第2章逻辑代数及其化简

第2章

逻辑代数及其化简

2.1计数制与编码2.2逻辑代数基础2.3逻辑函数常用的描述方法2.4逻辑函数的化简2.5具有无关项逻辑函数的化简2.6用Multisim2001进行逻辑函数的化简与变换2.1计数制与编码任何数通常都可以用两种不同的方法来表示：一种是按其“值”表示，另一种是按“形”表示。按“值”表示，即选定某种进位的计数制来表示某个数的值，这就是所谓的进位计数制，简称数制（NumberSystem）。按“形”表示，就是用代码来表示某些数的“值”。按“形”表示一个数时，先要确定编码规则，然后按此编码规则编出代码，并给代码赋以一定的含义，这就是所谓的编码。2.1计数制与编码

2.1.1

常用计数制及其转换二进制数的表示1.1.2十进制数的表示1.1.1其他进制数的表示1.1.31.1进位计数制二进制数的表示1.1.2十进制数的表示1.1.1其他进制数的表示1.1.3十进制数的表示⒈基本特征：

计数规律:数制：进位计数制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9逢十进1,借一当10数码的个数和计数规律是进位计数制的两个决定因素计数体制、计数方法。高位进位，本位归0。例：123.45读作一百二十三点四五⒉计数法例：123.45读作一百二十三点四五

位置计数法(N)10=(kn-1

kn-2…k1

k0.k-1

k-2…k-m)10

位置计数法通式例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2

按权展开式

按权展开通式

和式(N)10=kn-110n-1+kn-210n-2+…+k1101+k0100

+k-110-1+k-210-2+…+k-m10-m⒊基与基数用来表示数的数码的集合称为基（0—9）,集合的大小称为基数(十进制为10)。即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为基数，也叫模。在十进制中，10的整幂次方称为10进制数的权。即表示某种进位计数制不同位置上数字的单位值，位置不同显示的数值大小不同。123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2数位不同，权值不同。⒋权例：其它进制

其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，对任意进制R，数N可以表示成按权展开式：(N)R=kn-1Rn-1+kn-2Rn-2+…+k1R1+k0R0

+k-1R-1+k-2R-2+…+k-mR-m(N)R=(kn-1

kn-2…k1

k0.k-1

k-2…k-m)R权值一般用十进制表示二进制数码个数2个：

计数规律:例：0,1逢二进1,借一当2(11011.01)2=124+123

+022+121+120

+02-1

+12-2＝1(10)100+1(10)11+0(10)10+1(10)1+1

(10)0

+

0(10)-1+1(10)-10权值一般用十进制表示二进制数的特点

只有两个数码,很容易用物理器件来实现。

运算规则简单。

二进制数只有两个状态，数字的传输和处理不容易出错，可靠性高。

在逻辑运算中可以使用逻辑代数。二进制数的运算规则加法规则0＋0=0；1＋0=1；0＋1=1；1＋1=0减法规则0－0=0；1－0=1；0－1=1；1－1=0乘法规则0×0=0；1×0=0；0×1=0；1×1=1除法规则0÷1=0；1÷1=1

二进制用二个态表示0，1二个数，机器实现容易，如高电平“1”，低电平为“0”。目前数字系统均是采用二进制,是机器唯一认识的数码。但书写太长易出错，为此引入八进制与十六进制的概念。八进制和十六进制的引入八进制数码个数8个： 计数规律:例：

0,1,2,3,4,5,6,7逢八进1,借一当8(176.5)8=182+781

+680

+58-1＝1(10)2+7(10)1+6

(10)0+5(10)-1八进制二进制00001001201030114100510161107111与二进制的变换表十六进制

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F(0………10……15)逢十六进1,借一当16(FA1.C)16=F162+A161

+1160

+C16-1＝F(10)2+A(10)1+1

(10)0+C(10)-1数码个数16个：

计数规律:例：与二进制的变换表十六进制二进制00000100012001030011401005010160110701118100091001A1010B1011C1100D1101E1110F1111几种常用数制的表示方法：R＝10二进制八进制十六进制000011112102231133410044510155611066711177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F数制转换

