项如果将输入变量取值按ABC顺序排列（原变量取1，反变量取0），则组成一个二进制数当输入变量按此二进制数取值时使最小项为1ABC000，ABC001，ABC010，ABC011，ABC100，ABC101，ABC110，ABC111记ABC为m0，ABC为m1，ABC为m2，ABC为m3，ABC为m4，ABC为m5，ABC为m6，ABC为m7，最小项虽然“与”运算中逻辑变量的顺序无关，但在使用最小项时变量顺序不能改变m4=ABC BAC=m?这就要求写函数时，要表明变量顺序F(A,B,C)以后在处理最小项时可只写mi，而不需再写整个与项四变量m5=ABCD五变量m5=ABCDE最小项性质每一个最小项仅和一组变量取值相对应，只有在该组取值下这个最小项的值才为“1”，而在其它的取值下它都为“0”n个变量的任意两个不同最小项的乘积（相“与”）恒为“0”，即：mi․mj=0，其中i≠jn个变量的全体最小项之和（相“或”）恒为“1”，即：∑mi=1,i=0,1…2n-1最大项（maxterm）在n个输入变量函数中，如果其中的一项满足：是或项包含所有输入变量每个输入变量或以原变量的形式出现，或以反变量的形式出现，且只出现一次则该项称为最大项例如：三变量函数中A+B+C，A+B+C，A+B+C是最大项而A+B+CA，A+B，A+C，B则不是最大项三变量最大项No.ABCA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+C000011111110100111111101201011111011301111110111410011101111510111011111611010111111711101111111最大项特点n变量函数共有2n个最大项对于任意的一个最大项，只有一组变量的取值使得它的值为“0”，而在其它变量各组取值时，这个最大项的值都是“1”最大项不同，使得它的值为“0”的那一组变量的取值也不同使得某一个最大项的值为“0”的那组变量取值为该最大项中的原变量取“0”、反变量取“1”最大项如果将输入变量取值按ABC顺序排列，则组成一个二进制数其中一组变量取值最大项为0A+B+C111，A+B+C110，A+B+C101，A+B+C100，A+B+C011，A+B+C010，A+B+C001，A+B+C000M7=A+B+C，M6=A+B+C，M5=A+B+C，M4=A+B+C，M3=A+B+C，M2=A+B+C，M1=A+B+C，M0=A+B+C最大项虽然与运算中逻辑变量的顺序无关，但在使用最大项时变量顺序不能改变M4=A+B+C B+A+C=M?以后遇到最大项时可只写Mi，而不需再写整个或项四变量M5=A+B+C+D五变量M5=A+B+C+D+E最大项性质每一个最大项仅和一组变量取值相对应，只有在该组取值下这个最大项的值才为“0”，而在其它的取值下它都为“1”n个变量的任意两个不同最大项的和（相“或”）恒为“1”，即：Mi+Mj=1，其中i≠jn个变量的全体最大项之积（相“与”）恒为“0”，即：∏Mi=0,i=0,1…2n-1最小项与最大项的关系变量相同且编号相同的最小项和最大项之间，存在着互补的关系即：Mi=mi或：mi=Mi例：对于4变量函数有M5=A+B+C+D=A+B+C+D=ABCD=m5m13=ABCD=ABCD=A+B+C+D=M13标准表达式一个函数可以有许多种逻辑表达式如：F=AB+AC+BC=AB+AC =(AB+AC)’’=[(A+B)(A+C)]’ =(AB+AC+BC)’=(AB+AC)’ =(A+B)(A+C)=…可否定义一种唯一的形式？这就是最小项之和（或）式和最大项之积（与）式任一逻辑函数均可写成唯一的最小项之和式或最大项之积式最小项之和式F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC =m2+m5+m6 =∑m(2,5,6) =∑(2,5,6)F(A,B,C)=m0+m1+m3+m4+m7 =∑m(0,1,3,4,7) =∑(0,1,3,4,7)No.ABCF0000010010201013011041000510116110171110最小项之和式F(A,B,C)=AB+AC =AB(C+C)+A(B+B)C =ABC+ABC+ABC+ABC =∑m(1,3,6,7)=∑(1,3,6,7)F(A,B,C)=∑(0,2,4,5)最小项之和式F(A,B,C)=AB+AC=∑m(1,3,6,7)=∑(1,3,6,7)F(A,B,C)=∑(0,2,4,5)最小项之和式真值表逻辑函数的与或式真值表反函数的最小项之和式No.ABCF0000010011201003011141000510106110171111标准与或式（最小项之和式）一个逻辑函数的表示形式有若干种如果一个函数F的形式为若干个最小项相“加”（相“或”），则称这种形式为F的最小项之和式，又称为标准“与或”式