十进制人们最熟悉；二进制是机器唯一认识的数制；八进制、十六进制便于书写和编程。因此必须了解各种数制间如何转换。二进制数与八进制数、十进制数的转换1.2.2二进制数与十进制数的转换1.2.1二进制与十进制的转换

（10101.11）B=1×24+1×22+1×20+1×2-1+1×2-2

=16+4+1+0.5+0.25

=（21.75）D例：

采用的方法就是按权展开相加

1.二进制转换为十进制（165.2）o

=1×82+6×81+5×80+2×8-1

=64+48+5+0.25

=（117.25）D（2A.8）H

=2×161+10×160+8×16-1

=32+10+0.5=（42.5）D例1：例2：

其他进制转换为十进制十进制转换为二进制

看例题（427.625

）D=？整数和小数转换方法不一样。如一个既有小数又有整数的十进制，分别将整数和小数转换成对应的数，然后再相加。

①

整数转换“连除取余”---除进位基数R，直至商数小于基数为止。

（427）D=（？）B

LSBMSB当转换出二进制后，可按三位一组，四位一组直接转换八进制和十六进制。

(427)D=(110101011)B=(653)o=(1AB)H26262120…4272106253213232…1…1…10…0……1…121302…1

（0.625）D=（？）B

“连乘取整”--乘进位基数，直至小数为0或满足精度为止。②纯小数转换101

(0.625)D

=(0.101)B

=(0.5)o

=(0.A)H0.625×21.250×20.500×21.000

(427.625)D=(110101011.101)B

=(653.5)O=(1AB.A)H

(427)D=(110101011)B=(653)o=(1AB)H(0.625)D=(0.101)B=(0.5)o=(0.A)H③整数与小数转换成对应的数相加

二进制、八进制、十六进制间的转换

我们已知八进制，十六进制与二进制的关系；故八进制与十六进制间的转换常通过二进制实现。按四位一组按三位一组二进制二进制先将八进制十六进制十六进制八进制⒈八进制与二进制之间的转换(10011100101101001000.01)B=(010011

100101101001

000.010)B=()O01554=(2345510.2)O322从小数点开始3位一组不足补0不足补0⒉十六进制与二进制之间的转换(10011100101101001000.01)B=(1001

11001011

0100

1000.0100)B=()H84BC9=(9CB48.4

)H不足补0从小数点开始4位一组4反之(345.7)O=()B(345.7)O=(011100101.111)B1位八进制对应3位二进制(27B.7C)H=()B(27B.7C)H=(001001111011.01111100)B1位十六进制对应4位二进制=(1001111011.011111)B0可去掉2.1.2编码

计算机等数字系统所处理的信息多为数值、文字、符号、图形、声音和图像等，它们都可以用多位二进制数来表示，这种多位二进制数叫做代码。如果用一组代码并给每个代码赋以一定的含义则称编码（Encode）。在数字电路中，常用二-十进制码，也叫做BCD（Binary-CodedDecimal）码。所谓二-十进制码，就是用4位二进制数组成的代码来表示1位十进制数。4位二进制数具有16种组合，二-十进制数的10个数字符号只需选用其中的10种组合来表示常用的几种二-十进制编码表2-1所示。2.1.2编码

表2-1常用的几种二-十制编码有权码无权码2.2逻辑代数基础

英国数学家乔治·布尔（GeorgeBoole）于1847年在他的著作中首先对逻辑代数进行了系统的论述，故逻辑代数始称为布尔代数，因为逻辑代数用于研究二值变量的运算规律，所以也称为二值代数。2.2.1逻辑代数的基本运算和复合运算

逻辑代数的基本运算包括与、或、非三种运算。下面用三个指示灯的控制电路来分别说明三种基本逻辑运算的物理意义。设开关A、B为逻辑变量，约定开关闭合为逻辑1、开关断开为逻辑0；设灯为逻辑函数F，约定灯亮为逻辑1，灯灭为逻辑0。