最小项之和式与真值表F(A,B,C)=∑(1,3,6,7)在真值表中F=1所对应的编号出现在最小项之和式中最小项之和式表明：当输入中出现这些变量取值组合之一时，F=1；否则F=0由真值表可方便地写出最小项之和式；反之亦然最小项之和式又称标准与或式一个逻辑函数的最小项之和式是唯一的No.ABCF0000010011201003011141000510106110171111最大项之积式F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =M2M5M6 =∏M(2,5,6) =∏(2,5,6)F(A,B,C)=∑(0,1,3,4,7)F(A,B,C)=∑(2,5,6)F(A,B,C)=∏(0,1,3,4,7)No.ABCF0000110011201003011141001510106110071111最大项之积式F(A,B,C)=(A+B)(A+C) =(A+B+CC)(A+BB+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =∏(0,1,4,6)最大项之积式F(A,B,C)=(A+B)(A+C)=∏(0,1,4,6)=∑(2,3,5,7)F(A,B,C)=∏(2,3,5,7)=∑(0,1,4,6)No.ABCF0000010010201013011141000510116110071111标准或与式（最大项之积式）一个逻辑函数的表示形式有若干种如果一个函数F的形式为若干个最大项相“乘”（相“与”），则称这种形式为F的最大项之积式，又称为标准“或与”式

最大项之积式与真值表F(A,B,C)=∏(0,2,4,5)在真值表中F=0所对应的编号出现在最大项之积式中最大项之积式表明：当输入中出现这些变量取值组合之一时，F=0；否则F=1由真值表可方便地写出最大项之积式；反之亦然最大项之积式又称标准或与式一个逻辑函数的最大项之积式是唯一的No.ABCF0000010011201003011141000510106110171111两种标准表达式之间的关系

设F=∑(1,3,6,7)F+F=1根据最小项性质：∑mi=1而F=∑(1,3,6,7)所以F=∑(0,2,4,5)所以F=∑(0,2,4,5)=m0+m2+m4+m5 =m0m2m4m5=M0M2M4M5=∏(0,2,4,5)所以F=∑(1,3,6,7)=∏(0,2,4,5)两种标准表达式之间的关系n变量函数的最小项、最大项的标号均是0~2n-1n变量函数的两种标准表达式中的标号互补：0~2n-1共2n个标号中，不在最小项之和式中，就在最大项之积式中；反之亦然反函数的标准表达式设F=∑(1,3,6,7)根据F+F=1，知F=∑(0,2,4,5)另一方面：F=∑(1,3,6,7)=∏(1,3,6,7)由此知，给定Ｆ，可直接写出Ｆ的两种标准表达式还可直接写出Ｆ的两种标准表达式逻辑函数的化简

F=AB+AC+BC=AB+AC化简逻辑函数带来的好处：实现同一个逻辑关系可节省门、减少输入端数，提高电路的经济性、稳定性ABFACBCABFAC逻辑函数的化简集成电路发展的早期，有与非门、或非门、与或非门等系列产品由于它们的完备性，只用它们当中的一种即可实现任意逻辑函数使用中规模集成电路实现函数，多使用标准表达式现代可编程器件中则更多使用与或（加反相器）实现逻辑函数所以化简函数应该向这些方向进行逻辑函数的化简经常需要将函数化简为下列五种形式之一“与或”表达式：F=AB+AD“或与”表达式：F=(A+B)(C+D)“与非-与非”表达式：F=ABCD“或非-或非”表达式：F=A+B+C+D“与或非”表达式：F=AB+CD这是我们的基本技能之一，必须熟练掌握逻辑图CABDF=AB+CDABDCF=(A+B)(C+D)ABCDF=AB+CD第一级第二级两级结构逻辑图AF=ABCDF=(A+B)+(C+D)BCDABCD逻辑函数的化简