1.与运算

逻辑与（也叫逻辑乘）定义如下：“一个事件要发生需要多个条件，只有当所有的条件都具备之后，此事件才发生”。EABF？？怎么表示与运算呢1)真值表:将逻辑变量所有可能取值的组合与其一一对应的逻辑函数值之间的关系以表格的形式表示出来，叫做逻辑函数的真值表。与逻辑运算真值表ABF0011010100011.与运算

2)逻辑表达式：表示逻辑与运算的逻辑函数表达式为F＝A·B，式中“·”为与运算符号，有时也可以省略。与运算的规则为：

0·0＝0，0·1＝0，1·0＝0，1·1=1。与运算可以推广到多个逻辑变量，即

F＝A·B·C···。1.与运算

3)逻辑符号（电路图）：在数字电路中，实现逻辑与运算的单元电路叫与门，与门的逻辑符号如图所示。1.与运算

本教材采用的符号2.或运算

在决定一事件发生的多个条件中，只要有一个条件满足，此事件就会发生。AEBF••逻辑或运算的真值表或运算逻辑函数表达式为F＝A＋B，式中“＋”为或运算符号。或运算的规则为：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1=1。逻辑或运算也可推广到多个逻辑变量，即F=A+B+C+……。2.或运算

2.或运算实现逻辑或运算的单元电路叫或门，或门的逻辑符号如图所示。3.非运算

当条件不具备时，事件才会发生。EYAR••逻辑非运算的真值表3.非运算非运算的逻辑表达式为，式中A上的“－”为非运算符号，EDA中表示为。非运算的规则为：实现非运算的单元电路叫非门(或反相器），非门的逻辑符号如图所示。4.

几种常用的逻辑运算由与、或、非三种基本逻辑运算可以组合成多种常用的复合逻辑运算。

1)与非运算ABF0011010111104.

几种常用的逻辑运算2）或非运算ABF0011010110004.

几种常用的逻辑运算3）与或非运算4）异或逻辑运算对于两变量的异或运算，当输入相异时输出为1，输入相同时输出为0。5）同或逻辑运算对于两变量的同或运算，当输入相同时输出为1，输入相异时输出为0。2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式

1.

基本公式

01定律：重叠律：2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式同理可证明：2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式2.常用公式

2.常用公式2.常用公式*异或公式(补充)2.2.3逻辑代数的基本规则

1.

代入规则

对任意逻辑等式，如果将式中的某一变量用其他变量或逻辑函数替换，则此等式仍然成立。例如,等式，若函数F＝BC去置换等式中地变量B，则等式左边，而等式右边，显然，等式仍然成立。2.

反演规则

对于一个逻辑函数式F,若将其中所有的则得到的结果就是F的反函数。注意：优先顺序不能变，帽子以上不能变。3.

对偶规则

FF’对于一个逻辑函数式F,若将其中的则得到的结果就是F的对偶式。若两逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。2.3

逻辑函数常用的描述方法及相互间的转换2.3.1逻辑函数常用的描述方法

逻辑函数常用的描述方法有

逻辑表达式真值表逻辑电路图卡诺图。1.逻辑表达式

由逻辑变量和逻辑运算符号组成，用于表示变量之间逻辑关系的式子，称为逻辑表达式。常用的逻辑表达式有与或表达式、标准与或表达式、或与表达式、标准或与表达式、与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。与或表达式：标准与或表达式：或与表达式：

标准或与表达式:与非与非表达式:或非或非表达式:与或非表达式：

2.真值表

用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，称为真值表。

例如，对于三变量的判断奇数的电路中，当A、B、C三个变量中有奇数个1时，输出F为1；否则，输出F为0。表2-12三变量判断奇数电路的真值表

ABC

F

000001010011100101110111

011010013.逻辑图

由逻辑门电路符号构成的，用来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。

4.卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个方向排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有个方格的图形，其中，每一个方格对应变量的一个取值组合，这种图形叫做卡诺图。2.3.2不同描述方法之间的转换