代数法化简法卡诺图化简法系统化简法，可用机器去做与或式的代数法化简F=ACD+ACD+ABC+ABD+ABD+BCD=ACD+ACD+ABC+AB+BCD=ACD+ACD+AB+BCD=ACD+ACD+AB+ABCD+ABCD=ACD+AC(D+BD)+AB=ACD+AC(D+B)+AB=ACD+ACD+ABC+AB=ACD+ACD+BC+AB与或式的代数法化简

ABBDCD+BC+ABD+A+CD=(AB+BD+CD)(B+C)+A(BDA)+C+D=BD+BCD+ABC+BCD+CD+C+D=B+AB+1+C=1化简为‘与非-与非’式将函数化简为与或式求两次反去掉一次反F=AB+CDE=AB+CDE=ABCDE熟悉过程以后，中间一步可省略或与式的化简

直接利用或与式的关系式利用比较熟悉的与或式关系将F’化简为与或式，将化简结果再求对偶F=(A+B)(A+B+C)(A+C)(B+C+D)F’=AB+ABC+AC+BCD=AB+AC+BCD=AB+ACF=(A+B)(A+C)化简为‘或非-或非’式

将函数化简为或与式求两次反去掉一次反F=(A+B)(C+D+E)=(A+B)(C+D+E)=A+B+C+D+E熟悉过程以后，中间一步可省略化简为‘与或非’式I将F化简为或与式F=(A+B)(C+D+E)两边取反得F=AB+CDE两边再取反得F=AB+CDE化简为‘与或非’式II将F化简为与或式F=AB+CDE两边取反得F=AB+CDE化简函数为五种最简形式举例F=(A+C+D)(B+C)(A+B+D)(B+C)(B+C+D)令G=(A+C+D)(B+C)(A+B+D)(B+C)(B+C+D)则G’=ACD+BC+ABD+BC+BCD =ACD+BC+ABD =CB+CAD+BAD =BC+ACD所以G=(B+C)(A+C+D)化简函数为五种最简形式举例F=G=(B+C)(A+C+D)=AB+AC+BC+0+BD+CD=AC+BC+CDF的与或式F=AC+BC+CD F的与或非式

=(A+C)(B+C)(C+D) F的或与式

=A+C+B+C+C+D F的或非-或非式F=G=(B+C)(A+C+D)=BC+ACDF的与或式

=BCACD F的与非-与非式化简函数为五种最简形式举例F=(A+C+D)(B+C)(A+B+D)(B+C)(B+C+D)=ACD+BC+ABD+BC+BCD=BC+ACD F的与或式

=BCACD F的与非-与非式F=BC+ACD小结如果求最简“与或”式(“与非-与非”式)，先求F的最简与或式如果求最简“或与”式(“或非-或非”式)或者最简”与或非”式，则先求F的最简或与式小结F之最简“与或”式F之最简“与非—与非”式F之最简“与或”式F之最简“或与”式F之最简“或与”式F之最简“或非—或非”式F之最简“或与”式F之最简“与或”式F之最简“与或”式F之最简“与或非”式求一次反求反加非求反加非反演反演卡诺图（KarnaughMap)逻辑函数的化简最终可归结为AB+AB=AABC+ABC+ABC+ABC=AC+AC=A即逻辑相邻项的合并如果能将逻辑相邻转换为几何相邻，则会给函数的化简带来很大的方便卡诺图就是这样一个用于化简函数的工具卡诺图的组成是：表示最小项的一些小方格卡诺图的构成m0m1m3m2F(A,B)AB两变量卡诺图高位低位A三变量卡诺图m0m1m3m2F(A,B,C)ABm4m5m7m6CABABABABABCABCABCABCABCABCABCABC卡诺图的构成三变量卡诺图m0m1m3m2F(A,B,C)ABm4m5m7m6C四变量卡诺图m0m1m3m2F(A,B,C,D)ABm4m5m7m6C0000 0001 0010 00110100 0101 0110 01111000 1001 1010 10111100 1101 1110 1111m12m13m15m14m8m9m11m10D卡诺图的构成四变量卡诺图m0m1m3m2F(A,B,C,D)ABm4m5m7m6Cm12m13m15m14m8m9m11m10Dm18m19m17m16m22m23m21m20m30m31m29m28m26m27m25m24五变量卡诺图F(A,B,C,D,E)ABCDEE卡诺图特点n变量函数的K图有2n个小方格，每个小方格代表一个最小项K图中几何位置相邻的最小项在逻辑上也是相邻的位于K图上任何一行或一列的两端上的小方格所代表的最小项在逻辑上是相邻的对于变量个数大于四个的情形，仅用二维几何空间的位置相邻性已经不能完全地表示最小项的逻辑相邻性卡诺图的画法因为最小项的编号与变量顺序有关，所以画卡诺图时要注意卡诺图有多种画法，只要熟悉一种即可。但其它画法应该能看懂不同画法时，最小项编号的顺序不同其它画法BCA000111100013214576最小项之和式与卡诺图F=∑(0,2,5,7,8,10,13,15)真值表与最小项之和式真值表与卡诺图给定最小项之和式时，在对应最小项编号处填1即可F(A,B,C,D)ABCD1111111100000000最大项之积式与卡诺图F=∏(0,2,5,7,8,10,13,15)真值表与最大项之积式真值表与卡诺图给定最大项之积式时，在对应最小项编号处填0即可F(A,B,C,D)ABCD0000000011111111与或式与卡诺图F=AB+CD+ACD每个与项中变量相交处填1将所有与项均填完即可如果一个格被覆盖多次，只要填一次即可依据：只要有一个1，则结果为1F(A,B,C,D)ABCD

11111

1

11=∑(3,7,8,9,10,11,13,15）用此法可方便地得到标准表达式=∏

(0,1,2,4,5,6,12,14）或与式的卡诺图F=(A+B)(C+D)(A+C+D)每个或项中变量相交处填0，注意原、反变量将所有与项均填完即可如果一个格被覆盖多次，只要填一次即可依据：只要有一个0，则结果为0F(A,B,C,D)ABCD00000

000

最小项与卡诺图m5=ABCDF(A,B,C,D)ABCD1

最大项与卡诺图M5=A+B+C+DF(A,B,C,D)ABCD0

111111111111111其它形式表达式的卡诺图如果函数是以其它的逻辑表达式的形式给出则可先将这些表达式变换为“与或”式或者“或与”式（根据实际情况而定）然后再填写卡诺图卡诺图的性质若F之K图中所有的小格都填“1”，则F=1

若F之K图中所有的小格都填“0”，则F=0F的卡诺图

如果F之卡诺图为K，则F的卡诺图为KK为K中所有的“0”都换成“1”、“1”都换成“0”这是与真值表一致的00010100F(A,B,C)CAB11101011F(A,B,C)CABF1․F2的卡诺图如果F1的卡诺图为K1，F2的卡诺图为K2则F1․F2的卡诺图为K1․K2其中K1․K2为K1、K2中对应小格相与所组成的新的卡诺图F1․F2的卡诺图10010111F1(A,B,C)CAB11101011F2(A,B,C)CAB10000011F1․F2CAB卡诺图的或运算如果F1的卡诺图为K1，F2的卡诺图为K2则F1+F2的卡诺图为K1+K2其中K1+K2为K1、K2中对应小格相或所组成的新的卡诺图卡诺图的异或运算如果F1的卡诺图为K1，F2的卡诺图为K2则F1⊕F2的卡诺图为K1⊕K2其中K1⊕