1.表达式→真值表

由表达式列函数的真值表时，一般首先按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同取值组合，再确定其对应的函数值。

例2-1列出逻辑函数的真值表

解：逐个将变量A、B、C的各个取值组合代入逻辑函数中，求出相应的函数值。ABC取000时，F为0；ABC取001时，F为1；……；ABC取110时，F为1；ABC取111时，F为0。按自然二进制码的顺序列出变量A、B、C的所有不同取值组合，再根据以上的分析结果，表2-13逻辑函数的真值表

ABC

F00000101001110010111011101111110FABC00000100100011000010011110111111

找出输出“1”的组合用“与”写出使输出为1的组合。将所有已写出的组合进行“或”

真值表2.真值表→表达式

3.表达式→逻辑图2.3.3逻辑函数的建立及其描述方法

为了解决某个实际问题，必须研究其因变量及其相互之间的逻辑关系，从而得出相应的逻辑函数。一般来说，首先应根据提出的实际逻辑命题，确定输入逻辑变量、输出逻辑变量。研究它们之间的因果关系，列出其真值表。再根据真值表写逻辑函数表达式。例2-13：有一水塔，用一大一小的两台电动机MS和ML分别驱动两个水泵向水塔注水，当水塔的水位降到C点时，小电动机MS单独驱动小水泵注水，当水位降到B点时，大电动机ML单独驱动大水泵注水，当水位降到A点时由两台电动机同时驱动水泵注水。试设计一个控制电动机工作的逻辑电路。解1）设水位C、B、A为输入变量，当水位降到C、B、A的某点时，取值为逻辑“1”，否则取值为逻辑“0”；电动机MS和ML为输出变量，工作时取值为“1”，不工作时为“0”。2)分析逻辑变量之间的因果关系，列出此逻辑函数的真值表。3）根据真值表可写出逻辑函数表达式。

4)根据逻辑函数表达式画出逻辑电路图。2.4逻辑函数的化简

2.4.1逻辑函数的最简形式

同一逻辑函数可以采用不同的逻辑电路图来实现，而这些逻辑电路图所采用的器件的种类或数量可能会有所不同，因此化简逻辑函数可以简化电路、节省器材、降低成本、提高系统的可靠性。因此，化简逻辑函数对工程设计来说具有重要意义。逻辑函数的最简表达式有很多种，常用的有最简与或式和最简或与式。与或式F1=AB+BC与或式的最简标准是：①含的与项个数最少；②各与项中含的变量个数最少。或与式F2=(A+B)(B+C)或与式的最简标准是：①含的或项个数最少；②各或项中含的变量个数最少。常用的化简方法有公式法和卡诺图法两种。2.4.2逻辑函数的公式化简

公式化简法就是反复运用逻辑代数的基本公式和常用公式，得到最简形式。1.

并项法利用结合律，将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。例如

2.吸收法

利用吸收律A+AB=A，吸收多余的与项。例如：3.消因子法

利用吸收律消去某些与项中的变量。例如：4.消项法

利用吸收律，将某些与项消去。例如：

5.配项法

利用等基本公式给某些逻辑函数配上适当的项，进而可消去原函数中的某些项或变量。例如实际上，在化简一个较复杂的逻辑函数时，总是根据逻辑函数的不同构成，综合应用上述几种方法。例如例题不同形式表达式之间的变换:利用基本公式对逻辑函数作形式上的变换，以便选用适合的器件来实现其逻辑功能。如将与或式变换成与非－与非表达式，以便用与非门来实现。例如不同形式表达式之间的变换:将或与式变换成或非－或非表达式，以便用或非门来实现。例如