K2为K1、K2中对应小格相异或所组成的新的卡诺图卡诺图化简法逻辑相邻项可合并，同时削去一个变量例F(A,B,C)=m5+m7

=ABC+ABC =AC卡诺图上代表最小项的方格是按逻辑相邻排列的，故可以直接在卡诺图上化简函数在卡诺图上做一个卡诺圈，覆盖两个相邻的“1”得：F(A,B,C)=AC，卡诺圈在A、C原变量处00000110F

(A,B,C)CAB卡诺图化简法F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC=AC+AC=C卡诺圈应该尽可能的大01100110F

(A,B,C)CAB卡诺图化简法F=ABDF(A,B,C,D)ABCD11

卡诺图化简法F=ADF(A,B,C,D)AB11CD11

卡诺图化简法F=BDF(A,B,C,D)ABCD1111卡诺图化简为与或式F=AC+AC=AF=A卡诺圈应尽可能大1F(A,B,C,D)AB1111CD111

卡诺图化简为与或式F(A,B,C,D)=∑(1,2,3,5,6,7,13)=AC+AD+BCD卡诺圈必须为矩形每个卡诺圈所含项数必须为2i，消掉i

个变量每个最小项至少被圈一次每个最小项可被圈任意多次1F(A,B,C,D)AB111CD111

卡诺图化简为与或式F(A,B,C,D)=ABC+ABD+ABC+BCD=ABD+ACD+BCD+ACD正确答案不一定唯一F(A,B,C,D)AB11C11D1111卡诺图化简为与或式F(A,B,C,D)=BD+ACD+ABC+ACD+ABC=ACD+ABC+ACD+ABC先圈只有一种圈法的项每个卡诺圈必须至少包含一个没被其它卡诺圈圈过的项F(A,B,C,D)AB111C1111D1卡诺图化简为与或式F(A,B,C,D)=BC+ABD+ABC+ACD=BC+ACD+ABD如果有多种圈法，应尽量圈没被圈过的项11F(A,B,C,D)AB111C11D1五变量函数化简F(A,B,C,D,E)=∑(0,2,4,13,16,18,19,20,23,29)02413181916232029F(A,B,C,D,E)ABCDEE=BCDE+BDE+BCE+ABDE卡诺图化简的原理

如果卡诺圈跨越某变量的原变量与反变量的边界，则该变量被消去最小覆盖覆盖所有最小项所含卡诺圈数最少。如果去掉一个卡诺圈，就不能覆盖全部“1”每个卡诺圈都尽量大，即包含尽量多的最小项每个卡诺圈至少包含一个其它卡诺圈没包含的最小项卡诺图化简原则每个卡诺圈所含项数必须为2i，消掉i个变量每个卡诺圈的形状必须是矩形（含正方形）每个卡诺圈至少包含一个未被其它卡诺圈所包含的最小项每个最小项至少被圈一次每个卡诺圈必须尽可能大每个最小项可被圈任意多次先圈只有一种圈法的项；如果都有多种圈法，则先圈大的如果有多种圈法,则圈没被其它圈覆盖过的化简为“与或”式利用卡诺图

将函数化简为与或式

与或式、与非－与非式其它三种形式？化简函数为或与式圈０，直接得到最简或与式方法与原则与圈１得最简与或式同注意原变量与反变量化简函数为或与式F(A,B,C,D)=(A+B)(A+B+C)(A+C)=(B+C)(A+C)圈０，写或与式原理与原则与化简为 与或式同写结果时不同：原变量 的位置写反变量，反 变量的位置写原变量0000F(A,B,C)CAB化简函数为与或非式圈０，写与或式，得Ｆ的最简与或式F(A,B,C)=BC+ACF(A,B,C)=BC+ACF(A,B,C)=(B+C)(A+C)=B+C+A+C=BC+AC0000F(A,B,C)CAB化简函数举例F=ACD+CD+AD+BDF=(A+C+D)(A+B+D)(B+C+D)F=ACD+ABD+BCD1１F(A,B,C,D)AB１11C１11１１D１多输出函数的卡诺图化简法

F1(A,B,C)=∑(3,6,7)=AB+