2.4.3逻辑函数的卡诺图化简

用公式法简化逻辑函数时，一方面，不仅要熟记逻辑代数的基本公式，而且还需要有熟练的运算技巧；另一方面，经过化简后的逻辑函数是否是最简或最佳时有时也难以确定。与之相比，应用卡诺图化简逻辑函数，则简捷直观、灵活方便、且容易确定是否已得到最简结果。但是，当逻辑函数的变量数n>6以后，由卡诺图中小方格的相邻性已很难确定，使用就不很方便了。1.标准与或表达式–最小项（1）定义标准与或表达式是一种特殊的与或表达式，其中的每个与项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次，这样的与项称为标准与项，又称最小项。如F=F(A,B)，共有最小项4项：m0m100000101最小项二进制代码十进制数mim2m3m4m5m6m7010011100101110111234567（2）最小项编号（3）最小项的主要性质每个最小项都与变量的惟一的一个取值组合相对应，只有该取值组合使这个最小项取值为1，其余任何组合均使该最小项为0。所有最小项相或，结果为1。任意两个不同的最小项相与，结果为0例2-4写出函数的标准与或表达式。（4）标准或与表达式标准或与表达式是一种特殊的或与表达式，其中的每个或项都包含了所有的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次。这样的或项称为标准或项，又称最大项。例如：A、B、C的最大项对应的变量取值组合为010，其大小为2，因而，记为M2。如果一个或项缺少某变量，则或上该变量和其反变量的逻辑与，直至每一个或项都为最大项为止。

2.卡诺图构成的原则将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个方向排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有个方格的图形，其中，每一个方格对应变量的一个取值组合，这种图形叫做卡诺图。1）每个小方格代表一个最小项，对于n变量来说，共有2n个小方格。2）几何上相邻的最小项，逻辑上具有相邻性。AB01

010132ABABABAB二变量卡诺图最小项编号ABC000111100101324

576ABCABCABCABCABCABCABCABC三变量卡诺图2.卡诺图构成的原则0132457612131514891110ABCD0001111000011110ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD四变量卡诺图重要特性：几何相邻具有逻辑相邻注：上与下，左与右，对称，相邻五变量卡诺图3.用卡诺图表示逻辑函数

在卡诺图中，由行和列两组变量构成的每一个小方格，都代表了逻辑函数的一个最小项，变量取值为1的代表原变量，为0的代表反变量。11111）由变量数选定卡诺图2）所含最小项对应格填1若逻辑函数为一般的与或表达式，无需先变换成最小项表达式，可直接将其填写在卡诺图中。111111114.用卡诺图化简逻辑函数

（1）相邻小方格的合并规则卡诺图中，凡相邻的两个小方格（此称几何相邻）都具有逻辑相邻性，也就是它们只有一个变量取值不同，其他变量取值相同。逻辑相邻的最小项相或时，可利用公式进行合并，合并时应注意以下规则：1）两个相邻小方格可以合并成一个乘积项，且消去一个变量。ABC000111100111

=BC(A+A)=BCY=ABC+ABC利用A+A=1的关系11AC11AB2）4（22）个相邻的小方格可合并成一个乘积项，且消去两个变量。ABC0001111001

1111Y=

ABC+ABC+ABC+ABC

=AC(B+B)+AC(B+B)=AC+AC=CABC0001111001

1111Y=AY=ABC+ABC+ABC+ABCABCD00011110000111101111Y=BDABCD0001111000011110Y=C11111111（3）如果是八个相邻单元取值同为1，则可以合并，并消去三个变量。ABCD0001111000011110Y=AABCD000111100001111011111111Y=D111111114）如果是2n个相邻单元取值同为1，则可以合并，并消去n个变量。（2）用卡诺图化简逻辑函数的步骤

1）用卡诺图表示逻辑函数。将逻辑函数F变换成与或式，凡在F中包含有的最小项，在其卡诺图相应的小方格中填1，其余的小方格空着或填0。2）合并最小项①将相邻的为1的小方格圈在一起，画图时要将尽可能多的小方格圈在一起，圈画得越大，消去的变量就越多。②所画的圈内都必须至少包含一个未被圈过的小项，否则所得的乘积项是冗余